第一章 插值法.ppt

问题的提出拉格朗日插值分段低次插值埃尔米特插值,第一章插值法/*Interpolation*/,插值法是一种古老的数学方法。早在1000多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值和二次插值的实例。,问题的提出函数y=f(x)1）解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，,3）列表函数,问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。因此需寻找y=f(x)的近似函数p(x),但要求p(xi)=f(xi)。插值问题,已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0xn处测得函数值y0=f(x0),yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是?,多项式,p(x)f(x),定义：设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,n)，若用函数p(x)去近似代替它，使得p(xi)=yi(i=0,1,2,n)则称函数p(x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间a,b称为插值区间。p(xi)=yi称为插值条件。本章只讨论多项式的插值问题，即构造n次多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn使满足Pn(xi)=yi(i=0,1,2,n)，及利用Pn(x)进行插值计算的问题。,最简单的插值函数是代数多项式Pn(x)=a0+a1x+anxn,.(1)这时插值问题变为:求n次多项式Pn(x),使满足插值条件pn(xi)=yi,i=0,1,2,，n,(2)只要求出Pn(x)的系数a0,a1,an即可,为此由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组a0+a1x0+anx0n=y0a0+a1x1+anx1n=y1.a0+a1xn+anxnn=yn(3),而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式=(4)由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解a0,a1,an存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n),Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是计算量随着n增大。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法-Lagrange插值和Newton插值。,证明：(利用Vandermonde行列式),反证：若不唯一，则除了Ln(x)外还有另一n阶多项式Pn(x)满足Pn(xi)=yi。,考察则Qn的阶数,n,而Qn有个不同的根,注：若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。,例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。,Lagrange插值,拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。,1拉格朗日插值/*LagrangeInterpolation*/,n=1,可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。,称为拉氏基函数/*LagrangeBasis*/，满足条件li(xj)=ij/*KroneckerDelta*/,直线方程的两点式：,线性插值,抛物插值,l0(x),l1(x),l2(x),n1,N次拉格朗日插值多项式,与有关，而与无关,节点,f,n次多项式,插值余项/*Remainder*/,RollesTheorem:若充分光滑，则存在使得。,推广：若,使得,Rn(x)至少有个根,n+1,(t)有n+2个不同的根x0xnx,注意这里是对t求导,注：通常不能确定x,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。,当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。,Quiz:给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像？,解：,n=1,分别利用x0,x1以及x1,x2计算,利用,这里,而,sin50=0.7660444,外推/*extrapolation*/的实际误差0.01001,利用,内插/*interpolation*/的实际误差0.00596,内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。