常微分方程的基本概念

1.微分方程的基本概念,2.一阶常微分方程3.二阶线性微分方程,十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量需要寻求函数关系的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。,学科背景,解,A.求曲线方程,问题的提出：,一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求质点下落距离S与时间t的函数关系。解：将质点的初始位置取为原点，沿质点运动方向取正向。已知自由落体的加速度为g,即：,B.质点自由下落,定义1:含有未知函数的导数的方程称为微分方程.,未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程.,未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程.,例如,5.1微分方程的基本概念,例如,定义2:(微分方程的阶)未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.,二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.,定义3:(微分方程的解),称为微分方程的通解.通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特解.,微分方程的通解：,定义5:(积分曲线与积分曲线族),积分曲线族,1.微分方程的通解和特解有何区别和联系?,2.判断下列函数是否是微分方程,的解，是通解还是特解?,(1),(2),(3),(4),5.2一阶常微分方程,1.变量可分离型,3.一阶线性方程,2.可化为可分离变量,主要类型,5.2.1可分离变量的微分方程,如果一阶微分方程,这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可.,两边积分,通解,分离变量,这两个方程的共同特点是变量可分离型,(1)解,两边积分,分离变量,即,于是得到方程,通解,(2)解,分离变量,两端积分,得,通解,奇异解,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,5.2.2可化为可分离变量的方程,解齐次方程时,通常用变量替换法,即,将齐次方程化为可变量分离的方程.,这两个方程的共同特点是什麽?,可化为,齐次型方程,求解方法,这是什麽方程？,可分离变量方程！,分离变量,两端积分,由此又得到,通解,得,通解,例3,解,可得OMA=OAM=,例在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕x轴旋转而成.,过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:,入射角=反射角,取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.,而AO,于是得微分方程:,利用曲线的对称性,不妨设y0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),顶到底的距离为h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得,(1)如何解齐次方程？,标准形式：,5.3一阶线性微分方程,分离变量,齐次通解,解得,非齐次,齐次,(2)用常数变易法解非齐次方程,假定(1)的解具有形式,将这个解代入(1),经计算得到,化简得到,即,积分,从而得到非齐次方程(1)的通解,非齐次通解,非齐次通解,齐次通解,例1求的通解。,原方程化为,其中,解,例2.解方