几何最值与函数最值

几何最值与函数最值“最值”问题大都归于两类：几何最值与函数最值、归于几何“最值”，这类又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一类型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一类型。 、归于函数类型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值一、求两线段和的最小值问题 (运用三角形两边之和小于第三边)基本图形解析：1在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：（1）解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，PAPBAB，而PAPB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：（2）解析：过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB，PA-PB最大值为AB一、 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值1.（贵港）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则BPG的周长的最小值是 _ 2.如图，正方形的边长为8， M在DC上，DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值=_3.（贵港）如图，MN为O的直径，A、B是O上的两点，过A作ACMN于点C，过B作BDMN于点D，P为DC上的任意一点，若MN20，AC8，BD6，则PAPB的最小值是。4如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= （ ）A6B.8C.10D.12二、应用垂线段最短的性质求最值：1.（四川） 如图，A（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，B的坐标为【 】A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，） 2.（莱芜）在ABC中，ABAC5，BC6若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 3.（乐山）如图，ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB中点，E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是【 】A1个B2个C3个D4个4.（自贡）如图，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 三、应用轴对称的性质求最值：1.（青岛）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm 四、应用一次函数、二次函数求最值： 1某校运动会需购买A、B两种奖品若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值2.端午节期间，某校“慈善小组”筹集到1240元善款，全部用于购买水果和粽子，然后到福利院送给老人，决定购买大枣粽子和普通粽子共20盒，剩下的钱用于购买水果，要求购买水果的钱数不少于180元但不超过240元.已知大枣粽子比普通粽子每盒贵15元，若用300元恰好可以买到2盒大枣粽子和4盒普通粽子（1）请求出两种口味的粽子每盒的价格；（2）设买大枣粽子x盒，买水果共用了w元请求出w关于x的函数关系式；求出购买两种粽子的可能方案，并说明哪一种方案使购买水果的钱数最多3.（自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BCCD上两个动点，且始终保持AMMN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2 4.（扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是 5.（宁夏）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作APPE，垂足为P，PE交CD于点E.(1)连接AE，当APE与ADE全等时，求BP的长；(2)设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，试求出此时BP的长. 6.（湖南）如图， A（8，0）、B（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0t）秒解答如下问题：（1）当t为何值时，PQBO？（2）设AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2x1，y2y1）称为“向量PQ”的坐标当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标 7.（宜宾）如图，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点（1）求证：ABEECM；（2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积 8.（南充）在RtPOQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B，(1)求证：MA=MB(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。 9.（南昌）如图，O的半径为2，弦BC=2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）（1）求BAC的度数； （2）求ABC面积的最大值（参考数据： ，.）10.如图，直线y=x+1与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标参考答案一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值1.要使PBG的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，如图：连接AG交EF于M，因为等边ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，所以AGBC，EFBC，则AGEF，AM=MG，A、G关于EF对称，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即PBG的周长最小，AP=PG，BP=BE，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3故答案为：32解：如下图所示，正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点连接BNBD，则直线AC即为BD的垂直平分线BN=NDDN+MN=BN+MN连接BM交AC于点P 点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边 知当点N运动到点P时，BN+MN= BP+ PM=BM，BN+MN的最小值为 BM的长度。四边形ABCD为正方形 BC= CD= 8，CM= 8-2= 6，BCM= 90BM= 即DN十MN的最小值为10。3.解MN20，O的半径10。连接OA、OB，在RtOBD中，OB10，BD6，OD8。