9 5-隐函数求导公式VIP

第八章第八章 第五节第五节 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数 隐函数的求导方法隐函数的求导方法 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理定理1.1. 设函数设函数 ;0),( 00 yxF 则方程则方程 单值连续函数单值连续函数 y = f (x) , 并有连续并有连续 y x F F x y d d (隐函数求导公式隐函数求导公式) 定理证明从略，定理证明从略，仅就求导公式推导如下：仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ; 的的某邻域内可唯一确定一个某邻域内可唯一确定一个 在点在点 的某一邻域内满足的某一邻域内满足 0),( 00 yxFy 满足条件满足条件 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 导数导数 ),( 00 yxP 两边对两边对 x 求导求导 y x F F x y d d 0 y F在在 的某邻域内的某邻域内 则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4 4 若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续, ,则还有二阶导数则还有二阶导数 : 2 2 d d x y x Fy xF 2 () xx xxxyyyxyyx yy y FF FFFFFF FF F 22 3 2 xxyx yxyy yx y F FF F FFF F 5 5 或直接对原方程接连求导两次或直接对原方程接连求导两次 xy y FF x d 0 d 再对再对x求导求导 xxxyyxyyy yyyy FFFFF xxxx 2 2 dddd ()0 dddd xxxyyyy yyy FFFF xxx 2 2 2 ddd 20 ddd xxxyyy y xxxyxyyyx y yyy FFF xFxx FF F FF F F 2 2 2 2 3 d1dd 2 ddd 1 2 例例1. 验证方程验证方程 在点在点(0,0)某邻域某邻域 可可确定一个确定一个单值可导隐函数单值可导隐函数 0 d d , 0 d d 2 2 x x y x x y 解解: 令令 , 1sin),(yxeyyxF x ,0)0 , 0(F , yeF x x 连续连续 , 由由 定理定理1 可知可知, 1)0 , 0( y F0 导的隐函数导的隐函数 则则 xyFy cos 在在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可 且且 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 并求并求 0 d d x x y 0 x F F y x xycos ye x 0, 0yx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0 d d 2 2 x x y ) cos ( d d xy ye x x 2 )cos( xy 3 1 0 0 y y x )(ye x )(cosxy)(ye x ) 1sin(yy 0 x y 3 0 d d 2 2 x x y )(, 01sinxyyyxey x 两边对两边对 x 求导求导 两边再对两边再对 x 求导求导 yyyy cos)(sin 2 令令 x = 0 , 注意此时注意此时 1,0yy )0 , 0( cosxy ye x 导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利用隐函数求导 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理2 . 若函数若函数 ),(zyxF z y z x F F y z F F x z , 的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程则方程 在点在点 并有连续偏导数并有连续偏导数 定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略定理证明从略, 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下: 满足满足 0),( 000 zyxF 0),( 000 zyxFz 在点在点 满足满足: 某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0),(,(yxfyxF 两边对两边对 x 求偏导求偏导 x F z x F F x z z y F F y z 同样可得同样可得 则则 z F x z 0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 设设 ,04 222 zzyx 解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导 0422 x z x z zx z x x z 2 204 2 2 x z 2 )(1 x z . 2 2 x z 求 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 再对再对 x 求导求导 解法解法2 利用公式利用公式 设设 zzyxzyxF4),( 222 则则 ,2xFx z x F F x z 两边对两边对 x 求偏导求偏导 ) 2 ( 2 2 z x x x z 3 22 )2( )2( z xz 2 z x z x 2 42 zFz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 z x F F x z x z 例例3. 设设F( x , y)具有连续偏导数具有连续偏导数, 解法解法1 利用偏导数公式利用偏导数公式. y z 21 2 FyFx Fz 21 1 FyFx Fz y y z x x z zddd z F 1 1 1 F)( 2 z x 2 F)( 2 z y z F 1 2 确定的隐函数确定的隐函数, )dd( 21 21 yFxF FyFx z 则则 )()( 2221 z y z x FF 已知方程已知方程 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故故 对方程两边求微分对方程两边求微分: 1 F )dd(d 21 21 yFxF FyFx z z ) dd ( 2 z zxxz z z FyFx d 2 21 z yFxFdd 21 解法解法2 微分法微分法. . ) dd ( 2 z zyyz )(d z x 2 F0)(d z y 1 F 2 F0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 0),( 0),( vuyxG vuyxF ),( ),( yxvv yxuu 由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式 vu