,n=2,sin50=0.7660444,2次插值的实际误差0.00061,高次插值通常优于低次插值,但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿,例已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插值公式求71/2解：L2(x)=,(x0x1)(x0x2),(xx1)(xx2),f(x0),+,(x1x0)(x1x2),(xx0)(xx2),f(x1),+,(x2x0)(x2x1),(xx0)(xx1),f(x2),L2(7)=,x0=1,x1=4,x2=9,f(x0)=1,f(x1)=2,f(x2)=3,(14)(19),(74)(79),*1,+,(41)(49),(71)(79),*2,+,(91)(94),(71)(74),*3,=2.7,拉格朗日插值多项式编程容易，只需双重循环,如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值点的个数，则拉格朗日插值基函数li(x)都将重新计算。,牛顿插值法将讨论该问题。,输入xi，yi(i=0,1，.,n)及n，x,yy+P*yk,是,否,jn,P1,j=k,STOP,k=0，1，.，n,j=0，1，.，n,PP*(xxj)/(xkxj),输出x，y,y0,kn,Newton插值,牛顿是英国著名的物理学家。数学家和天文学家。1642年十二月二十五日（恰巧是另一位伟大的物理学家伽利略逝世那年的圣诞节）诞生于英国林肯郡伍耳索浦的一个农民家庭。自然界和自然规律隐藏在黑暗中：上帝说，让牛顿出生吧！于是一切都是光明。蒲伯从数学开始到牛顿时代为止，数学工作由牛顿完成了一大半。莱布尼兹,牛顿研究微积分可能比莱布尼茨早一些，他没有及时发表微积分的研究成果，但是莱布尼茨所采取的表达形式更加合理，而且关于微积分的著作出版时间也比牛顿早。在牛顿和莱布尼茨之间，为争论谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续了相当长的一段时间，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。,定义1.形如：,2牛顿插值/*NewtonInterpolation*/,这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式。,由Nn(xi)=yi确定,随着节点的增加，项数自动增加,定义2.设函数f(x)在点x0，x1，x2，上的值依次为f(x0)，f(x1)，f(x2)，.;称,为f(x)在xi，xj处的一阶差商.称一阶差商的差商为f(x)在xi，xj，xk处的二阶差商，记作：,规定：零阶差商为f(xi)=fxi,定理:差商具有如下性质(1)差商与函数值的关系为(2)差商的值与结点排列顺序无关,利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数ai:,因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。,必须注意,n次代数插值问题的解是存在且唯一的，因此，Newton插值与Lagrange插值只是形式上不同，若将它们按x的幂展开，所得的多项式是完全一样的。,定理：Newton插值多项式的余项为Rn（x）=fx,x0,x1,xn（x）其中(x）=(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xn),例1:给定数据表f(x)=lnx数据表xi2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.098611.构造差商表2.用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值3.写出四次Newton差商插值多项式N4(x)解:差商表,N2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60)f(2.65)N2(2.65)N4(x)=0.78846+0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80),Newton插值算法如下：inputx,(xi,yi),i=0,1,n。y=y0,t=1。forj=1,ndot=t*(x-xj-1)fori=0,n-jdoendy=y+y0*tendoutput(x,y),(xi,yi),i=0,1,n。,Newton插值算法中的j循环由三部分组成：计算(x-xj)的累积，存入t单元；内套一个i循环用来依次计算差商表中的各阶差商，存入yi单元；y单元用于存放Newton公式中各项累加之和。,例2已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求f(x)的Newton插值多项式。