同理，在RtAOC中，OA10，AC8，OC6。CD8614。作点B关于MN的对称点B，连接AB，则AB即为PAPB的最小值，BDBD6，过点B作AC的垂线，交AC的延长线于点E。在RtABE中，AEACCE8614，BECD14，AB14。4.如图，作点A关于直线a的对称点A，连接AB交直线b与点N，过点N作NM直线a，连接AM，A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，AA=MN=4。四边形AANM是平行四边形。AM+NB=AN+NB=AB。由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小。过点B作BEAA，交AA于点E，易得AE=2+4+3=9，AB=，AE=2+3=5，在RtAEB中，在RtAEB中，。故选 B.二、应用垂线段最短的性质求最值：1. B2.解：如图，根据垂直线段最短的性质，当BPAC时，BP取得最小值。设AP=x，则由ABAC5得CP=5x，又BC6，在RtAB P和RtCBP中应用勾股定理，得。，即，解得。，即BP的最小值是。3. 解：连接CD（如图1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90。DFE是等腰直角三角形。故此结论正确。当E、F分别为AC、BC中点时，由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。四边形CEDF是平行四边形。又E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，四边形CEDF是菱形。又C=90，四边形CEDF是正方形。故此结论错误。 如图2，分别过点D，作DMAC，DNBC，于点M，N，由，知四边形CMDN是正方形，DM=DN。由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。RtADERtCDF（HL）。由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。 故此结论错误。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。故此结论正确。故正确的有2个：。故选B。4.解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。三、应用轴对称的性质求最值：1. 解：圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。由轴对称的性质和三角形三边关系知APPC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。在RtBCD中，由勾股定理得。APPC=BPPC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。四、应用一次函数、二次函数求最值：典型例题： 1.解：（1）设A、B两种奖品单价分别为元、元，由题意，得，解得：答：A、B两种奖品单价分别为10元、15元由题意，得由，解得：因为m为整数，所以m的值为70、71、72、73、74、75由一次函数w=1500-5m 可知，w随m增大而减小当m=75 时，W最小，最小为w=1500-575 =1125 （元）2.解：（1）设大枣粽子每盒x 元，普通粽子每盒y 元，根据题意得 解得： 答：大枣粽子每盒60元，普通粽子每盒45 元. （2）解：W124060x 45（20x） 15x340 根据题意，得 解得x x是整数x取7,8,9,10 20x 取13,12,11,10 共有四种购买方案：方案：购买大枣粽子7盒，普通粽子13盒 购买大枣粽子8盒，普通粽子12盒购买大枣粽子9盒，普通粽子11盒 购买大枣粽子10盒，普通粽子10盒 根据一次函数性质, W随x的减小而增大 x7时W有最大值购买大枣粽子7盒，普通粽子13盒时，购买水果的钱数最多. 3.解：设BM=xcm，则MC=1xcm，AMN=90，AMB+NMC=90，NMC+MNC=90，AMB=90NMC=MNC。ABMMCN，即，解得CN=x（1x）。0，当x=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是cm2。4.解：设ACx，则BC2x，ACD和BCE都是等腰直角三角形，DCA45，ECB45，DC，CE 。DCE90。DE2DC2CE2（）22x22x2(x1)21。当x1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。5.解：（1）APEADE，AP=AD=3。在RtABP中，AB=2，BP=。（2）APPE，RtABPRtPCE。 ，即。 当时，y的值最大，最大值是。（3）设BP=x, 由（2）得。PEBD，CPECBD。， 即，化简得。 解得或（不合题意，舍去）。当BP= 时， PEBD。6.解：（1）A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。如图，当PQBO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=103t。PQBO，即，解得t=。当t=秒时，PQBO。（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如图所示，过点P作PDx轴于点D，则PDBO。APDABO。，即，解得PD=6t。S与t之间的函数关系式为：S=（0t）。当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。如图所示，当S取最大值时，t=，PD=6t=3，PD=BO。又PDBO，此时PD为OAB的中位线，则OD=OA=4。P（4，3）。又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）。依题意，“向量PQ”的坐标为（4，03），即（，3）当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，3）。7.（1）证明：AB=AC，B=C。ABCDEF，AEF=B。又AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE。ABEECM。（2）解：能。AEF=B=C，且AMEC，AMEAEF。AEAM。当AE=EM时，则ABEECM（SAS）。CE=AB=5。BE=BCEC=65=1。当AM=EM时，则MAE=MEA。MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA。又C=C，CAECBA，。BE= BCEC =6。综上所述，当BE=1或时，重叠部分能构成等腰三角形。（3）解：设BE=x，则CE=6xABEECM，即：，。当x=3时，AM最短为。又当BE=x=3=BC时，点E为BC的中点，AEBC。此时，EFAC，。当线段AM最短时，重叠部分的面积为。8.解：（1）证明：连接OM 。 RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，PQ=4，OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=450 。 PMA+AMO=OMB+AMO，PMA=OMB。PMAOMB（ASA）。 MA=MB。(2) AOB的周长存在最小值。理由如下:PMAOMB ， PA=OB。 OA+OB=OA+PA=OP=4。令OA=x， AB=y，则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88。当x=2时y2有最小值8，从而