小学五年级长方体正方体小练习

1 13 长方体和正方体（一）长方体和正方体（一） 专题简析专题简析 在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图 形问题要注意几点： 1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起 来； 2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发 生的变化； 3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。 例题例题 1 1 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积 是多少平方厘米？（单位：厘米） 分析分析 （1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体 积是 1042=80（立方厘米） ，右边的长方体的体积是 10（62）2=80（立 方厘米） ，整个零件的体积是 802=160（立方厘米） ； （2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积 和正好与朝下的一个面的面积相等； 朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面 的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10610422）2=232（平 方厘米） 。 想一想：想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？ 2 举一反三举一反三 1 1： 1，一个长 5 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体，被切去一块后（如图） ，剩 下部分的表面积和体积各是多少？ 2，把一根长 2 米的长方体木料锯成 1 米长的两段，表面积增加了 2 平方分 米，求这根木料原来的体积。 3，有一个长 8 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体木块，在它的左右两角 各切掉一个正方体（如图） ，求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？ 例题例题 2 2 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图） ，你能算 出它的体积和表面积吗？（单位：厘米） 分析分析 （1）先求出长方体的体积，856=240（立方厘米） ，由于挖去了 一个孔， 所以体积减少了 222=8 （立方厘米） ， 这个零件的体积是 2408=232 （立方厘米） ； （2）长方体完整的表面积是（858665）2=236（平方厘米） ， 但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（22）平方厘米的面，同时又增 3 加了凹进去的 5 个（22）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是 2362 24=252（平方厘米） 。 举一反三举一反三 2 2： 1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。 （单位：厘米） 。 2，有一个棱长是 4 厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是 1 厘 米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图） ，那么得到的物 体的体积和表面积各是多少？ 4 例题例题 3 3、一个长方体沿着长的方向切掉一个小正方体，剩下的长方体的表面积比 原来减少 24 平方厘米，求所切下的正方体的表面积是多少平方厘米？（36 平方 厘米） 举一反三举一反三 3 3 1、一个正方体和一个长方体刚好拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体的 表面积增加了 60 平方厘米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？ 2、一根长 1 米，宽和高都是 8 厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大 的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？ 3、把两个完全相同的长方体木块拼成一个正方体，表面积比原来两个长方体的 表面积的和减少了 40 平方厘米。求原来每个长方体的面积是多少平方厘米？ 例题例题 4 4：长方体不同的三个面的面积分别为 10 平方厘米、15 平方厘米和 6 平方 厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？（30 立方厘米） 举一反三举一反三 4 4 1、一个长方体，不同的三个面的面积分别是 25 平方厘米、18 平方厘米和 8 平 方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 5 2、一个长方体，不同的三个面的面积分别是 35 平方厘米、21 平方厘米和 15 平 方厘米，且长、宽、高都是质数。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 3、一个长方体， 前面和上面的面积之和是 209 平方厘米， 这个长方体的长、 宽、 高的数值都是质数（单位：厘米） 。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 例题例题 5 5 把 11 块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是 288 立方厘米，求大长方体的表面积。 （1368 平方厘米） 分析 要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用 a、b、 h 分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即 h=1/4a,2a=3b 即 b=2/3a， 砖 的 体 积 是a*2/3a*1/4a=1/6a 3 。 由1/6a 3=288 可 知 ， a=12 ， b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。 