2020届衡水中学高三第四次调研理科数学(含解析)

1 / 3 2012019 9- -20202020 学年度高三年级上学年度高三年级上学期学期四调考试四调考试 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 第卷（第卷（选择题选择题 共共 6060 分）分） 一、一、 选择题选择题（本大题共（本大题共 1212 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 6060 分分, ,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请下列每小题所给选项只有一项符合题意，请 将正确答案的序号填涂在答题卡上将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1已知集合 | (1) 0Ax x x， |()Bx yln xa，若ABA，则实数a的取值范围为( ) A(,0) B(，0 C(1,) D1，) 2AB是抛物线 2 2yx的一条焦点弦，| 4AB ，则AB中点C的横坐标是( ) A2 B 1 2 C 3 2 D 5 2 3.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值 为 A B C D 4已知、都为锐角，且 21 sin 7 、 21 cos 14 ，则( ) A 3 B 3 C 6 D 6 5. 设aR，0b，2 )，若对任意实数x都有sin(3)sin() 3 xaxb ，则满足条件的有序实数 对( , )a b的对数为( ) A1 B2 C3 D4 6. 已知F是双曲线 22 :1 45 xy C的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点若| |OPOF，则 OPF的面积为( ) A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 7. 已知等差数列 n a的公差不为零，其前n项和为 n S，若 3 S， 9 S， 27 S成等比数列， 则 9 3 ( S S ) A3 B6 C9 D12 8.在ABC中，点P满足3BPPC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N， 若AMAB，(0,0)ANAC，则的最小值为( ) A 2 1 2 B 3 1 2 C 3 2 D 5 2 9.如图，点P在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动，则下列四个结论： 三棱锥 1 AD PC的体积不变； 1 / /AP平面 1 ACD； 1 DPBC；平面 1 PDB 平面 1 ACD 其中正确的结论的个数是( ) 2 / 3 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10. 过三点(1,3)A、(4,2)B、(1, 7)C的圆截直线20 xay所得弦长的最小值等于( ) A2 3 B4 3 C13 D2 13 11. 如图， 三棱柱 ABCA1B1C1的高为 6， 点 D， E 分别在线段 A1C1， B1C 上， A1C13DC1， B1C4B1E 点 A，D，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC 的面积为 6，则较大 部分的体积为（ ） A22 B23 C26 D27 12. 设 22 ()(2)2 x Dxaeaa其中2.71828e，则D的最小值为( ) A2 B3 C21 D31 第卷（共第卷（共 9090 分）分） 二二 、填空题： （本大题共、填空题： （本大题共4 4小题，每题小题，每题5 5分，共分，共2020分）分） 13已知函数 2 log,0 ( ) 42,0 x x x f x x ，则 1 ( ( ) 8 f f 14已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 :1 259 xy C的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M的 坐标为(2,0)，若AM为 12 F AF的角平分线，则 2 |AF 15如图（1） ，在等腰直角ABC中，斜边4AB ，D为AB的中点，将ACD沿CD折叠得到如 图（2）所示的三棱锥CABD，若三棱锥CABD的外接球的半径为5，则ADB 16设定义在D上的函数( )yh x在点 0 (P x， 0 ()h x处的切线方程为:( )l yg x，当 0 xx时，若 0 ( )( ) 0 h xg x xx 在D内恒成立，则称P点为函数( )yh x的“类对称中心点”，则函数 2 2 ( ) 2 x f xlnx e 的“类对称中心点”的坐标是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ） 17 （本题满分 10 分）在平面四边形ABCD中，AC ，1AB ，3BC ，2CDDA （1）求C； （2）若E是BD的中点，求CE 18（本题满分 12 分）如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，6PA，顶点P在平 面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G （1）证明：G是AB的中点； （2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由） ，并求四面体PDEF的体积 3 / 3 19 （本题满分 12 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心 率为 5 3 ，|13AB （1）求椭圆的方程； （2）设直线:(0)l ykx k与椭圆交于P，Q两点，l 与直线AB交于点M，且点P，M均在第四 象限若BPM的面积是BPQ面积的 2 倍，求k的值 20（本题满分 12 分） 如图， 四边形ABCD是平行四边形， 平面AED 平面ABCD，/ /EFAB，2AB ， 3DE ，1BCEF，6AE ，60BAD，G为BC的中点 （1）求证：平面BED 平面AED； （2）求直线EF与平面BED所成角的正弦值 21（本题满分 12 分）设抛物线的方程为 2 2ypx，其中常数0p ，F是抛物线的焦点 （1）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线上的动点，求 | | PA PF 的最大值； （2）设2p ， 1 l， 2 l是两条互相垂直，且均经过点F的直线， 1 l与抛物线交于点A，B， 2 l与 