实变函数与泛函分析概要第1~3章复习.ppt

2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，实分析，多媒体课件，数学系，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，第一章复习，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，第一部分，集合及其运算，2020/5/29。福州大学数学与计算机学院的聂剑英把：集合成一个具有某种性质的整体。它们通常用大写字母A、B、X、Y来表示.等等。组成这个集合的东西叫做集合的元素。一般来说，我们总是使用小写字母A，B，X，Y.来表示集合的元素。有限集，无限集，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，定理1.1分布律，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，定理1.2(蒙瑞克公式)，注：取余数集，A与Ac，8746与相互转换，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院(S为完整集)，注集合的等价性。专栏集，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，1。映射，原始图像，图像，域D(f)，域R (f)，1。定义，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，叫F单杆；那么F是全射；如果f既是单射又是全射，那么f被称为一对一映射。单射，全射，一对一对应(一对一映射)，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，2等价与势，定义2.2让A和B是两个非空集，如果存在从A到B的一对一映射F(F既单又满)，那么A和B是等价的，注意：等价于A的集合据说具有与A相同的势(基)，符号是有限集合元素概念的推广2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，1，2，3，4，5，6，A1，A2，A3，A4，A5，A6，相当于自然数集N的集合称为可数集或可数集，其基数为1)。可数集的定义，3。可数集合的组合，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，例如：1) z=0，1，-1，2，-2，3，-3，2) 0，1所有有理数=0，1，1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，注意：当且仅当A可以写成无限序列A1，A2，A3，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，可数集性质：定理2.1任何无限集合都包含可数子集。(即，可数集合是无限集合中潜力最小的集合)，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，可数集合的性质(并)，有限集合与可数集合的并仍是可数集合，可数集合的并仍是可数集合，有限可数集合的并仍是可数集合，有限可数集合的并仍是可数集合，2020/5/29，聂建英，数学与计算机学院假设A和B是可数集，那么AB也是可数集，因此AB也是可数集(可数集的并集)。有限乘积可以通过数学归纳法得到。2020年5月29日，福州大学数学与计算机学院的聂剑英用整系数代数数调用了多项式方程的实根。非代数数的实数称为超越数。代数数都是可数集。常见的可数集是：2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，第3节一维开集闭集及其性质，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，定义3.1如果集合E的每个点都是E的内点，那么E称为开集。2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，4。开集的性质，定理3.1a。空集，R是开集；任意数目的开集之和仍然是开集；有限数量的开放集仍然开放。2020/5/29，福州大学数学与计算机学院的聂剑英将E定义为闭集，如果Ec是开集的话。，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院。定理3.2E是一个闭集，当且仅当福州大学数学与计算机学院聂剑英：2020/5/29证明了，如果是，E定义为完备集。2020/5/29，福州大学数学与计算机学院的聂剑英定义了(等价的)闭集，如果是这样的话，E就是闭集。在R中，只有空集和R都是开和闭的，并且有大量的集既不是开也不是闭的，例如：E=0，1，定义3.3，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，定理3.3任何集E的导数集E 都是闭集，2020/5/29，聂建英，福州大学数学与计算机学院，并且任何闭集的交集都是闭的闭集任何有限闭集的和仍然是闭集。2020/5/29，福州大学数学与计算机学院聂建英，例8f(x)是直线上的连续函数，当且仅当任意实数A，E=x|f(x)a和E1=x|f(x)a是闭集，证明了充分性：2020/5/29，福州大学数学与计算机学院聂建英，2020/5/29，聂建英，数学与计算机学院只要e中的点是内点，只要f(x)在x0处是连续的并且极限的保号性质是已知的，就有0。 如果|x-x0|a，取x0E=x|f(x)a，则f(x0)a，并且如果f(x)是一条直线上的实值连续函数，只要我们证明任何常数a，E=x|f(x)a和E1=x | a来自连续局部保号性质，例3。