电大《常微分方程》形成想考核作业参考答案

常微分方程的第一、二、三次作业参考解答1 .给出一阶微分方程：(一)求其通解；解：从原来的形状变形而来的东西：.两侧同时积分.(2)求出通过点(2，3 )的特解解：将点(2，3 )代入问题(1)求得的通解如下所示即通过点(2、3 )特解.(3)求出与直线相接的解解：按问题分类的联立方程式：所以有。 从切线条件可以看出即，即能解开故意要求。(4)求出满足条件的解。解：赋值后，得到故意要求。2 .求下列方程式的解：1)1)(2)。解：按问题分类的联立方程式：我能接受。 律令。原式如下所示一下命令，马上就有了.两边同时积分，即可得到。.将代入上面的表达式后，可以执行以下操作.即，求出上式。3 .求解下列方程式：.解：从原来的形状变形而来的东西：.两侧同时指向也就是说，上式是原方程的解。.解：首先求其对应齐次方程的解.进一步变形：.两者同时积分.利用常数变异法，作为原方程的解。有的整理：.两侧同时积分.因此，原方程的解如下：.灬解：指令，整理赋值方程式解：即，即解：用原型化的简单性来组织两者同时积分4 .阐述一阶微分方程解的存在唯一性定理。一阶微分方程(1)其中是矩形区域上的连续函数。定义1当不等式全部成立而存在常数时，函数以上称为满足Lipschitz条件。对于在定理1上连续且满足Lipschitz条件，方程式(1)存在唯一解，其在区间上定义、连续且满足初始条件。5、求方程通过点的第二次近似解。解：令则6 .讨论方程通点解和通点解的存在区间。解：此时，区域d是整个平面。 方程的右端函数满足展开定理的条件。 计算容易，方程的通解如下因此，通过(1，1 )的积分曲线为：它向左无限扩展，但此时由于是y ，因此其存在区间为(-，2 )。7 .考虑到方程的假设和xOy平面上的连续性试验证明：任意及方程满足的解存在于上。证明：问题设置证明，方程右端函数在整个xOy平面上满足延拓定理和存在与唯一性定理的条件。 容易看到的是方程式的(-，)下的解。 在延展定理中能够满足的、任意的解中的点必须无限远离原点，但由于解的唯一性不能穿过直线，因此只能向两侧延展，无限远离原点，因此解应该存在(-，)。8、设定(1)验证函数是方程的解解：由，易得.经过验证(2)求出满足初始条件的特解解：好的，不用了由可得.从中可以看出来所以求特解(3)求出满足初始条件的特解。解：从，代入能解开求特解的是9 .求解下列微分方程一)、二)、三，解：1)，此处的特征根方程有：两个特征根，因此其通解如下.解：2)，此处的特征根方程为：其特征根为，因此对应的齐次方程的解如下.想一想.若将其虚部作为原方程式的特解.根据解的结构基本定理，原方程的通解如下.解：3)，此处特征根方程有：2个特征根，因此对应的齐次方程的解如下.考虑到原始方程式，其特解如下.根据解的结构基本定理，原方程的通解如下.10 .使下一个初始值问题成为与其等价的一次方程式的初始值问题：1)1)(2)。解：1)x=x，x=x，得到即，即此外，x=x(1)=7 x(1)=x(1)=-2因此，将原初值问题作为与其等价的一次方程式的初值问题x=x(1)=在这里，x=.解：2)命令=x=是且(0)=x(0)=1、=(0)=-1、(0)=(0)=2(0)=(0)=0因此，将原初值问题作为与其等价的一次方程式的初值问题=x(0)=，这里x=.11 .考虑方程式。 其中1 )验证为的基解矩阵2 )满足试制初始条件的解证明： a )首先验证是基解矩阵的第一列原则一个方程的解所表示的第二列的情况下我们有所以既是方程式的解，也是方程式的解矩阵再见因此，它是一个基解矩阵b )由常数变易式可知，方程式是满足初始条件的解.然后呢12 .求方程满足初始条件的解。解： det(E-A)=(1)2(-3)=0。1 (双重)、=3。对应的特征向量为u1=，u2=.是=.能解开=.常微分方程式课程作业4解答1 .解答：证明：首先，方程的任意两个线性独立解的兰斯基矩阵在区间I不为零。 可以表示如下在区间I就任。在区间I是连续的，一定不是零。 在区间I中总是不为零，即，编号相同。 这在区间I中(与相同编号)没有变化。即在区间I严格地单调。2 .解答：证明：二次线性齐次方程的任意两个线性独立解群的医师滑雪行列式分别如下a、b分别是这两个行列式在某点的值。 线性非依赖解群的行列式总是不为零。 所以，a、b都不是零。 两个矩阵式之比或非零常数。3 .解答：方程式是它的解释如下：通过代入得到=4 .解答：或者显然，在常量的情况下(例如，如果=0)，该基本解组的朗格斯基矩阵是常量。5 .解答：(1)方程的特征方程是：特征性的根方程的解是其中任意常数。(2)方程的特征方程是：特征性的根方程的解，这里，数字是任意常数。(3)方程的特征方程是：特征性的根方程的解是其中任意常数。6 .解答：(1)方程的特征方程是：特征性的根方程的解是其中任意常数。代入以下2式，得到方程满足初始条件的解(2)方程的特征方程是：特征性的根方程的解是其中任意常数。代入以下2式得到方程满足初始条件的解7 .解答：(1)次方程的特征方程为：特征性的根解是其中的任意常数。命令代入比较同一项的系数方程的解(2)次方程的特征方程是：特征性的根解是其中的任意常数。命令代入比较同一项的系数方程式是的通解是(3)齐次方程的特征方程是：特征性的根解是其中的任意常数。命令代入比较同一项的系数方程的解8 .解答：f=