vu GG FF vu GF J ),( ),( 称为称为F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即即 雅可比雅可比 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理3.3. ,0),( 0000 vuyxF 的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏 设函数设函数 则方程组则方程组 0),(,0),(vuyxGvuyxF ),( 00 yx在点 的单值连续函数的单值连续函数 ),(, ),(yxvvyxuu 且有偏导数公式且有偏导数公式 : : 在点在点 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足满足: : 0 ),( ),( P vu GF P J ;0),( 0000 vuyxG 导数；导数； , ),( 000 yxuu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),( 000 yxvv ),( ),(1 vx GF Jx u ),( ),(1 vy GF Jy u ),( ),(1 xu GF Jx v ),( ),(1 yu GF Jy v 定理证明略定理证明略. 仅推导偏导仅推导偏导 数公式如下：数公式如下： v v vu vu G F GG FF 1 v v vu vu G F GG FF 1 u u vu vu G F GG FF 1 u u vu vu G F GG FF 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 x x G F y y G F x x G F y y G F ,的线性方程组这是关于 x v x u 0),( 0),( vuyxG vuyxF 有隐函数组有隐函数组 则则 两边对两边对 x 求导得求导得 设方程组设方程组 ,0 vu vu GG FF J 在点在点P 的某邻域内的某邻域内 x u x v x u x v x F u F v F0 x G u G v G0 公式公式 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故得故得 系数行列式系数行列式 同样可得同样可得 ),( ),(1 vy GF Jy u 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),( ),(1 vx GF Jx u ),( ),(1 xu GF Jx v ),( ),(1 yu GF Jy v 例例4. 设设 , 1,0vxuyvyux., y v x v y u x u 解解: xy yx J Jx u1 22 yx vxuy y u 方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得 求求 v x v x x u y xv yu 22 yx vyux Jx v1 22 yx uyvx 练习练习: 求求 y v y u , u x v y x u x 0 22 yx 22 yx vyux y v 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 答案答案: 由题设由题设 故有故有 内容小结内容小结 1. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理 2. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方法求导方法 方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法方法2. 利用微分形式不变性利用微分形式不变性 ; 方法方法3. 代公式代公式 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (04考研考研) 例例5 设设z=f (x, y)由方程由方程 确定确定, 则则 xz zy 2 -3 e2 3 zz xy 。 解解1 利用复合函数求导法利用复合函数求导法 在方程两边分别对在方程两边分别对x, y求偏导求偏导 解解2 利用隐函数导数公式利用隐函数导数公式 xz F x y zyz 23 ( , , )e2 令令 解解3： 利用全微分公式利用全微分公式 xz zxzy 23 ded(23 )2d 2 x z 1 f x z 1 2 f x z yxzy x z 21 fzyf 21 1fyxf y x 0 1 f 1 y x 2 f zx y x zy 21 fzxf 21 fzyf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6.设设 求求 ),(zyxzyxfz 解法解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. . , y x zd 1 f zyxddd 2 f zyxyzxxzyddd :dx解出 d x 21 fzyf zfyxfd1 21 yfzxfd 21 . z x 第六节第六节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由d y, d z 的系数即可得的系数即可得 )1 ( y 例例7. 设设 是由方程是由方程 和和 所确定的函数所确定的函数 , 求求 解法解法1 分别在各方程两端对分别在各方程两端对 x 求导求导, 得得 )0( zy FfxF zy xy FfxF FfxFfxf )( x z d d 1 zy FF fx xy FF fxffx (99考研考研) 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法2 微分法微分法. 0),(),(zyxFyxfxz 对各方程两边分别求微分对各方程两边分别求微分: 化简得化简得 消去消去 yd. d d x z yF d 2 yfx d 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可得可得 例例8 已知已知z=F(x, y), G(x, y, t)=0，其中，其中F和和G具有连续的偏导具有连续的偏导 数，求：数，求： 。 , zz xt 注意注意：自变量个数：自变量个数 = 变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数 谁是自变量？谁是自变量？谁是谁是因变量？由题设所求对象判定。因变量？由题设所求对象判定。 解解 例例9 设设 z = f (u), 方程方程 确定确定 u 是是x, y 的函数的函数, ( )( )d x y uup tt ( ), ( ), ( ),( )( )1,( )( ) zz f uup tuup yp x xy 。可微连续，且求： ( ) zu f u xx ，( ) zu f u yy ( )( ) uu up x xx ( )( ) uu up y yy ( ) 1( ) up x xu ( ) 1( ) up y yu ( )( ) zz p yp x x