解：设x0=-1,x1=1,x2=2,则,3埃特金插值公式,埃特金(Aitken)插值公式(以下统称为Aitken插值公式)的构造是基于这样的直观想象：平面上的两个点可以连成一条直线,对应一个线性函数；把线性函数看作形式点,经线性组合,可构成二次函数；把二次函数再看作形式点,经线性组合,可构成三次函数。,Aitken插值表,从Aitken插值公式向算法转化要考虑的问题是：(1)插值公式右端n-1次多项式应如何处理；(2)插值表中的元素应设置多少个存储单元；(3)插值表中第k列第i行元素的计算公式。,Aitken插值算法如下：inputx,(xi,yi),i=0,1,n1kL：fori=k,k+1,ndoendifknthenk+1k,gotoLifk=n,outputyn,Aitken插值算法为二重循环。外循环为k循环，用于计算Aitken插值表中的第k列；内循环为i循环，用于计算Aitken插值表中的第k列中的第i个元素。,例已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的Aitken插值多项式。解：设x0=-1,x1=1,x2=2,例子的Aitken插值表,4存在惟一性定理,Lagrange插值公式、Newton和Aitken插值多项式是同一个函数。事实上,我们有以下一个定理。定理1有惟一的n次多项式pn(x)，满足条件：pn(xi)=yi(i=0,1,n),5插值余项,定理2若f(x)在包含着插值节点x0,x1,xn的区间a,b上n+1次可微分,则对任意x,xa,b,有与x有关的(ab)存在,使得其中(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)。,例设f(x)=lnx,并假定已给出值表试近似计算ln(0.6)的值，并指出精度。解：利用3次Lagrange插值公式,简单计算过程如下：,综合上述,我们有真值：ln(0.6)=-0.510826，近似值：p3(0.6)=-0.509975，真误差：ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851，估计的上界：|ln(0.6)-p3(0.6)|0.00391,我们已经知道插值有多种方法：Lagrange插值、Newton插值、Hermit插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近，为得是得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在，我们来讨论一下这个问题。我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，n)上的n次插值多项式Pn(x)的余项设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时时，余项随n增大而趋于0的，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？,1901年龙格(Runge)给出一个例子:例给定(x-5,5)。取等距节点xi=-5+i(i=0,1,10),试建立插值多项式L10(x),并作图形,观察L10(x)对f(x)的逼近效果。,图例子的图形,从图中，还可看见，在0附近插值效果是好的，即余项较小，另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接近被插之数的现象，称为龙格现象。,这个任意阶可导的光滑函数之所以出现这种现象，跟它在复平面上有x=1/5是奇点有关。俄罗斯数学家伯恩斯坦在1916年还给出如下定理：定理1：函数f(x)=|x|在-1，1上取n+1个等距节点x0=-1,xn=1,构造n次插值多项式Pn(x)，当n增大时，除了-1，0，1，三点外，在-1，1中任何点处Pn(x)都不收敛于|x|。上述现象和定理，告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一种办法。,设f(x)是定义在a,b上的函数，在a,b上节点a=x0x1x2xn-1xn=b,的函数值为y0,y1,y2,yn-1,yn,若函数(x)满足条件(1)(x)在区间a,b上连续;(2)(x)在每个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是次数为m的多项式;则称(x)是f(x)在a,b上的分段m次插值多项式。m=1称为分段线性插值m=2称为分段抛物线插值,6分段插值,分段线性插值的构造：由定义，(x)在每个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多项式;,分段二次Lagrange插值:,分段线性Lagrange插值多项式:,分段低次Lagrange插值的特点:,计算较容易,可以解决Runge现象,可保证收敛性,但插值多项式分段,插值曲线在节点处会出现尖点,不可导,优点:,缺点:,定理,注意到h随分段增多而减少，因此用分段法提高精度是很好的途径,分段线性插值曲线图：,例：设-1x1(1)将-1，110等份，用分段线性插值近似计算f(-0.96)。(2)将-1，1n等份，用分段线性插值近似计算,问如何选择步长h可使近似计算误差R10-4?