中考专题复习：特殊四边形的动态探究题

特殊四边形的动态探究题1. 如图，在OAB中，OAOB，以点O为圆心的O经过AB的中点C，直线AO与O相交于点E、D，OB交O于点F，P是的中点，连接CE、CF、BP.(1)求证：AB是O的切线(2)若OA4，则当长为_时，四边形OECF是菱形；当长为_时，四边形OCBP是正方形 第1题图2. 如图，AB是O的直径，点P是O上不与A，B重合的一个动点，延长PA到点C，使ACAP，点D为O上一点，且满足ADPB，射线CD交PB延长线于点E.(1)求证：PABACD；(2)填空：若AB6，则四边形ABED的最大面积为_；若射线CD与O的另一个交点为F，连接OF，则当PAB的度数为_时，以O，A，D，F为顶点的四边形为菱形 第2题图3. 如图，已知ABCD中，AD8 cm，AB10 cm，BD12 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点D运动设运动时间为t.(1)连接DP、BQ，求证：DPBQ；(2)填空：当t为_s时，四边形PBQD是矩形；当t为_s时，四边形PBQD是菱形第3题图4. 如图，已知ABC内接于O，AB是直径，ODBC于点D，延长DO交O于点F，连接OC，AF.(1)求证：CODBOD；(2)填空：当1_时，四边形OCAF是菱形；当1_时，AB2OD. 第4题图5. (2017濮阳模拟)如图，在RtABC中，ACB90，以AC为直径的O与斜边AB交于点D，E为BC边的中点，连接DE.(1)求证：DE是O的切线；(2)填空：若B30，AC2，则DE_；当B_时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形第5题图6. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一动点，过点C作半圆O的切线l，过点B作BDl，垂足为D，BD与O交于点E，连接OC、CE、AE，AE交OC于点F.(1)求证：CDEEFC；(2)若AB4，连接AC.当AC_时，四边形OBEC为菱形；当AC_时，四边形EDCF为正方形第6题图7. 如图，在ABD中，ABAD，以AB为直径的F交BD于点C，交AD于点E，CGAD于点G.(1)求证：GC是F的切线；(2)填空：若BCF的面积为15，则BDA的面积为_；当GCD的度数为_时，四边形EFCD是菱形第7题图8. 如图，在S中，AB是直径，AC、BC是弦，D是S外一点，且DC与S相切于点C，连接CS，DS，DB，其中DS交BC于点E，交S于点F，F为弧BC的中点(1)求证：DCSDBS；(2)若AB10，AC6，点P是线段DS上的动点连接PC、PB，当PD_时，四边形PCSB是菱形；当PD_时，PAC的周长最小第8题图9. 如图，AB为O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1 cm/s的速度匀速运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向匀速运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交O于点M和点N，已知O的半径为 cm，AC8 cm，设运动时间为t秒(1)求证：NQMQ；(2)填空：当t_时，四边形AMQN为菱形；当t_时，NQ与O相切 第9题图10. 如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一个动点，BAC的平分线交圆弧于点D，半圆O在点D处的切线与直线AC交于点E.(1)求证：ADEABD；(2)填空：若EDDB2，则AEAB_；连接OC、CD，当BAC的度数为_时，四边形BDCO是菱形第10题图11. 如图，AB为O的直径，点D、E位于AB两侧的圆上，射线DC切O于点D.已知点E是圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且AED45.(1)求证：CDAB；(2)填空：当DAE_时，四边形ADFP是菱形；当DAE_时，四边形BFDP是正方形第11题图12. 如图，BC是O的直径，BPBO，过点P作O的切线交O于点A，点D为劣弧AC上一点，连接OA，AC，AD，CD，AB.(1)求证：OAPBAC；(2)填空：若BP3，则APC的面积为_；在的条件下，当l_时，四边形AOCD为菱形 第12题图13. 如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E.(1)求证：OBDOED；(2)填空：当BAC_时，CA是半圆O的切线；当BAC_时，四边形OBDE是菱形第13题图14. 