单位冲击函数_卷积

0-2单位冲击函数d-Function一、定义,fn(x)可以是Nrect(Nx),Nsinc(Nx),NGaus(Nx),二维圆域函数等等.物理系统已无法分辨更窄的函数,定义1.,练习:画出rect(x),10rect(10 x),sinc(x),10sinc(10 x)的示意图.,可描述:单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等.,0-2单位冲击函数d-Function一、定义(续),d-函数的图示:,0-2d-函数二、性质,1.筛选性质sifting(由定义3直接可证)设f(x)在x0点连续,则,证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习),推论:d(x)是偶函数,2.缩放性质scaling,与普通函数缩放性质的区别:普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度,通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.,0-2d-函数二、性质(续),3.乘积性质,设f(x)在x0点连续,则:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0),任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数,练习：计算sinc(x)d(x)2.sinc(x)d(x-0.5)3.sinc(x)d(x-1)4.(3x+5)d(x+3),0-2d-函数三、d-函数的阵列-梳状函数comb(x),表示沿x轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列.例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.,间隔为t的脉冲系列:,定义:n为整数,0-2d-函数三、d-函数的阵列-梳状函数comb(x),梳状函数与普通函数的乘积:,利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.,二维梳状函数:comb(x,y)=comb(x)comb(y),练习,0-4：已知连续函数f(x)，若x0b0,利用d函数可筛选出函数在x=x0+b的值，试写出运算式。0-5:f(x)为任意连续函数，a0,求函数g(x)=f(x)d(x+a)-d(x-a)并作出示意图。0-6：已知连续函数f(x)，a0和b0。求出下列函数：(1)h(x)=f(x)d(ax-x0)(2)g(x)=f(x)comb(x-x0)/b,0-2d-函数练习,0-4:,0-5:,0-6:,g(x)=f(x)d(x+a)-d(x-a),=f(x)d(x+a)-f(x)d(x-a),=f(-a)d(x+a)-f(a)d(x-a),h(x)=f(x)d(ax-x0),作图,0-2梳状函数练习0-6(2),练习0-7画函数图形,(1),(2),0-3卷积convolution一、概念的引入例题,用宽度为a的狭缝，对平面上光强分布f(x)=2+cos(2pf0 x)扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。,卷积概念的引入,探测器输出的光功率分布,0-3卷积convolution一、概念的引入(II),设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x),像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述,0-3卷积convolution一、概念的引入,物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x),像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述,x,0-3卷积convolution二、定义,若f(x)与h(x)有界且可积,定义,*:卷积符号,g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x-x).需要对任何可能的x求和.,g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.,二维函数的卷积:,0-3卷积convolution三、计算方法-借助几何作图,练习:计算rect(x)*rect(x),1.用哑元t画出函数f(t)和h(t);,2.将h(t)折叠成h(-t);,3.将h(-t)移位至给定的x,h-(t-x)=h(x-t);,4.二者相乘;,5.乘积函数曲线下面积的值即为g(x).,步骤:,0-3卷积convolution三、计算方法-几何作图法,练习:计算rect(x)*rect(x),1.用哑元t画出二个rect(t),2.将rect(t)折叠后不变;,3.将一个rect(-t)移位至给定的x0,rect-(t-x0)=rect(x0-t);,4.二者相乘;乘积曲线下面积的值即为g(x0).,|x|1;g(x)=0-1x0;g(x)=1x+1/2-(-1/2)=1+x0x1;g(x)=11/2-(x-1/2)=1-x,rect(x)*rect(x)=tri(x),卷积概念的引入：回到前面的例题,探测器输出的光功率分布:,计算这个卷积:,讨论这个结果,f(x)=2+cos(2pf0 x),练习,若,证明：,令x-x=x,证:,作业0-8,若,证明：,0-3卷积convolution四、性质,1.卷积满足交换律CommutativePropertyf(x)*h(x)=h(x)*f(x),推论:卷积是线性运算Linearityav(x)+bw(x)*h(x)=av(x)*h(x)+bw(x)*f(x),2.卷积满足分配律DistributivePropertyv(x)+w(x)*h(x)=v(x)*h(x)+w(x)*f(x),3.卷积满足结合律AssociativePropertyv(x)*w(x)*h(x)=v(x)*h(x)*w(x)=v(x)*w(x)*h(x),0-3卷积convolution四、性质(续),4.卷积的位移不变性Shiftinvariance若f(x)*h(x)=g(x),则f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)或f(x)*h(x-x0)=g(x-x0),5.卷积的缩放性质Scaling若f(x)*h(x)=g(x),则,0-3卷积convolution五、包含脉冲函数的卷积,即任意函数与d(x)卷积后不变,根据1.d-函数是偶函数,2.d-函数的筛选性质,有:,任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置.,f(x)*d(x-x0)=f(x-x0),f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.,=,*,利用卷积的位移不变性可得:,作业,0-9.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N.0-10.利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？,(透过率=输出/输入),利用卷积性质求卷积的例子作业0-11：用图解法求图示两个函数的卷积f(x)*h(x),若要求写出解析运算式:f(x)=?+?写成tri(x)的平移式h(x)=?+?写成d(x)的