向量法证明几何命题

毕业论文论文主题向量法证明初等几何命题大学数学统计学院专业数学与应用数学学年2011级学号4学生名陈平领导教师张峰完成时间2015年4月肇庆学院教务所制矢量法证明初等几何命题陈平摘要本文运用向量的数量乘积、向量乘积、混合乘积来证明一些初等几何命题关键词初等几何数量积矢量积混合积1引言大家都不知道向量这个名词。 高中教材中已经接触到许多矢量的内容。 力学、物理学、日常生活中，温度、时间、质量、密度、工作、长度、面积和体积等量较多，这些量是一定的单位，可以用一个数完全确定。 这么大的量叫数量。 除此之外，还有位移、力、速度、加速度等复杂的量。 他们不仅有大小，还有方向。 这个量是向量。矢量最初应用于物理学。 许多物理量，例如力、速度、位移的电场强度、磁感应强度等是向量。 大约在公元前350年前，古希腊着名的学者亚里士多德知道力量可以用向量来表示。 两个组合作用是由着名的平行四边形得到的.“向量”一词来自力学、解析几何中的有前途的线段。 最初用有向线段表示向量的是英国的大科学家牛顿。从数学发展的历史来看，历史上很长一段时间，空间向量结构为数学家所不知，直到19世纪20世纪初，人们将空间性质与向量运算相关联，使向量成为具有良好运算通用性的数学体制。向量进入数学发展，最初用于多个几何表示. 18世纪末，挪威测量学家威塞尔首次使用坐标平面上的点表示多个(有理数，不同时相等)，坐标平面上的点用向量表示， 用具有几何意义的多项运算定义了向量的运算.坐标平面上的点用向量表示，用向量的几何表示来研究几何问题和三角问题.人们逐渐接受多项，利用多项来表示平面上的向量，学习研究，向量就这样平稳地投入了数学.矢量法证明许多几何命题比较简化，因此许多命题都有矢量法。 许多学生因为学习了向量，想激发他们的兴趣，在很多熟悉的问题上证明向量法，但是不知道向量法的基本思路和证明技术。 不仅是学生，老师有时也用比较麻烦的方法来证明初等几何命题。本文主要介绍了向量的基本算法，证明了一些经典问题，分别用一般方法和向量法证明了一些初等几何命题，并进行比较，比较了向量法和一般方法的差异，看哪种方法更简洁实用。2结果和讨论2.1向量的基本运算1如图1所示图1矢量的基本运算图向量加法：、减去向量：是向量乘法：、矢量数的乘积：是如果两个向量垂直：是矢量的混合乘积：是2.2向量法证明几何定理例11钩股定理的证明：三角形中，已知、证a.a英国广播公司图2例1图2要证明，两边是平方去掉括号，即，即，因为，事故，取得证据例22馀弦定理的证明：三角形的任意一边的平方等于从其馀两边的平方到其两边与他们形成的角的馀弦的积的二倍即，即图3例2图3证明了即，即，同样的事情可以证明、用其它方法证明馀弦定理：图4直角三角形图5锐角三角形图6钝角三角形证书根据三角形的分类，分三种情况证明在此为图4根据毕达哥拉斯定理：所以，所以，所以在锐角，如图5所示作为重点我们可以证明这一点是.钝角时，如图6所示的双曲馀弦值是.中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析用两种方法进行的馀弦定理的证明，用向量法证明馀弦定理的步骤明显很少，仅仅使用向量的相加、向量的数积就能证明定理，与第二种方法相比，需要把三角形分成三种来进行证明，还需要辅助线，对于向量法是复杂的2.3向量法求解平行四边形问题例32对角线相互二等分的四边形证明是平行四边形图7例3图7四边形ABCD的对角线，交叉于点，且相互平分。 由上图可知，四边形为平行四边形其他方法证明：证明：因为对角线相互分成两半，所以相交，在and即，由于相等，(内误角相等，两直线平行)因此为平行四边形在证明过程中，用向量法证明，只用向量的简单加法就可以证明命题，但一般方法要证明两个三角形是等同的，三角形是等同的需要几个步骤，可以得到两条直线平行且垂直，步骤太多显然用向量法证明要花更多的时间，但由于大多数学生不熟悉向量运算，因此选择了三角形相等的证明方法，因此提出了熟悉向量性质，有助于简单复杂的几何命题证明，大大节省了证明步骤，构想比较简单，一口气提高了例43实验向量法证明平行四边形对角线的平方和等于该边的平方和图8例4图8在分析平行四边形时，利用向量的相加、减法与向量数积可得出结论在平行四边形中则事故再见因此即平行四边形对角线的平方和等于该边的平方和2.4向量法处理垂直问题时的应用例54证明，只要一条直线垂直于一个平面内的两条交叉直线，它就垂直于和平面内的任何直线。