解：(1)插值节点为xi=-1+i/5(i=0,1,10),h=1/5因为-0.96-1,-0.8,取此区间为线性插值区间，其上的插值函数为所以f(-0.96)(-0.96)=0.04253,(2)插值节点为xi=-1+ih(i=0,1,n),h=(b-a)/2=2/n由分段线性插值的余项估计：|f(x)-(x)|=|R(x)|m2h2/8,分段二次插值即：选取跟节点x最近的三个节点xi-1,xi,xi+1进行二次插值，即在区间xi-1,xi+1，取：这种分段的低次插值叫分段二次插值，在几何上就是用分段抛物线代替y=f(x)，故分段二次插值又和分段抛物插值。,实际上，上面介绍的分段低次插值，虽然具有计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求，从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域显得越来越广泛的应用。,分段三次Hermite插值,假设函数y=f(x)是在a,b上有一定光滑性的函数,在xoxn上有n+1个异点,f(x)在这些点上取值yo.yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满足p(xi)=yii=0,1,n.这是最简单的插值问题,如果除了知道f(x)在插值基点上的取值外,还知道f(x)在插值基点上的其他描述(如知道f(x)在插值基点上的导数值)。如何来构造插值函数呢?Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好。,提出共轭矩阵与五次方程式的通解。天生残障，数学永远考不及格的天才。令人佩服的天才。,他是十九世纪最伟大的代数几何学家，但是他大学入学考试重考了五次，每次失败的原因都是数学考不好。他的大学读到几乎毕不了业，每次考不好都是为了数学那一科。他大学毕业后考不上任何研究所，因为考不好的科目还是数学。数学是他一生的至爱，但是数学考试是他一生的恶梦。不过这无法改变他的伟大：课本上共轭矩阵是他先提出来的，人类一千多年来解不出五次方程式的通解，是他先解出来的。自然对数的超越数性质，全世界，他是第一个证明出来的人。他的一生证明一个不会考试的人，仍然能有胜出的人生，并且更奇妙的是不会考试成为他一生的祝福。,f(x)在区间a,b上n+1个互异节点a=x0x1x2xn=b,定义在a,b上函数f(x)在节点上满足f(xi)=yif(xi)=yii=0,1,2n求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)满足2n+2个条件H(xi)=yiH(xi)=yii=0,1,2n若H(x)存在,则叫函数f(x)的Hermite插值多项式.因为H(x)是一个次数不高于2n+1次的多项式,常记为H2n+1(x).,一.定义,定理一:满足插值条件H(xi)=yiH(xi)=yii=0,1,2n且次数不大于2n+1的多项式是唯一的。证明:令p(x)和q(x)是两个次数不高于2n+1的多项式且在插值基点都满足以上插值条件,即:p(xi)=q(xi)=yi,p(xi)=q(xi)=yi,i=0,1,2n令F(x)=p(x)-q(x),有F(xi)=0,F(xi)=0,i=0,1,2,.n故F(x)有2n+2个根.由于p(x),q(x)都是次数不高于2n+1的多项式,由代数基本定理知F(x)=p(x)-q(x)0,所以有p(x)q(x),多项式唯一.,二.定理,定理二:f(x)在区间a,b存在2n+2阶导数,则其Hermite插值余项为:(x)=(x-x0)(x-x1).(x-xn)证明:(证明类似Lagrange余项)当x=xi,i=0,1,2时,左右两端为0,公式成立.令xxi,xa,b,在节点x0,x1,xn上f(xi)=H(xi)所以R(xi)=f(xi)-H(xi)=0f(xi)=H(xi)R(xi)=f(xi)-H(xi)=0,所以xi(i=0,1n)为R(x)的二重零点，,对插值区间a,b中任一定点x，可设R(x)=f(x)-H2n+1(x)=k(x)(x)2k(x)为待定函数。做辅助函数F(z)=f(z)-H2n+1(z)-k(x)(z)2F(x)=0,所以z=x是F(z)的一个零点，此外x0xn都是F(z)的二重零点，F(z)在a,b上有2n+3个零点,由洛尔定理，知插值区间a,b中存在一个a,b使F(2n+2)()=0。注意(z)2是首项系数为1的2n+2次多项式,H2n+1(z)是2n+1次多项式，故有0=F(2n+2)()=f(2n+2)()-0-(2n+2)!k(x),所以公式成立。,设Hermite插值函数nnH2n+1(x)=Li(x)yi+hi(x)yii=0i=0Li(x),hi(x)都是不高于2n+1次的多项式,类似Lagrange插值,利用Hermite插值条件可得Li(xj)=ijhi(xj)=0Li(xj)=0hi(xj)=iji,j=0,1,2n从而可设Li(x)=(aix+bi)li(x)2hi(x)=(cix+di)li(x)2,三.构造函数,这里li(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xi-1)(x-xi+1)(x-xn)ai,bi,ci,di为待定系数,分别由Li(xi)=1和Li(xi)=0及hi(xi)=1(i=0,1,2,n)确定.