用_五点法_确定三角函数图象的解析式

用“五点法”确定三角函数图象的解析式 陶 冶 ( 江 苏省常熟 中学 215500 ) 陈 新 ( 江苏省常熟市中学 215500 ) 在三角函数图象的教学中 , 有一类由图象确定 解析式的问题经常困扰着学生 . 其实借助三角函数的 “五点法” 作图中的五个点 ,可以解决这类问题 . 1 例说“五点法” 的妙用 例1 设函数 f( x)= 3cos2 x +sin xcos x + a( 其中 0 ,a R) ,且 f( x) 的图象在 y 轴右侧的 第一个最高点的横坐标为 6 ,求 的值 . 解 f( x)= 3 2 ( 1 +cos 2 x)+1 2 sin 2 x +a = 1 2 sin 2 x + 3 2 cos 2 x +a + 3 2 =sin 2 x + 3 +a + 3 2 . 因为 f( x)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点 的横坐标为 6 ,这个最高点应该对应 y =sin x 某周 期上的最高点 . 由“五点法” 可知 , x = 6 对应着 2 +2k,k Z,故 2 6 + 3 = 2 +2k,所以 = 1 2 +6k. 由 0 ,知 = 1 2 +6k,k =0 ,1 ,2, 说明 本题提供了最高点的横坐标 . 例 2 已知函数 f( x)= Asin( x + ), x R( 其中 A 0 , 0 ,0 2 ) 的图象与 x 轴的 交点中 ,相邻两个交点之间的距离为 2 ,且图象上一 个最低点为 M( 2 3 , -2). 求 f( x)的解析式 . 解 由最低点是 M( 2 3 , -2) ,可得 A =2 . 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 2 , 可知 2 = T 2 , 即 T =,故 =2 T =2 . 下面我们用传统法和“五点 法” 来求 的值 . ( 并把传统方法与“五点法” 比较) 传统法 由 M( 2 3 , -2)在图象上 ,得2sin( 2 2 3 + )=-2 ,即 sin( 4 3 + )=-1 , 4 3 +=2k- 2 ( k Z) , =2k- 11 6 ,且 0 0 , - )的图象如图 3 所示 ,则 = . 图 3 解析 第一步 ,由 图 3 确 定 周 期 T= 22- 3 4 = 5 2 , 从 而得 =2 T = 4 5 . 得 y =sin 4 5 x + . 第二 步 , 由 “ 五 点 法” 可 知 , 图 象 上 的 点 3 4 , -1 对 应 着y= sinx 图 象 上 的 点 3 2 , -1,故 4 5 3 4 += 3 2 ,所以 = 9 10. 说明 如果不加约束条件 , 的取值有无数个 , 它们相差周期的 k 倍 ,所以 ,所求解析式的最简形式 是确定的 . 用“五点法” 求解的 一般都在指定范围 内 ,如 0 ,2 ), -, ) 等 . 此题提供了相邻的最高点 和最低点的坐标 . 例 6 若三角函数 y = f( x)的图象如图 4 所 示 ,则 y = f( x)的解析式是. 解析 由最高点 、最低点及平衡位置可知 , A =1 ,常数项为 1 . 由 10 ,1, 7 20 ,0 分别对应着正 弦函数图象上的( ,0) , 3 2 , -1, 得周期 T =, 故 =2 . 又 2 10 +=, 故 =4 5 . 所以 y = sin 2x +4 5 +1 . 图 4 说明 本题提供了 函数一个周期的非常规图 象 . 把图象上的两个关键 点看作前一个周期中第三 点和第四点的坐标 . 总之 , 当图象提供了 最高点 、最低点或者平衡 点的条件时 ,就能用“五点法” 求出基本量 , 从而解 得解析式 . 在处理这类图象变换问题时 ,准确把握式 中 y =Asin( x + ) 的基本量 A, , 的意义和作用 是关键 ,正确运用“五点法” 作图是基础 . 2 “五点法” 的拓展思考 正弦函数的“五点法” 作图原理也能拓展到正 切函数的图象问题 . 选取正切函数 y = tan x 在 - 2 , 2 上的图象的渐近线 x =- 2 、中心( 0 ,0)、 渐近线 x = 2 ,借用“五点法” 的思想可解决正切函 数的同类问题 . 例 7 已知函数 y =tan( x + ) ( - ) 的图象如图 5,则 =, =. 图 5 解 析 渐 近线 x = - 3 和 x =5 3 分别对应于 正切函数 y =tan x 的渐近 线 x =- 2 和 x = 2 ,中心 2 3 ,0 对应于 O( 0 ,0),故周 期 T =2,所以 = 1 2 . 又 x =2 3 时 , 1 2 2 3 +=0 ,故 =- 3 . 3 “五点法” 作图原理运用的启示 “五点法” 作图原理在本质上是数学的化归思 想 . 正弦函数 、余弦函数 、正切函数是高中课本中的 基本初等函数 . 之所以演变出成百上千道题 ,都是因 为“化归” 的作用 . 由一生多 ,由多归一 . 所以说 ,“五 点法” 把千变万化的三角函数化归为最基本的三角 函数来考虑 . 掌握了它 ,也就掌握了解决这一类问题 的方法 . 以“五点法” 作图为教学活动的载体