导数的几何意义教学设计

导数的几何意义教学设计一、教材分析 教材利用了逼近方法，将割线在某点趋于的确定位置的直线定义为曲线的切线，这种定义反映了切线的真正本质，也使学生了解“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并使之确定起来的微积分思想。教材在给出切线定义的同时，也指出了导数的几何意义，即k=f(x0)二、学生情况分析 目前学生只知道圆锥曲线的切线的定义，但是对于一般的曲线的切线的定义并不只知道，所以学生有想知道一般曲线的切线的定义的欲望。再者，学生已经学了导数的概念，会用导数表计算简单函数的导数，这就方便了解决有关曲线的切线的相关问题。三、教学目标分析 1知识和技能目标 通过动画探求并理解导数的几何意义，理解曲线在一点的切线的概念，会求简单函数在某点的切线方程。2过程与方法目标 通过经历切线定义的形成过程，培养学生分析、抽象、概括等思维能力；体会导数的思想及内涵，完善对切线的认识和理解。 通过逼近、数形结合思想的具体应用，使学生达到思维方式的迁移，了解科学的思维方法。3思想与情感目标渗透逼近、数形结合、以直代曲等数学思想，激发学生学习兴趣，引导学生领悟特殊与一般、有限与无限、量变与质变的辩证关系，感受数学的统一美，意识到数学的应用价值。四、重难点分析 1教学重点 导数的几何意义、切线方程的求法以及“数形结合、逼近”的思想方法。 2教学难点 理解导数的几何意义的本质内涵，“在一点求切线方程”与“过一点求切线方程”的区别。五、教法分析 从圆的切线的定义引入，引导学生讨论一般曲线的切线的定义，通过多媒体动画演示，得出曲线的切线的定义，进而得到导数的几何意义和直观感知“逼近”的数学思想。六、学法指导 采用自主、合作、探究的学习方法。七、教学过程 教学环节教师活动学生活动1、 复习旧知，新课导入复习旧知：f(x0)=导入新课：初中时我们就学习了圆的切线，现在请大家回忆一下，当时是怎样定义圆的切线的？ 1、在学生回答后提问：图中的直线与曲线只有一个交点，这条直线是曲线的切线吗？2、在学生回答之后追问： 能否用直线与曲线的交点个数来定义一般曲线的切线？如果不能，又该如何定义？积极思考，被提问学生站起来回答问题。2探索求知 1 切线的定义播放导数几何意义的多媒体动画，通过动画引导学生概括切线的定义：割线PQ(P不动)上点Q向P逼近时，割线PQ会趋于一条确定的直线PT，则把直线PT叫做曲线在点P处的切线。指出其中蕴含的重要思想方法：“逼近思想”。yxP（x0,y0）QT2. 导数的几何意义让学生再看一遍动画，回答以下问题。板书导数的几何意义： 函数y=f(x)在x0处的导数是曲线y=f(x)在x=x0或在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。即k= f(x0)该切线的方程是：y- f(x0)= f(x0)(x- x0)3.让学生总结求切线方程的一般步骤。仔细看动画，积极思考；感受割线逼近切线的过程；体会逼近的数学思想；抽象出“割线的极限就是切线”这一结论；认真思考，然后和同组同学相互交流，得出结论：.割线的极限是切线割线的斜率的极限是切线的斜率.割线的斜率的极限是导数由、可知：切线的斜率是导数写出切线的方程：y- f(x0)= f(x0)(x- x0)根据直线的点斜式求切线方程需要求切点和斜率，求斜率要先求导数。3例题讲解例一、求曲线f(x)=x3在x=1处的切线方程。解：因为f(1)=1，所以切点为（1,1） 又因为f(x)=3x2所以k=f(1)=3所以切线方程为y-1=3(x-1)即：y=3x-2提问：同学们对这道例题还有什么疑问吗？y=x3y=3x-2（如果没有学生提问，老师提问：这条切线与曲线有几个公共点？让学生探讨之后得出结论）联立切线和曲线方程，该方程组有几组解，切线与曲线就有几个交点。让学生自己解方程组，得出有两组解，所以有两个交点。然后画出图像加以印证。问题：通过这个问题同学们得出了什么结论？（切线与曲线的公共点可能不止一个）大家能不能举出切线与曲线有无数个公共点的例子？（比如y=sinx的一条切线y=1与该曲线有无数个公共点）例二、求曲线f(x)=x3+x2+1在点（-1,1）处的切线方程。解：因为f(x)=3x2+2x所以k= f(-1)=1所以切线方程为y-1=x+1 即y=x+2问题：如果将题目中的“在”改为“过”，又如何求切线方程？y=x3+x2+1（-1,1）学生讨论之后产生很大争议，这时让几位同学说说他们的看法，最后叫一位认为与前面解答不一样的同学到黑板上写出自己的解答过程。老师此时在黑板上画出图像便能说明一切。老师根据学生在黑板上的板演的具体情况完善解题过程，并给出这一类题型的解法：过一点求切线方程，一般把切点设出来（x0,f(x0)），然后把切线方程表示出来y- f(x0)= f(x0)(x- x0)，因为切线经过已知点，把这点的坐标代入切线方程便可求出x0，从而求出切线方程。通过这个问题我们可以知道：（1） 在一点求切线方程，这点一定是切点。过一点求切线方程，这点不一定是切点。（2） 过曲线上一点做切线，可能不止一条。例三、求与直线y=2x-3平行且与曲线y=x2-2x相切的直线方程。引导学生分析已知条件，制定解题方案规范解答：解：设切点为（x0，y0），因为y=2x-2所以k=2x0-2=2所以x0=2则y0=0 所以切点为（2,0）因此所求直线方程为：y=2(x-2)即y=2x-4小结：一般不知切点的问题可先设出切点。提问：大家还有其他解法吗？和学生探讨交流得出下面这种解法：法二：设所求直线方程为y=2x+b 因为直线与抛物线y=x2-2x相切， 所以y=2x+b与y=x2-2x组成的方程组只有一组解，所以方程x2-2x=2x+b只有一解，即x2-4x-b=0只有一解，所以=16+4b=0，b=-4，所以所求直线方程为y=2x-4注意：这种解法只适合于直线与圆锥曲线，抛物线是圆锥曲线，可以使用。认真听讲，分析问题，学习解题规范格式；积极思考，对于例一还有什么问题.小组相互讨论问题，探索解决方案。被提问的同学站起来说出自己的看法。演算得出结论打破以前“切线与曲线只有一个公共点”的思维定式，通过这一例题要知道切线与曲线的交点可能不止一个，甚至有无数个。小组探究，争论该记笔记的记笔记，弄清“在”与“过”的区别，通过这一问题打破“过曲线上一点只有一条切线”的错误结论。思考：一般不知道切点的问题怎么解决？同时考虑一下这道题还有其他解法吗？并踊跃到黑板上演示。注意法二的适用范围。4小结 叫一位学生做课堂小结，不足之处加以补充强调本节课的数学思想方法：逼近思想回顾这节课所学知识和用到的数学思想方法，如果还有知识点没弄清，课后主动向老师或同学请教。作业布置习题2-2 A组 4，5八、教学反思 本节课由圆的切线的定义引入，通过多媒体动画演示，让学生直观感受割线逼近切线的过程，并概括出一般曲线的切线的定义，进而得出导数的几何意义。接下来通过三个例题，让学生能够解决常见的三种求切线方程的问题。由于学生基础不好，所以每个例题都在黑板上规范解答做演示，每个例题延伸出来的问题都