大长方体的长是 122=24 厘米，宽 12 厘米，高是 83=11 厘米，表面积 就不难求了。 举一反三举一反三 5 5： 1，一块小正方体的表面积是 6 平方厘米，那么，由 1000 个这样的小正方 体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？ 6 2，有 24 个正方体，每个正方体的体积都是 1 立方厘米，用这些正方体可 以拼成几种不同的长方体？用图画出来。 3， 用 2100 个棱长是 1 厘米的正方体本块堆成一个实心的长方体。已知长方体的 高是 10 厘米，并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各是多少厘米？ 作业作业 基础题基础题 1、 一个正方体切去一个长方体后， 剩下图形的体积和表面积各是多少？ （单位： 厘米） 2、一个长方体，如果长减少 2 厘米，宽和高不变，则体积减少 48 立方厘米；如 果宽增加 3 厘米，长和高不变，则体积增加 99 立方厘米；如果高增加 4 厘米， 长和宽不变，则体积增加 352 立方厘米；求原来长方体的表面积。 3、一个零件的形状如图所示，求它的表面积和体积。 （单位：厘米） 7 4、有一个正方体，如果高增加 4 厘米，就成为一个长方体，这个长方体的表面 积正妇比原来正方体的表面积增加 80 平方厘米，求原正方体的体积。 5、一个知方体的棱长总和是 48 厘米，已知长是宽的 1.5 倍，宽是高的 2 倍，求 它的体积。 6、一个正方体木块的表面积是 96 平方厘米， 把它锯成体积相等的 8 个正方体小 木块，每个小木块的表面积是多少？ 提高题提高题 1、下图是由棱长 1 厘米的正方体木块堆成的形状，求它的体积和表面积。 8 2、有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是 156 平方厘米，并且长、宽、 高都是质数，求这个长方体最大的体积。 3、一堆黄土如图反示，已知 A 面的面积是 25 平方米，B 的面积是 15 平方米，A 比 B 处高 h 是 4 米，现把 A 处的土推向 B 处，使 A、B 两处同样高。A 处下降了 多少？ 4、把一个长 9 厘米、宽 7 厘米、高 3 厘米的长方体铁块和一个棱长 5 厘米的正 方体铁块熔铸成一个底面积是 20 平方厘米的长方体，求它的高。 5、一只蚂蚁从正图长方体的 A 点出发， 沿长方体的表面爬行， 依次经过前、 上、 后、底面，最后到 P 点，设计一条最短的爬行路线。 6、一块长方形铁皮，四个角剪去边长为 2.8 分米的正方形，焊成一个长方体铁 皮盒，可以盛水 546 升，已知这块长方形铁皮的长是 21.2 分米，求原长方形铁 皮的面积。 第第_讲讲 长方体和正方体（二）长方体和正方体（二） 专题简析专题简析 9 在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况： 把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个 物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。 解答上述问题，必须掌握这样几点： 1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗） ，体积不变； 2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和； 3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。 【例题【例题 1 1】在一个长 15 分米，宽 12 分米的长方体水箱中，有 10 分米深的水。 如果在水中沉入一个棱长为 30 厘米的正方体铁块，那么，水箱中的水深多少分 米？ 练习 1：1、有一个长方体容器，从里面量长 5 分米、宽 4 分米，高 6 分米，里 面注有水，水深 3 分米。如果把一块边长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上 升了多少分米？ 2、有一个小金鱼缸，长 4 分米，宽 3 分米，水深 2 分米。把一个小块假山石浸 入水中后，水面上升了 0.8 分米。这块假山石的体积是多少立方分米？ 3、在一个长 20 分米，宽 15 分米的长方体容器中，有 20 分米深的水。现在在水 中沉入一个棱长 30 厘米的正方体铁块，这时容器中水深多少分米？ 10 【例题【例题 2 2】将表面积分别为 54 平方厘米、96 平方厘米和 150 平方厘米的三个铁 质正方体熔成一个大正方体（不计损耗） ，求这个大正方体的体积。 练习 2：1、有三个正方体铁块，它们的表面积分别是 24 平方厘米、54 平方厘米 和 294 平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。 2、将表面积分别为 216 平方厘米和 384 平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长 方体，已知这个长方体的长是 13 厘米，宽 7 厘米，求它的高。 3、把 8 块边长是 1 分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方体的表面 积是多少平方分米？ 【例题【例题 3 3】一个长方体容器的底面是一个边长为 60 厘米的正方形，容器里直立 着一个高 1 米，底面边长 15 厘米的长方体铁块。这时容器里的水深 0.5 米。如 果把铁块取出，容器里的水深多少厘米？ 练习 3：1、有一块边长是 5 厘米的正方体铁块，浸没在一个盛水的长方体容器 中。取出铁块后，水面下降了 0.5 厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘 米？ 11 2、有一个长方体水箱，从里面量长 40 厘米、宽 30 厘米、深 35 厘米，箱中水面 高 10 厘米。放进一个棱长 20 厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时 水面高多少厘米？ 3、有大.中.小三个长方形水池,它们的池口都是正方形,边长分别为 6 分米、3 分米、2 分米。现在把两堆碎石分别沉入中.小水池内，这两个水池的水面分别 升高了 6 厘米和 4 厘米。如果把这两堆碎石都沉入大水池内，那么，大水池的水 面将会升高多少厘米？（得数保留整数） 【例题【例题 4 4】有一个长方体容器（如下图） ，长 30 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米， 里面的水深 6 厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多 少厘米？ 