如图，AB是半圆O的直径，射线AMAB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC.(1)求证：BCOP；(2)填空：若半圆O的半径等于2，当AP_时，四边形OAPC是正方形；当AP_时，四边形BODC是菱形第14题图15. 如图，在RtABC中，ACB90，过点C的直线mAB，D为AB边上的一点，过点D作DEBC，垂足为F，交直线m于点E，连接CD，BE.(1)求证：CEAD；(2)填空：当D是AB的中点时，四边形BECD是_；当A_时，四边形BECD是正方形 第15题图16. 如图，O的半径为4 cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A、D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF、DC向终点F、C运动连接PB、PE、QB、QE，设运动时间为t(s)(1)求证：四边形PEQB为平行四边形；(2)填空：当t_ s时，四边形PEQB为菱形；当t_ s时，四边形PEQB为矩形 第16题图答案1. (1)证明：在ABO中，OAOB，C是AB的中点，OCAB.OC为O的半径，AB是O的切线；(2)解：；【解法提示】要使四边形OECF为菱形，则OEOFCECFOC，OCE是等边三角形，AOC60，又OCAC，OCOAcos60OA42，又BOD180AOCBOC60，P是的中点，DOPFOP30，的长.【解法提示】要使四边形OCBP为正方形，则BOCBOP45，又AOCBOC，AOB90，又OAOB，OCAB，OCABOA2，又P是的中点，的长.2. (1)证明：如解图，连接BD，AB为O的直径，APBADB90，ADPB，CADAPB90，PAD90，第2题解图APBADBPAD90，四边形ADBP是矩形，ADPB，在PAB和ACD中，PABACD；(2)解：18；【解法提示】由(1)知，ADPB，ADPB，ACAP，ADPE(PBBE)，PBEB，ADBE，ADPB，四边形ADEB是平行四边形，AB是O的直径，其长度不变，直线CD和O相切时，即点D到直径AB的距离等于半径时，四边形ABED的面积最大，AB6，S四边形ABED最大ABAB18. 30或60.【解法提示】分两种情况考虑：当时，如解图，连接PD，则PD为O的直径，四边形ADFO为菱形，OAADDFFOOD，ADO和ODF为等边三角形，AOD60，OAOP，PABAOD30；当时，如解图，连接PD，AF，则PD为O的直径，四边形AODF为菱形，OAAFDFFOOD，AOF和DOF为等边三角形，AOD120，AOP60，OAOP，AOP为等边三角形，PAB60.第2题解图 第2题解图3. (1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AC，ADBC.又APCQt，在APD和CQB中，APDCQB(SAS)，DPBQ；(2)解： 1；【解法提示】如解图，要使四边形PBQD是矩形，DPAB，AD2AP2BD2BP2DP2，即82t2122(10t)2，解得t1. 2.【解法提示】要使四边形PBQD为菱形，则BPDP，如解图，过点D作DHAB于H，连接PQ，与BD相交于O.由知BH1019，cosDBH.在RtBOP中，cosPBO，cosDBHcosPBO，即，解得t2.第3题解图4. (1)证明：ODBC，OBOC，ODCODB90，OCDOBD，在COD和BOD中，CODBOD；(2)解：30；【解法提示】如解图，要使四边形OCAF是菱形，则OFAFOAACOC，即AOF和OAC是等边三角形，2360，AB是O的直径，ACB90，130，当130时，四边形OCAF是菱形第4题解图45.【解法提示】AB2OB，要使AB2OD，则ODOB，在RtODB中，sin1，145，当145时，AB2OD.5. (1)证明：如解图，连接OD.AC是O的直径，ADC90，CDB90，又E为BC边的中点，DE为RtDCB斜边的中线，DECEBC.DCECDE.OCOD，OCDODC，ODCCDEOCDDCEACB90，ODE90.OD为O的直径，DE是O的切线第5题解图(2)解：3；【解法提示】B30，AC2，BCA90，tan30，解得：BC6，则DEBC3.45.【解法提示】四边形ODEC为正方形，DECACB90，DEEC，又BEDE，DBE是等腰直角三角形，B45.6. (1)证明：由题意可知，D90，AB为半圆O的直径，AEB90，又l为半圆O的切线，DCO90，四边形CFED为矩形，CFDE，EFCD，又CECE，CDEEFC(SSS)；(2)解： 2；【解法提示】若四边形OBEC是菱形，则OCOBBECEAB，EAB30，COAEBA60，OCOA，AOC为等边三角形，AB4，AC2. 