三次Hermite插值函数的构造(n=1,2n+1=3)已知数表：xx0 x1yy0y1yy0y1求一个三次Hermite插值函数H3(x).解:H3(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+y0h0(x)+y1h1(x)对x=x0,有L0(x0)=1L1(x0)=0h0(x0)=0h1(x0)=0L0(x0)=0L1(x0)=0h0(x0)=1h1(x0)=0对x=x1,有L0(x1)=0L1(x1)=1h0(x1)=0h1(x1)=0L0(x1)=0L1(x1)=0h0(x1)=0h1(x1)=1,L0(x)=(a0 x+b0)(x-x1)2h0(x)=a(x-x0)(x-x1)2解之得L0(x)=1+2*(x-x0)/(x1-x0)(x-x1)/(x0-x1)2h0(x)=(x-x0)(x-x1)/(x0-x1)2同理有L1(x)=1+2*(x-x1)/(x0-x1)(x-x0)/(x1-x0)2h1(x)=(x-x1)(x-x0)/(x1-x0)2,求过0,1两点构造一个三次插值多项式,满足条件f(0)=1,f(0)=1/2,f(1)=2,f(1)=1/2解:设H3(x)=Y0l0(x)+y1l1(x)+y0h0(x)+y1h1(x)因为l0(x)=(ax+b)(x-1)2利用l0(0)=1和l0(0)=0,得b=1,a=2.所以:l0(x)=(2x+1)(x-1)2同理可得l1(x)=(3-2x)x2h0(x)=x(x-1)2h1(x)=x2(x-1)所以H3(x)=(1+2x)(x-1)2+2(3-2x)x2+0.5(x-1)2x+0.5(x-1)x2=-x3+1.5x2+0.5x+1,四.例题:,实际问题中还会有其他的插值问题,这类问题可用Lagrange插值基函数的方法解决.如已知数据表：x01yy0y1yy0求过0,1两点构造一个插值多项式p(x),满足条件p(0)=y0,p(0)=y0,p(1)=y1解:他有三个条件,故p(x)可设为二次多项式p(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+y0h0(x)这里L0(x),L1(x),h0(x)都是二次多项式,由插值条件得对x=x0=0有L0(0)=1L1(0)=0h0(0)=0L0(0)=0L1(0)=0h0(0)=1对x=x1=1有L0(1)=0L1(1)=1h0(1)=0,五.一般插值,由条件L0(0)=1,L0(0)=0,L0(1)=0,可设L0(x)=(ax+b)(x-1)利用L0(0)=1,L0(0)=0,得b=a=-1.所以:L0(x)=(-x-1)(x-1)=1-x2同理可得L1(x)=x2h0(x)=x(1-x)所以p(x)=y0(1-x2)+y1x2+y0(1-x)xy(3)()其余项表达式为R(x)=(1-x)x23!.,例：求f(x)=x4在0,2上的分段三次Hermite插值，并估计误差。解：将区间0,2进行2等分，得,1）在0,1区间求解三次Hermite插值多项式为：,2）在1,2区间求解三次Hermite插值多项式为：,分段插值的分析,优点计算简单，收敛性有保证，数值稳定，易于计算机上实现缺点整条曲线在子区间的端点（衔接处）不光滑，即导数不连续对于一些实际问题，不但那要求一阶导数连续，而且要求二阶导数连续。为此，引入新的插值方法样条插值。,7三次样条插值,“样条”这个词本来是指在飞机或轮船设计过程中为了描绘出光滑的外形曲线所用的一种工具，即一个具有弹性的细长木条。事实上，在作了某些近似简化后，样条的数学模型并不复杂，它只是分段的三次多项式曲线：在相邻两块压铁之间是三次多项式曲线；在压铁处，左右两段曲线的切线和曲率是连续的。样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。,一、样条函数的定义设f(x)是区间a,b上的一个连续可微函数,在区间a,b上给定一组基点:a=x0x1x2xn=b设函数s(x)满足条件(1)s(x)在每个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是次数不超过m的多项式;(2)s(x)在区间a,b上有m-1阶连续导数;则称s(x)是定义在a,b上的m次样条函数。x0，x1，x2,称为样条结点,其中x1,xn-1称为内结点,x0,xn称为边界结点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数。,二、三次样条插值函数设y=f(x)在点x0，x1，x2,xn的值为y0，y1，y2,yn，若函数S(x)满足下列条件S(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2,n(1.1)则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数,简称三次样条。