第9章方差分析与一元回归分析.ppt

第一节方差分析,第二节一元线性回归分析,方差分析与一元线性回归分析,第九章,教学要求,1.掌握单因素试验的方差分析,2.掌握一元线性回归分析,学时4-6,第一节、方差分析,一、方差分析的基本原理,三、单因素方差分析的步骤,二、单因素方差分析的方法,四、双因素方差分析的方法,在试验时，待考察的而受人为控制的“条件”称为因素.,单因素试验,因素,在一次试验中，如果只有一个因素在改变，其他因素保持不变，则称为单因素试验.,水平,因素变化所分的等级或组别，称为“水平”或“处理”.,方差分析,方差分析就是鉴别各因素效应(因素变化对试验指标的影响)是否显著的一种统计方法.,一、方差分析的基本原理,系统(条件)误差:,在方差分析中,凡是由于试验因素的变异而引起的试验结果的差异,称为“系统误差”或“条件误差”.,随机(试验)误差:,在试验中,当我们把所有能控制的试验条件都控制在固定的状态下,进行多次重复试验,所得的的试验结果也不会完全一致,仍存在一定程度的差异.,我们以下例来说明方差分析的基本原理和方法.,例把一批用同种纱线织成的袜子放在不同温度的水中洗涤,进行缩水率试验,六种不同温度各洗涤4只,并在同一温室内凉干,测得缩水率的百分数如下:,袜号,温度,行和,问六种温度对袜子的缩水率有无影响?,从表上的数据可以直观地看到:,1.表中数据不全相同,说明在不同的试验中存在着差异;,2.不同温度(水平)下缩水率的平均数不同,表明温度对缩水率有一定影响,即有系统误差存在;,3.同温度(水平)下的4只袜子,缩水率也有差异,显然这个差异不是由温度引起的,而是由随机因素引起的随机误差;,4.由于有条件误差与随机误差的存在,那么不同温度下的平均缩水率之间的差异主要是随机因素造成的呢?还是不同温度的影响?,和通常的统计推断问题一样,方差分析的任务是要寻求适当的统计量,对参数作假设检验.需要检验六个正态总体的均值是否相等,即:,如果温度对试验结果并无显著影响,表中的24个数据应当来自同一正态总体,即可接受H0.如果温度对试验结果有显著影响,那么只有每一行的结果来自同一正态总体,不同的行并不来自同一总体,当然只能否定H0(条件不同所引起的系统误差主要表现在i上;随机因素引起的误差主要表现在i上.),由于随机误差和系统误差常常交织在一起,方差分析的基本想法就是要设法对总离差平方和S进行分解,因有两种可能:,(I)若H0为真,则S为随机因素引起的误差;(II)若H0不真,则S除了随机误差外,还包含了各种条件造成的系统误差.,所以只要对S中的随机误差和包含不同条件造成的那部分系统误差分开,然后相互比较,问题就解决了.,二、单因素方差分析的方法,1.假定条件,2.研究的基本问题,重复号,因素,3.方差分析的数据结构(见教材P171的表9-1),组内平均值,总平均值,4.方差分析的数学模型,5.总离差平方和的分解,样本总离差平方和,组内离差平方和,组间离差平方和,证明:,其中,6.构造检验统计量,不显著,接受H0,较显著,显著,极显著,拒绝H0,(*),*,*,7.关于计算,三、单因素方差分析的步骤,1.确定假设检验,2.列出方差分析计算表(见教材P173表9-2).,3.计算检验统计量,4.给出的值,查分位数,5.由以上结果列出方差分析表.,计算时,可用以下公式,总和,方差分析表,处理方法(水平数),苗高xij(cm),例9.1在下表中列出了某种树苗的高度的观测值,按所施的肥料的不同分成5组,每组6个观测值.设苗高服从方差相等的正态分布,问:在显著水平0.01下检验5组树苗的平均高度有无显著影响.,解:,为减少计算量,将上表中的所有数据减去20,再列出方差计算表:,故知在=0.01的水平上拒绝H0.,方差分析表如下,来源,组间,组内,总和,离差平方和,自由度,F值,F临界值,显著性,497.88,711.42,4,25,4.374,极显著,四、双因素方差分析,1.双因素无重复试验、无交互作用的方差分析,1）数学模型,设因素A有a个水平A1，A2，Aa，因素B有b个水平B1，B2，Bb，对每种水平搭配（Ai，Bj）只进行一次独立试验（称为AiBj处理）.