可测集E上的连续函数f(x)必须是可测函数。(1)关于子集和并集的可测函数的性质，即：如果f(x)是E上的可测函数并且是可测的，那么f(x)仅限于E1并且也是可测函数；3.可度量函数的性质，证明：注意，如果f(x)作为一个可度量函数被限制为En，f(x)也是E上的一个可度量函数。证明：注意，如果S是一个命题或一个性质，如果S除了集合E上的一组零度量外处处成立，那么S几乎在集合E上处处成立例如，几乎处处相等，例如，Dirichlet函数几乎处处等于0，例3假设F (x)=g (x) a.e .在E上是可测的，f(x)在E上是可测的， 那么g (x)在E上是可测的。这个例子表明改变一组零测度上的函数值不影响函数的可测性，例如：几乎处处收敛，假设E上的函数列是E上的函数，如果它存在，如果fn(x)是可测集E上的可测函数序列，那么下面的函数仍然是E上的可测函数。定理1.1。 为了方便将一般函数分解为两个非负函数，一般函数可分解为正、负两部分：推论1如果f(x)是可测集E上的可测函数序列，那么下面的函数就是E上的可测函数。推论2如果fn(x)是可测集E上的可测函数序列，那么下面的函数仍然是E上的可测函数，这足以证明定理1.1可以应用两次。推论3:可测函数序列的极限函数仍然是可测函数。(注意，连续函数序列的极限函数不一定是连续函数。)由于函数的可测性不受零测度集值的影响，我们有以下定理1，2。定理1.2在e上是可测的，如果它是可测集e上的可测函数序列并且几乎处处收敛，也就是说，它在e上是可测的。，可测函数与简单函数之间的关系，设f(x)是可测集E上的可测函数，那么f(x)总是可以表示为简单函数列表的极限，这也是可以做到的。注：由于一般函数F可以表示为其正负部分之差，将定理1.3分别应用于函数F的正负部分，得到：定理(可测函数的充要条件):函数f(x)是可测集e上的可测函数。充要条件是f(x)总是可以表示为简单函数列表的极限。引理1.1函数 (x)和 (x)是可测集e上的简单函数，那么它们的和、差、积和商(分母几乎处处不为零)仍然是简单函数。定理1.4可测集E上两个可测函数的和、差、积和商(假设运算几乎处处定义)仍然是E上的可测函数。第2节可测函数级数的收敛性，(1)。其上限集定义为：而2.1(上限集和下限集)，(2)下限集定义为：以及(3)如果集合级数的上限集等于下限集，则集合级数收敛被称为。公共极限称为集合级数的极限集，它被记录为：定义2.1:极限集，很容易知道上下极限集之间的关系：定理：单调集合级数是收敛的。单调集级数极限中，函数逼近是一个非常重要的分析问题，其实质是用“好”或“简单”函数逼近“坏”或“复杂”函数。(1)点收敛：函数序列的几个收敛定义，记录为，(2)一致收敛：表示为：去除某一组零测度，并在留下的集合上处处收敛，即，(3)几乎处处收敛：表示为：示例1:尝试检查函数序列fn (x)=xn，n=1，2，0，1上处处收敛(自然几乎收敛)。但不一致收敛(因为极限函数是不连续的)。然而，去掉一小部分度量(1-，1)，一致地收敛于左边的集合。fn(x)=xn，并定义2.2为集合e为可测集合mE0，如果存在，则fn根据测度f收敛于e，记录为(5)收敛于测度而不收敛于测度，(1)收敛于处处但不收敛于测度，收敛于处处r至f (x)=1，以及(2)几种收敛的差异，例2表明当n较大时，取1的更多点。所以fn(x)在r上处处收敛到1，所以fn(x)在r上无测度地收敛到1。另一个例子。上述fn在任何地方都收敛到1，但不是几乎一致地收敛到f(x)=1，例3(通过测量收敛但不是在任何地方收敛)，取基本集e=0，1，n=2ki，0 i2k，k=0，1，2，3，fn，如下图：所示，因为，然而，对于任何x (0，1)，fn(x)有两个子列。例如，函数序列fn(x)=xn在(0，1)上处处收敛到f(x)=0，但是不一致收敛，而是去除了一个小的测度集(1-，1)，一致收敛到后面的集合上，并且收敛关系(Yegorov定理的引入)被设置为可测集合Me定理2.1 (yegorov定理)，引理：假设mE , fn，f在e上几乎处处有限且可测，注：a。如果条件mE 在yegorov定理中是必不可少的，则fn在r上处处收敛到f (x)=1，fn在r上几乎不一致地收敛到F，例如：定理2.2(yegorov定理的逆定理)，Lebesgue定理：假设mE ，fn，F在e上几乎处处有限且可测，Riesz定理证明的解释，定理2.4使mE ，则(1)如果存在另一个， 然后f (x)=h (x) a.e .根据测度的收敛性质(唯一性和四个运算)，第3节：可测函数、可测函数的构造，q:可测函数可以表示为一系列连续函数的极限吗？ 可测集E上的连续函数被定义为可测函数，如果f(x)在E上几乎处处被定义为可测函数，则m(E-F)和f(x)在F上是连续的(去掉一个小的测度集，在留下的集合上变成一个连续函数)即：可测函数“基本上”是连续函数，定理3.1(卢津定理)，(1)任何可测集几乎是一个开集(至多几个开集区间的并集)，(3)任何一组在任何一点收敛的可测函数序列几乎是一致收敛的序列，(2)任何可测函数几乎是一个连续函数，(3)实变函数的三个原理(J.E.Littlewood)， 定理3.2(卢津定理的推论)，如果f(x)是一个几乎处处有限的可测函数，那么在F(g(x)=f(x)和m(E-F)0上，就有一个闭集，所以f(x)在上面是连续的，那么F(x)就是E上的可测函数，卢津定理的逆定理，首先，可测函数的概念及其运算性质。 可测函数在加法、减法、乘法、除法和极限运算上是封闭的。可测函数的上下界和上下限函数是可测的。本章的主要内容如下：2 .可测函数级数收敛、几乎处处收敛和测度收敛是勒贝格积分理论中常见的收敛形式。叶戈洛夫定理揭示了可测函数序列的几乎处处收敛和一致收敛之间的关系。通过它，几乎处处收敛的函数序列可以部分地“恢复”为一致收敛，这在许多问题的研究中起着重要的作用。勒贝格定理告诉我们，在一组有限测度上，几乎处处收敛的可