乌龟性别与温度的数学模型

数学建模的最终作业乌龟性别的决定因素(练习1010)姓名：李红军学生编号：专业：数学和应用数学年级：2012级摘要本文建立了小海龟的性温关系模型。在建模过程中，建立了温度和雄龟比例模型。由于雄龟比率只能取0，1之间的值，所以不能建立一般的统计回归模型，所以可以建立一个Logit模型。使用MATLAB统计工具箱中的命令glmfit来解决这个问题。得到各系数的估计值后，用EXCEL表计算出各温度下雄龟比例的估计值，并对模型进行了验证。为了提高模型的拟合效果，可以在Logit模型中加入T的高次幂，利用MATLAB统计工具箱中的命令回归可以得到各系数的估计值、置信区间和模型相关系数。为了直观地比较模型的拟合效果，可以使用MATLAB中的绘图工具生成(t，logit)散点图，使用工具下的基本拟合工具找出拟合效果最好的曲线，并获得其对应的系数。最后，logit基本模型显示，当温度为27.7329度时，小海龟的比例为1:1，每次温度升高，雄性海龟与雌性海龟的比例增加9.12484倍。关键词：logit模型，置信区间，相关系数一.提出问题人类的性别由基因决定。决定海龟性别的主要因素是什么？科学研究表明，决定小海龟性别的最关键因素是海龟孵化的温度。为了研究温度如何影响小海龟的雌雄比例，美国科学家对某种海龟的孵化过程进行了实验。实验在五种不同的恒温下进行。在每个温度下观察三批黑甲鱼卵的孵化过程。获得的数据如下：温度黑海龟蛋的数量雄性海龟的数量女性人数雄龟比率27.2101910%8080%91811.1%27.7107370%64266.7%86275%28.313130100%96366.7%87187.5%28.4107370%85362.5%97277.8%29.91110190.9%880100%990100%二。基本假设假设1；小海龟的性别只与温度有关。三。符号描述标志意义单位评论t乌龟孵化温度P(x)雄龟比率S黑龟蛋总数AX雄性海龟的数量AC女性人数A四.问题分析由于本课题是一个计算温度和性别比的模型，数据表中每一个温度下记录三批海龟，所以数据首先要处理，每一个温度下的海龟总数、雄海龟总数、雌海龟总数和雄海龟比例都要用excel计算。温度黑海龟蛋的数量雄性海龟的数量女性人数雄龟比率27.2272257.41%27.72417770.83%28.33026486.67%28.42719870.37%29.92827196.43%为了使计算更简单，可以对温度进行预处理，将27.2视为0，依此类推温度黑海龟蛋的数量雄性海龟的数量女性人数雄龟比率0272257.41%0.52417770.83%1.13026486.67%1.22719870.37%2.72827196.43%为了更直观地观察其回归关系，用MATLAB绘制散点图。从图中可以看出，回归曲线是一条接近三次样条的多项式回归曲线，其回归模型为(1)然而，在这个问题中，(1)是回归方程中的P(x)的值不一定在0，1。即使P(x)的值在为0，1，误差项也只能取两个0，1的值，故意给定t，这显然不具有正态性，方差依赖于t并具有异方差性。这些都违背了普通回归分析的前提条件。因此，普通的回归分析不能用于这个问题。因为P(x)取值在0，1之间，所以可以使用逻辑模型。五、模型的建立和求解5.1模型的建立5.2模型解决方案Logit模型是一个广义线性模型，可以使用MATLAB统计工具箱中的通用命令glmfit来求解。参数参数估计标准偏差B0-0.3739B12.21100.4309所以估计是也就是说，因此，当小海龟比例为1:1时，计算温度为27.7329度。验证模型的每个温度温度黑海龟蛋的数量雄性海龟的数量女性人数雄龟比率雄龟估计0272257.41%0.0.52417770.83%0.1.13026486.67%0.1.22719870.37%0.2.72827196.43%0.5.3模型改进从上述结果可以看出，拟合偏差太大，不适合作为最终结果。由于模型的右端是温度T的线性函数，我们可以考虑加上T的二次项，看看模型的拟合度是否可以提高。也就是说，将模型视为执行以下步骤b2，dev2=glmfit(t t.2,x s)，二项式，logitb2，pval=1-chi2cdf(dev-dev2，1)b2=-1.65823.7840-0.7745pval=0.0304B0、B1和B2的估计值分别为-1.6582、3.7840和-0.7745所以模型是温度黑海龟蛋的数量雄性海龟的数量女性人数雄龟比率雄龟估计0272257.41%0.0.52417770.83%0.1.13026486.67%0.1.22719870.37%0.2.72827196.43%0.