,构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用的方法：三弯矩插值法记Mi=S(xi),f(xi)=fi=yi,考虑它在任一区间xi,xi+1上的形式.根据三次样条的定义可知,S(x)的二阶导数S(x)在每一个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n-1)上都是线性函数.于是在xi,xi+1上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成(1.2)其中hi=xi+1xi.对S(x)连续积分两次,并利用插值条件S(xi)=yi,得到,三次样条函数的构造,xxi,xi+1S”(x)Mi,Mi+1,因此，只要能求出所有的Mi，就能求出样条插值函数S(x).下面考虑Mi的求法,则由连续性S(xi-)=S(xi+),(i=1,2,n-1)得iMi-1+2Mi+iMi+1=di其中,上面的方程组有n-1个方程，但有n+1个变量Mi，故需两个方程才能求唯一解，为此引入下列边界条件,下面介绍几种常用的边界条件第一型边界条件：已知f(x)在两端点的导数f(a)和f(b)，要求S(a)=f(a),S(b)=f(b)第二型边界条件：已知f(x)在两端点的二阶导数f(a)和f(b)，要求S(a)=M0=f(a),S(b)=Mn=f(b)特别当S(a)=S(b)=0时，S(x)称为自然三次样条第三型边界条件：已知f(x)是以b-a为周期的周期函数，要求S(x)满足周期条件S(a)=S(b),S(a+)=S(b-),S(a+)=S(b-),三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题（i，）可以证明第i型插值问题的解是存在且唯一的。他们对应如下的三对角方程组：20M0d0121M1d1.=.n-12n-1Mn-1dn-1n2Mndn,对于第一型插值问题，取0=1，n=1,对于第二型插值问题，取0=0，n=0对于第三型插值问题，利用周期性，可导出其中,以上各组条件与方程组(*)联立，可以解出未知参数M0，M1,Mn，然后代入S(x)表达式，即可求得样条函数。上面构造方法中Mi相应于力学中细梁在xi处截面的弯矩，每一个方程中又至多出现相邻的三个Mi，通常称为三弯矩法。总结以上论述，可得求三次样条的步骤为：（1）确定边界条件，判定是第几型插值问题；（2）根据所确定的条件计算各值，形成方程组(*)；（3）解三对角方程组(*)，求得M0，M1，M2,Mn；（4）将求得的Mi值代回S(x)的表达式中，从而可求得函数y=f(x)在任一点的近似值S(x)。,例题例1已知函数f(x）的数值表如下：x246f(x)3713f(x)1-1试求f(x)在2,6上的三次样条插值函数及求解：这是第一类边界条件的问题，n=2,hi=h,由公式1=1=1/2，d1=3/2；n=0=1，d0=3,d2=-12,得方程组2M0+M1=30.5M0+2M1+0.5M2=1.5M1+2M2=-12解得M0=0.25,M1=2.5M2=-7.25,故所求的三次样条插值函数-(1/48)(x-4）3+(5/24)(x-2）3-(17/12)（x-4）+(8/3)(x-2),x2，4S(x)=-(5/24)(x-6）3-(29/48)(x-4）3-(8/3)（x-6）+(107/12)(x-4),x4，6,例2已知f(x)在若干点处的值为：f(0)=0,f(2)=16,f(4)=36,f(6)=54,f(10)=82,以及f(0)=8,f(10)=7.试求f(x)的三次样条插值函数s(x)以及f(3),f(8)的近似值。解：构造一阶均差表ixif(xi)fxi,xi-11008221610343694654751082由于h1=h2=h3=2,h4=4,因此d1=fx1,x2-f(0)=0，d2=fx2,x3-fx1,x2=2,d1=fx1,x2-f(0)=0，d2=fx2,x3-fx1,x2=2,d3=fx3,x4-fx2,x3=-1,d4=fx4,x5-fx3,x4=-2,d5=f(10)-fx4,x5=0.方程组应为42000m1028200m2202820m3=6002124m4-200048m50解出m1=-1,m2=2，m3=-1,m4=-1,m5=0.5因此可得,8X-1/2X2+1/4X3,X0,216+9(X-2)+(X-2)2+1/4(X-2)3,X2,4S(X)=36+10(X-4)-1/2(X-4)2,X4,654+8(X-6)-1/2(X-6)2+1/16(X-6)3,X6,10S(3)=S2(3)=25.75S(8)=S4(8)=68.5,8应用实例,例要在程控铣床上加工直升飞机的旋转机翼，外形的截面形状见图1-4。外形头部有一段圆弧B1B2，圆的半径R=6.92mm，tan=0.305,B1,B2的坐标为B1(0.52,5.288)，B2(2.6,-3.615)，截面上轮廓线18个点的坐标如表1-8所示。旋转机翼外形截面图如图1-4所示。由于图中有些点很密，所以只有一部分点可以看到。,图1-4直升飞机旋转机翼外形截面图,解：要用程控铣床加工工件必须计算出整个工件外形曲线足够密的点的坐标值。根据所给条件，头部圆弧B1B2可由圆的方程直接计算出点的坐标，其余