抛物线交于点C，D，若点G满足4FGFAFBFCFD，求点G的轨迹方程 22（本题满分 12 分） 设a，bR，| 1a 已知函数 32 ( )63 (4)f xxxa axb，( )( ) x g xe f x （1）求( )f x的单调区间； （2）已知函数( )yg x和 x ye的图象在公共点 0 (x， 0) y处有相同的切线， 求( )f x在 0 xx处的导数； 若关于x的不等式( ) x g xe在区间 0 1x ， 0 1x 上恒成立，求b的取值范围 1 / 3 ACDCB BCBCB BC 13 -4 14 5 2 15 2 3 16 3 ( ,) 2 e 17解： （1）由题设及余弦定理得： 222 2cosBDBCCDBC CD C=13 12cos C， 222 2cosBDABDAAB DA A54cos C由得cos 1 2 C ，故60C . （2）由 1 () 2 CECDCB，得 2221 (2) 4 CECDCBCD CB 11 (49223) 42 19 4 所以 19 2 CE 18解： （1）证明：PABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影， PD平面ABC，则PDAB， 又E为D在平面PAB内的正投影，DE面PAB，则DEAB， PDDED，AB平面PDE，连接PE并延长交AB于点G， 则ABPG，又PAPB， G是AB的中点； （2） 在平面PAB内， 过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影 正三棱锥PABC的侧面是直角三角形， PBPA，PBPC， 又/ /EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF 平面PAC， 即点F为E在平面PAC内的正投影 连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心 由（）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故 2 3 CDCG 由题设可得PC 平面PAB，DE 平面PAB，所以/ /DEPC，因此 2 3 PEPG， 1 3 DEPC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2DE ，3 2PG ，2 2PE 在等腰直角三角形EFP中，可得2EFPF 所以四面体PDEF的体积 1114 222 3323 PEF VDES 19解： （1）设椭圆的焦距为2c， 由已知可得 2 2 5 9 c a ，又 222 abc， 解得3a ，2b ， 椭圆的方程为： 22 1 94 xy ， （）设点 1 (P x， 1) y， 2 (M x， 2) y， 21 (0)xx则 1 (Qx， 1) y BPM的面积是BPQ面积的 2 倍，| 2|PMPQ，从而 2111 2()xxxx ， 21 5xx， 易知直线AB的方程为：236xy 2 / 3 由 236xy ykx ，可得 2 6 0 32 x k 由 22 4936xy ykx ，可得 1 2 6 94 x k ， 2 945(32)kk， 2 182580kk，解得 8 9 k 或 1 2 k 由 2 6 0 32 x k 可得 2 3 k ，故 1 2 k 20证明： （1）证明：在ABD中，1AD ，2AB ，60BAD， 由余弦定理可得3BD ，仅而90ADB，即BDAD， 又平面AED 平面ABCD， BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，BD平面AED， BD 平面BED，平面BED 平面AED （2）/ /EFAB， 直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角， 过点A作AHDE于点H，连接BH， 又平面BED平面AEDED， 由（1）知AH 平面BED， 直线AB与平面BED所成的角为ABH， 在ADE，1AD ，3DE ，6AE ，由余弦定理得 2 cos 3 ADE， 5 sin 3 ADE， 5 3 AHAD， 在Rt AHB中， 5 sin 6 AH ABH AB ， 直线EF与平面BED所成角的正弦值 5 6 21解： （1）A是点( 2 p F，0)关于顶点O的对称点，可得( 2 p A ，0)， 设过A的直线为() 2 p yk x，tank， 联立抛物线方程可得 22 222 (2 )0 4 k p k xk pp x， 由直线和抛物线相切可得 2242 (2 )0k ppk p，解得1k ， 可取1k ，可得切线的倾斜角为45， 由抛物线的定义可得 |11 |sin(90)cos PA PF ，而的最小值为45， | | PA PF 的最大值为2； （2）由 2 4yx，可得(1,0)F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y，( , )G x y， 设 1: (1)lyk x，联立抛物线 2 4yx，可得 2222 (24)0k xkxk， 即有 12 2 4 2xx k ， 1212 4 ()2yyk xxk k ， 由两直线垂直的条件，可将k换为 1 k ，可得 2 34 24xxk， 34 4yyk ， 3 / 3 点G满足4FGFAFBFCFD， 可得4(x， 1234 )(4yxxxx， 1234) yyyy， 即为 2 1234 2 4 444xxxxxk k ， 1234 4 44yyyyyk k ， 可得 222 2 11 ()22ykkx kk ， 则G的轨迹方程为 2 2yx 22（1）解：由 32 ( )63 (4)f xxxa axb， 可得 2 ( )3123 (4)3()(4)fxxxa axa xa， 令( )0fx，解得xa，或4xa由| 1a，得4aa 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表： x (, )a ( ,4)aa (4,)a ( )fx ( )f x ( )f x的单调递增区间为(, )a，(4,)a，单调递减区间为( ,4)aa； （2）( ) i ( )( ( )( ) x g xef xfx，由题意知 0 0 0 0 () () x x g xe g xe ， 00 00 0 00 () ( ()() xx xx f x ee ef xfxe ，解得 0 0 ()1 ()0 f x fx ( )f x在 0 xx处的导数等于 0； ( )ii解：( ) x g xe， 0 1xx， 0 1x ，由0 x e ，可得( ) 1f x 又 0 ()1f x， 0 ()0fx， 故 0 x为( )f x的极大值点，由( ) I知 0 xa 另一方面