从上表可以看出，拟合偏差减小了，因此可以看出，在增加高次幂后，拟合偏差可以得到改善，所以为了进一步改善拟合效果，可以先计算logit的对应值，并可以画出(t，logit)的散点图。温度黑海龟蛋的数量雄性海龟的数量女性人数雄龟比率Logit(t)0272257.41%-2.525350.52417770.83%0.1.13026486.67%1.1.22719870.37%0.2.72827196.43%3.然后使用“工具”下的“基本拟合”工具找出拟合效果最佳的曲线，并获得其相应的系数我们知道模型是系数为所以模型是当小海龟的比例为1:1时，P(x)=0.5。logit=0；也就是说，当温度为27时，小海龟的比例为1:1。28岁。和29岁。同样，每个数据都可以被验证温度黑海龟蛋的数量雄性海龟的数量女性人数雄龟比率雄龟估计0272257.41%0.07410.52417770.83%0.70831.13026486.67%0.866661.22719870.37%0.70352.72827196.43%0.9633从以上结果可以看出，拟合度非常好。用MATLAB统计工具中的命令回归求解后，相关系数R为1；拟合效果非常好。六.参考数学模型高等教育出版社第四版七.附录模型1求解器t=0 0.5 1.1 1.2 2.7；x=2 17 26 19 27；s=27 24 30 27 28；比例=x/s；b，dev，stats=glmfit(t，x s)，二项式，logit)；logitfit=glmval(b，t，logit)；图(t，proport，o，t，logitfit，r-)；XL Abel(t)；y label(x的比例)b，bi=stats.se，devb=-1.17832.2110bi=0.37390.4309dev=14.8629模型1验证器x=0 1；0.5 1；1.1 1；1.2 1；2.7 1x=0 1.00000.5000 1.00001.1000 1.00001.2000 1.00002.7000 1.0000y=-2.52535 0。1.0.3.；=0.05；b，bint，r，rint，stats=回归(y，x，alpha)b=1.8372-1.1419bint=-0.0667 3.7411-3.8599 1.5760r=-1.38341.11050.9931-0.1978-0.5223rint=-2.7014 -0.0654-2.0210 4.2419-2.6144 4.6005-4.4115 4.0160-2.1677 1.1230统计数据=0.7587 9.4311 0.0545 1.4817模型2的验证程序x=0 0 1；0.5 0.52 1；1.12 1.1 1；1.22 1.2 1；2.72 2.7 1x=0 0 1.00000.5000 0.2500 1.00001.2100 1.1000 1.00001.4400 1.2000 1.00007.2900 2.7000 1.0000y=-2.52535 0。1.0.3.；=0.05；b，bint，r，rint，stats=回归(y，x，alpha)b=-0.37972.7004-1.1635bint=-3.9912 3.2317-7.4018 12.8026-6.3645 4.0374r=-1.36181.56540.5246-0.6652-0.0631rint=-3.5130 0.7893-1.3332 4.4641-6.0070 7.0562-6.7698 5.4395-0.3836 0.2575统计数据=0.7271 2.6642 0.2729 2.5134(t，P(x)散点图程序t=0 0.5 1.1 1.2 2.7；p=0.0741 0.7083 0.8667 0.7037 0.9643；图(t，p，r*)(t，logit)散点图程序t=0 0.5 1.1 1.2 2.7；p=-2.52535 0。1.0.3.；图(t，p，r*)第三个模型用于计算小海龟比例为1:1时的温度程序。y=4.1581-15.113 9.9691 0 5.9619-2.5254y=4.1581-15.1130 9.9691 0 5.9619-2.5254根(y)ans=2.67551.2628-0.3415 0.5977i-0.3415 - 0.5977i0.3793vpa(根(y)，8)ans=2.1.0.*i-0。-0。*i-0。0