指标（观察值）记为xij，设,观察值,A,B,A1A2.Aa,B1B2.Bb,x11x21.xa1,x12x22.xa2,x1bx2b.xab,Xij可用如下数学模型表示：,方差分析数据表为：,令：,总体总均值，理论值,A的第i个水平的总体均值,B的第j个水平的总体均值,称为Ai的效应,称为Bj的效应,效应分解式：,2）方差分析,检验假设,令：,（样本总均值）,（因素A第i个水平样本均值）,（因素B第j个水平样本均值）,可以证明：,检验统计量,方差分析表,方差来源,平方和,自由度,均方和,A,B,E,a-1,b-1,(a-1)(b-1),SA/(a-1),SB/(b-1),Se/(a-1)(b-1),总和,ab-1,则简化计算法为:,第二节一元线性回归分析,一、问题的提出,二、一元线性回归方程的求法,三、估计量的性质,四、回归方程的显著性检验,五、预报与控制,第二节、一元线性回归分析,一、问题的提出,变量间的关系分为：,(1)确定性关系,(2)相关关系(即变量间有统计规律,但关系是不确定的),回归分析方法就是寻找变量间相关关系的数学关系式并进行统计推断的一种方法.,回归分析(按变量个数),一元回归分析,多元回归分析,回归分析解决以下两个问题:,1.判断变量间是否存在相关关系.,2.找出变量间相关关系最适合(近似的)定量表达式,同时利用表达式作预测或控制,并估计出这种预测或控制可以达到什么样的精度.,1.散点图,二、一元线性回归方程的求法,2.一元线性回归的数学模型,上式所描述的x,y之间的线性关系的模型,我们称为一元线性回归模型.,称为y对x的线性回归方程,回归截距,回归系数,3.回归方程,4.一元线性回归方程的求法(参数的最小二乘估计),记,则,回归方程为:,例9.2某种大豆的脂肪含量x(%)与蛋白质含量y(%)的测定结果如下表:,序号,脂肪,蛋白质,1,2,3,4,5,6,7,8,9,16.5,43.5,17.5,42.6,18.5,42.6,19.5,40.6,20.5,40.3,21.5,38.7,22.5,37.2,23.5,36,24.5,34,求回归方程.,序号,脂肪,蛋白质,1,2,3,4,5,6,7,8,9,16.5,43.5,17.5,42.6,18.5,42.6,19.5,40.6,20.5,40.3,21.5,38.7,22.5,37.2,23.5,36,24.5,34,列出回归计算表,272.3,1892,717.8,306.3,1815,745.5,342.3,1815,788.1,380.3,1648,791.7,420.3,1624,826.2,462.3,1498,832.1,506.3,1384,837,552.3,1296,846,600.3,1156,833,184.5,355.5,3842,14128,7217,三、估计量的性质(证明略),四、回归效果的检验,要检验y与x之间是否有线性关系,就是要检验b是否为零.,若接受H0，表明线性关系不显著若拒绝H0，表明线性关系显著,1.平方和分解,总平方和,反映了原始数据的全部差异性,回归平方和,反映了观测值偏离回归直线的程度,这种差异性通常是由随机误差所引起的,其大小表示除线性相关性以外的所有其他因素(统称为随机因素)对试验结果的影响.,三个平方和的关系为:,证明:,2.F检验,无明显的线性关系,*显著,*十分显著,在实际计算中，可简化为：,例9.3对例9.2中的回归方程进行线性关系的显著性检验.,故拒绝(说明x对y有极显著的线性影响),解:,例9.4水稻产量与化肥用量之间的关系，在土质、面积、种子等相同的条件下，由试验获取如下据：,化肥用量15202530354045水稻产量330345365405445490455,求1、求回归方程；2、线性关系显著性检验。,1234567,15202530354045210,3303453654054454904552835,2254006259001225160020257000,1089001190251332251640251980252401002070251170325,4950690091251215015575196002047588775,解：1.计算表,故所求线性回归方程为：,2.检验假设H0：b=0,所以拒绝H0，线性关系十分显著。,3、-检验,选取统计量,查，计算观测值，若|（n-2）则拒绝H0,五、预报与控制,对于任意给定的,可算出然而,在实际问题中,仅仅知道预测值是不够的,还需要知道预测的精度.也就是的置信区间.对于给定的,的置信区间也称为的预测区间.,从而,为简化算法，在实际中，可以近似按,预测时,在内的概率近似为,控制时,可由,解出,从而确定的控制范围.,解：令,所以置信度为0.95的y0的置信区间