练习 4：1、有两个长方体水缸，甲缸长 3 分米，宽和高都是 2 分米；乙缸长 4 分米、宽 2 分米，里面的水深 1.5 分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里 深几分米？ 2、有一块边长 2 分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截 12 面是一个长 4 厘米、宽 2 厘米的长方形，求它的长。 3、像例题中所说，如果让长 30 厘米、宽 10 厘米的面朝下，这时的水深又是多 少厘米？ 【例题【例题 5 5】一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。第一次把小 球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球 和大球一起沉入水中。已知每次从容器中溢出水量的情况是：第二次是第一次的 3 倍，第三次是第一次的 2.5 倍。问大球的体积是小球的多少倍？ 练习 5：1、有一个正方体容器，边长是 25 厘米，里面住满了水，有一根长 50 厘米，横截面是 12 平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问会溢出 多少立方厘米的水？ 2、有两个水池，甲水池长 8 分米、宽 6 分米、水深 3 分米，乙水池空着，它长 6 分米，宽和高都是 4 分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两水池 中的水面同样高。求水面高。 3、一个长方体容器，底面是一个边长为 60 厘米的正方形。容器里直立着一个高 1 米、底面边长 15 厘米的长方体铁块，这时容器的水深 0.5 米。现在把铁块轻 轻地向上提起 24 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？ 13 第第 15 周周 长方体和正方体（三）长方体和正方体（三） 王牌例题王牌例题 1 一个棱长为 6 厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为 2 厘米的正方体若干块，表面积增 加多少平方厘米？ 【思路导航】把棱长为 6 厘米的正方体锯成棱长为 2 厘米的正方体，可以按右图中的线共 锯 6 次，没锯一次就增加两个 66=36（平方厘米）的面，锯 6 次共增加 3626=432（平 方厘米）的面积。因此，锯好后表面积增加 432 平方厘米。 3626=432（平方厘米） 答：表面积增加 432 平方厘米。 举一反三举一反三 1 1.把 27 块棱长是 1 厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有 的笑正方体的面积之和少多少平方厘米？ 2.有一个棱长是 1 米的正方体块，如果把它锯成体积相等的 8 个小正方体， 表面积增加多少 平方米？ 3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成 4 个同样的小长方体，没有涂颜 色的面积是 60 平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？ 王牌例题王牌例题 2 18 个边长为 2 厘米的小正方体堆成如图所示的形状，求它的表面积。 14 【思路导航】这个立体图形的表面是由若干个边长为 2 厘米的正方形组成的，可按上下、 左右、前后的顺序数出共有多少个小正方形，即可求出表面积。 前面和后面有小正方形 92=18（个） 上面和下面有小正方形 92=18（个） 左面和右面有小正方形 82=16（个） 22（18+18+16）=208（平方厘米） 答：表面积是 208 平方厘米。 举一反三举一反三 2 1.下图是由 16 个棱长为 2 厘米的小正方体重叠而成的，求这个立体图形的表面积。 2.把三个棱长都是 2 厘米的正方体拼成一个长方体， 这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 3.有三块完全一样的长方体积木，它们长 8 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米，现把三块积木搭成 一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？ 王牌例题王牌例题 3 有一个正方体，棱长是 3 分米。如果按下图把它切成棱长是 1 分米的小正方体，这些小正 方体的表面积的和是多少？ 15 【思路导航】按题中要求切，一共可以切成的小正方体是 333=27（个） 。由于每个小正 方体的表面积是 116=6（平方分米） ，所以，这 27 个小正方体的表面积和是 627=162 （平方分米） 。 （116）（333）=162（平方分米） 答：这些小正方体的表面积的和是 162 平方分米。 想一想：想一想：在切的过程中，每切一刀，就会增加两个（33）平方分米的面，你能用郑重思路 来计算所求问题吗？ 举一反三举一反三 3 1.用棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体， 至少需要多少个小正方体？如果 要摆成一个棱长是 6 厘米的正方体，需要多少个小正方体？ 2.有一个长方体，长 10 厘米，宽 6 厘米， 高 4 厘米，如果把它锯成棱长是 1 厘米的小正 方体，一共能锯成多少个？这些小正方体的表面积和是多少？ 3.把 24 个棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方 厘米? 王牌例题王牌例题 4 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图所示切开，切开的小正方体中： （1）三个面涂有红色的有几个？ （2）两个面涂有红色的有几个？ （3）一个面涂有红色的有几个？ （4）六个面没有涂色的有几个？ 【思路导航】按题中的要求切，切成的小正方体一共有 333=27（个） 。 16 （1）三个面都涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有 8 个。 （2）两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有 112=12（个） 。 （3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有 16=6（个） 。 （4）六个面都没有涂色的小正方体在大正方体的中间，有 27（8+12+6）=1（个） 。 举一反三举一反三 4 1.把一个棱长是 5 厘米的正方体的六个面涂