2.【解法提示】如解图，若四边形EDCF为正方形，则O与F重合，B与E重合，AOC90，OAOC2，AC2.第6题解图7. (1)证明：ABAD，FBFC，BD，BBCF.DBCF，CFAD.CGAD，CGCF，又FC为F的半径，GC是F的切线；(2)解： 60；【解法提示】CFAD，BCFBDA，SBCFSBDA14，SBDA4SBCF41560.30.【解法提示】四边形EFCD为菱形，EFBD，点F为AB的中点，ABAD，AEAF，AFEF，AEF是等边三角形，AEF60，D60，GCD180906030.8. (1)证明：点F是弧BC的中点，SF为S的半径，SFBC，且E为BC的中点，DS是BC的垂直平分线，DCDB.在DCS和DBS中，DCSDBS(SSS)；(2)解： ；【解法提示】如解图，四边形PCSB是菱形，PESE，BECE，PSBC.AB是S的直径，ACBC，AB10，AC6，在RtABC中，由勾股定理可得BC8，BE4，BS5，在RtBES中，由勾股定理可得ES3，PS6，由(1)可得DB是S的切线，BSDB，SEBSBD90，BSEDSB，EBSBDS，即，SD，PDSDPS6，当PD时，四边形PCSB是菱形第8题解图 .【解法提示】DS是BC的垂直平分线，PCPB，PAC的周长ACPAPC6PAPC6PAPB，当P、A、B三点共线时，PAPB最小，即点P与点S重合时，PAC的周长最小，即周长的最小值为61016，此时PDSD，由知SD，当PD时，PAC的周长最小9. (1)证明：AB是O的直径，ABMN，PMPN，AB垂直平分MN，NQMQ；(2)解：；【解法提示】APt，CQt，则PQ8tt82t，AQMN，PMPN，当APPQ时，四边形AMQN为菱形，即t82t，解得t.2.【解法提示】如解图，作OHQN于H，OQACAOCQ8tt，OPt，当ONQN时，QN为O的切线，NOQPON，OPNONQ，ONPOQN，OPONONOQ，即(t)(t)，整理得t28t120，解得t12，t26(舍去)，t2时，NQ与O相切第9题解图10. (1)证明：如解图，连接OD，AD是BAC的平分线，EADDAB，AOOD，OADODA，EADODA，ODAE，DE是半圆O的切线，ODDE，E90，AB是半圆O的直径，ADB90，EADDAB，EADB，ADEABD；第10题解图(2)解： 34；【解法提示】由(1)得ADEABD，EDDB2，AEAD2，EAD30，DAB30，ADAB2，AEAB34. 60.【解法提示】如解图，连接OC，CD，OD，当四边形BDCO是菱形时，ODBD，ODB为等边三角形，DOB60，由(1)得，ODAC，BAC60.第10题解图11. (1)证明：如解图，连接OD，射线DC切O于点D，ODCD，即ODF90，AED45，AOD2AED90，即ODFAOD，CDAB；第11题解图(2)解： 67.5；【解法提示】四边形ADFP是菱形，ADAP，在RtAOD中，OAOD，DAO45，ADPAPD67.5，在ADE中，DAE180ADEAED18067.54567.5. 90.【解法提示】当四边形BFDP是正方形，由题意可知，DEAB时DE经过O的圆心，DE是O的直径，DAE90.12. (1)证明：BC是O的直径，BAC90，PA为O的切线，OAP90，OAPBAC，在RtOAP中，BPBO，点B为PO的中点，ABPBBO，OAOB，OAOBAB，ABO为等边三角形，AOPABC60，在OAP和BAC中，OAPBAC；(2)解：；【解法提示】如解图，过点A作AEBC于点E，BP3，OBOC，PCBPOBOC9.在RtAOE中，AOE60，AEOAsinAOEOAsin603.SAPCPCAE9.第12题解图 .【解法提示】如解图，连接OD.四边形AOCD为菱形，AOAD，OAOD，AOD为等边三角形，AOD60，l.13. (1)证明：如解图，连接AD，第13题解图AB是半圆O的直径，ADBC，又ABAC，BADCAD，.BDED，在OBD和OED中，OBDOED(SSS)；(2)解：90；【解法提示】当BAC90，AB为O的直径，CA是半圆O的切线60.【解法提示】四边形OBDE为菱形，OBBD，OBOD，OBD是等边三角形，ABC60，ABAC，ABC为等边三角形，BAC60.14. (1)证明：如解图，连接OC，AC，AB是直径，AMAB，BCAC，AP是半圆的切线，PC切半圆O于点C，PAPC，又OAOC，O