图9例5图9证明垂直于直线以及在平面内与之相交的直线，并且以下证明垂直于其中的任何直线。 因为有在直线上分别任意取非零矢量的条件设定，然后，这表示两个矢量相互正交，即它们所处直线相互正交，直线与平面垂直.其他方法证明：证书由于问题而意味着直线，因为是直线，所以是直线，某个平面由于任意直线在某个平面内，所以是直线.虽然许多人可能用这种垂直证明的第二方法来证明这一点，但是实际上第二方法相对简单，但是向量法证明的方法是相对新颖的，并且这可以用向量相乘来培养出一种创新的思维例62在正三角柱中，底边的长度以高度为中点求证面图10例6图10证明：如图所示，创建并知道空间正交坐标系则再见，则是然后是面条2.5向量法证明在数学竞赛问题中的应用例75求图、中、外心、三条高、与点相交、与直线相交、与点相交的证明图11例7图11分析第一个小问题比较简单，可以直接用法证明：从问题的意义上分享四点所以呢为了外心即，即即，即同样的事情可以证明又也就是说例83中，分别在边上，与点相交。证明是重要的，只是重要的图12例8图12如果是重心的话很明显的众所周知，存在非零实数，因为不是共通线擦除，立即同样，由、由、由、由、可因为求解这个三元方程式很容易也就是重心如果是重心，就不能肯定类似于上述证明过程2.6矢量法处理虚线问题例93如图所示，在平行四边形中，点为中点，点为上，用向量证明：三点共线图13例9图13思维方式只需分析和证明选择点，而且证明是已知的，也在上面，并且得到是此外，点是中点，也就是说，三点是共通线例101如果向量的终点是共线性，则存在实数，并且反之也成立图14例10图14如证明图所示，如果是与终点共线，则存在实数命令是存在的，而且如果是其中的话，所以有也就是说另外，由于存在共同点，所以是3点共同线、即矢量终点共同线.证明三点共线，一般的方法很难，但向量法只需使用向量的减法和简单的代数运算就能证明问题，高中生只要熟悉向量的运算，就能简单地证明这个问题，如果不熟悉向量的基本运算，用其他方法证明三点共线的问题，不需要通过向量减法用2.7向量法证明海伦公式图15例11图15例114将三边长分别设为半周长，即是证明图，设定是我知道，利用数量的变换律和分配律，即，即是另一方面，从向量的数积的概念可知是事故. (2.1 )这是海伦的公式，三边的长度分别表示的面积，以下将(2.1)式作为所希望的形状。，是还有，先生即，即，所以呢是用向量法证明海伦公式的关键是用向量表示三角形的面积，通过向量的基本运算将其简单化，由于向量本来是几何内容，所以向量的运算也是几何内容，用向量的运算进行推论是用几何的方法进行推论，是典型的数学型结合运用。2.8向量法证明在立体几何中的应用如图125)所示，平面是正方形，是直角三角形，分别是线段中点.图16例12图16通过问题证明它是平面的、正方形的，另外，两个是垂直，如果为坐标原点生成图16所示的空间的直线坐标系则是设定即，即事故能解开因此另外，非共线、共面、平面、平面例131如图所示，在四角锥中底面是中点.图17例3图17如图17所示，四角锥中底面为中点.证明：在两个垂直方向上建立如图的空间正交坐标系设定则(1)因为是正三角形所以呢设定理由即，又事故也就是说所以呢再见也就是说即，成为平面.3总结本文主要用向量法证明点、线、面等简单几何初等命题，用向量加、减、向量积等方法证明几何命题。 在几何命题的证明中，向量法具有一定的优势，简化几何命题的证明，熟悉向量法的基本性质和运算，大大提高问题解决水平，有助于证明简单复杂的几何命题，用向量法进行证明是一个很好的选择。感谢：完成了这篇论文，我花了四个月的时间，这四个月，感谢我的指导老师张中峰，没有他的指导和工夫，我想我不能完成这篇论文。 我的水平不高，但张中峰老师很鼓励我，给我提供了很多有用的资料，我能在业馀时间顺利完成这篇论文。 最后感谢老师在百忙之中抽出宝贵的时间审查和修改我的论文。 同时，我也感谢和我交往了4年的同学，在你们的关怀下，我勇敢前进。 有你们的支持和鼓励，我充实完成