积分不等式证明技巧解析

Vo 1 1 2 ， N o 6 高等数学研究 No v ，2 0 0 9 S TUDI ES I N COL LEGE MATHEMATI C S 2 5 积分不等 式证 明技巧解析 杨 和 稳 ( 南京信息职业技术学院 南京 2 1 0 0 4 6) 摘要 基于定积分不 等式的证明是高等数学教学中的一个难点 的认识 ， 重点解 析定积分 不等式 证明过程中所涉及 的知识 点 ， 并对不 等式 证明技 巧进行 分析 与归纳 ， 阐述定 积分不等式证 明的基本思 路 和解题技巧 关键词 积 分不等式 ； 证明 ； 技巧 中图分类 号01 7 2 2 积分不等式的证明技巧很多 ， 它涉及到微积分许多知识点 ， 但其根本点是将数值问题归结为函 数问题 ， 利用微积分理论研究函数的性质 ， 再应用函数的性质及特点证明积分不等式 1 利用定积分定义证明积分不等式 例1 设厂 ( z ) 在 o ， 1 上连续， 且厂 ( z ) 0 ， 证明： I n I f ( x ) d x l l n f ( x ) d x 证明 现将 O ， 1 区间进行 等分， 取 z 一 因为 ， ( 音 ) l ， ( 音 ) j ， 两边取对 数得 ，n 骞 厂 c 砉 ) 1 n 两 边在 一 。 。时取极 限得 lira 骞 ， ( ) 1 i= 1 厂 ( 三 ) n - - lf ( l i m 。 。 7 i = 1 1 )一 n 厂 ( z ) I d 2 利用 定积 分 的性 质证 明不 等式 对可积函数 厂 ( z ) ， g ( z ) ， 先证出在 n ， 6 上有 厂 ( ) g ( z ) ， 然后 由定积分的性质得 I 厂 ( z ) 如 I g ( z ) d x 例 2证 明 ： f 2 , 1n d z f 。 l 如 证明 当zE 1 ， 2 时， X ， l n x 0 ， 则 l n z x l n z 因4 ； I n 和x l n x 在 1 ， 2 上均为 连 续 函 数 由 定 积 分 性 质 可 知 ： r ln z 如f 。 l眦 d z 3 构造变上限积分 函数证明不等式 对于含有定积分的不等式 ， 可把常数变为变数构造辅助函数 ， 利用变上限积分及函数的单调性 解决此类不等式 收稿 日期 l 2 0 0 9 0 3 3 0 ， 修改 日期 ； 2 0 0 90 8 3 1 2 6 高等数学研究 2 0 0 9 年 1 1 月 例 3 设 ， ( z ) 在 口 ，6 上 连 续 ， 且 单 调 递 增 ， 试 证 明 f b 厂 ( ) d z a +：厂 b f ， ( z ) d 证明 设辅助函数 ) 一f tx f ( x ) d x 一 半 ) d x ， F ( ) 一I 一 I 厂 ( ) ， 显然 F ( 口 )一 0 对任意 t 口 ， ， 有 F ( t ) 一 ( ) 一 I f ：I ( z ) d 一 厂 ( ) 一 厂 ( ) 一 丢 厂 ( z ) d = i f E r ( ) 一厂 ) -l d z ， 口 ， 因为 ，( z ) 单调递增 ， 则 F ( ) o ， 则 F( ) 单调递增， 所以 F( 6 ) F( 口 )一 O ( b 口 ) 因此 ，( z) 如 丁a+ b 蒯z 4 利用微分中值定理证明积分不等式 设被积函数一阶可导， 且 厂 ( 口 )一 O ( 或 厂 ( 6 )一 O ) ， 则有 ， ( z ) 一J f， ( ) ( z 一口 ) ( 或， ( ) = = 厂 ( ) ( z 一6 ) ) ， ， ( z ) 一I f ( t ) d t 例 4 设 ， ( )在 口 ， 6 上有连续导数 ， 且 厂( 口 )一 ， ( 6 )一 0 ， 证明 ： m a x I ( z ) f J l ， ( z ) t d z n 6 L D 一 口 J 。 J 证明 设 M m a x I 厂( z )i ， 因为 ， ( n ) 一厂 ( 6 )一0 ， 所以， 口 o f I ) I 一 ) I d + f I ) I 如一 r r 6 l l 厂 ( ) 一， ( 口 ) l d x +l l ， ( 6 ) 一， ( ) l d x I l ( 6 ) I ( z a ) d x 十I 井 l ( ) I ( 6 一 x ) d x M = a4 6 c z n d z + f c 6 一 z d 一 c 6 一 口 从 而有 m 坤a x I ， ( z ) Ii 南J 。 I 厂 ( z ) Ia 如 n d ， 6 o 一) 。 J 0 5 利 用泰 勒公 式证 明积 分不等 式 设被积函数 ， ( ) 二阶以上可导， 若在闭区间 ， 6 上 z ) 存在直到 阶连续导数 开区间( n ， 6 ) 内 存在 厂 ( )的 +1阶导数， 则对 x o ， 5 3 和任何 ( 口 ， 6 ) ， 至少存在一点 ( 口 ， 6 ) ， 使得： 厂 ( -f ( x o ) - t- f( x o ) ( 一勘) + ( z -X o ) 。 + 一面) 泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系 由已知条件 ， 围绕证 明目标 ， 选取恰当的点 ， 可将函 数在这些点展成泰勒展开式 例5 设 ( z ) 0 ， 0 1 ， 试证： I f ( x 。 ) d x ， ( 告) 证明 根据泰勒公式 ， 有 厂 ( z ) 一 ， ( 专 ) + ( ) ( z 一 号 ) + ( z 一 百1 ) ， 第 l 2卷第 6期 杨 和稳 ； 积分不等式证明技巧解析 2 7 其中 介于妻与 之间 因为 ( e ) 0 ， z o ， 1 ， 所以， ， ( z ) oooo ；一 oooo o ： oo I f ( x ) p ( x ) d x I f ( x ) J p ( x ) d x ( 一 ) 一 I 夕 ( x ) d x I p( ) d x J 4 J 0 当被积函数的二阶导数确定大于或小于 0 时， 可考虑此方法 参考文献 1 同济大学应用数学系 高等数学 M 北京： 高等教育出版社， 2 0 0 3 ： 2 0 7 2 1 8 2 盛祥耀 高等数学 M 北京： 高等教