启航2021考研数学经典基础班-概率-张宇

书书书 第一讲 随机事件与概率 综述 用古典、 几何、 公式求复杂事件的概率 一、 古典概型求概率 定义 若中有有限个、 等可能的样本点， 称为古典概型 犘（犃）犃 中样本点个数 中样本点个数 随机分配（ 占位） 【 例】 设狀个球随机放入犖（ 狀犖） 个盒子中， 每个盒子可放热播一多个球。 求： （ ）犃 某指定狀个盒子各有一球 ， 求犘（ 犃） （ ）犅 恰有狀个盒子各有一球 ， 求犘（ 犅） 生日问题 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 住房分配问题 乘客下车问题 简单随机抽样 【 例】 袋中又个球， 白黑。 （ ） 先后又放回取球。 （ ） 先后无放回取球。 （ ） 任取球。 求取得球中至少一个白球的概率。 二、 几何概型求概率 若是一个可度量的几何区域， 且样本点落入中的某一可度量子区域犃的可能性大小与 犃的几何度量成正比， 而与犃的位置与形状无关， 称为几何概型 犘（犃）犃 的度量（ 长度、 面积） 的度量（ 长度、 面积） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 随机地取两个正数狓和狔， 这两个数中的每一个都不超过， 试求狓与狔之和不超过， 积不 小于 的概率 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 三、 重要公式求概率 对立犘（犃）犘（犃） 思想方法 减法犘（犃 犅）犘（犃犅）犘（犃）犘（犃 犅） 加法（）犘（犃犅）犘（犃）犘（犅）犘（犃 犅） ； （ ）犘（犃犅犆）犘（犃）犘（犅）犘（犆）犘（犃 犅）犘（犅 犆）犘（犃 犆）犘（犃 犅 犆） 若犃，犃， ，犃狀（狀 ） 两两互斥， 则 犘（ 狀 犻 犃 犻） 狀 犻 犘 （ 犃犻） ； 设犃，犃， ，犃狀， 若对其中任意有限个犃犻 ， 犃犻 ， ， 犃犻 犽（ 犽 ） ， 都有 犘（犃犻 ， 犃犻 ， ， 犃犻 犽）犘（ 犃犻 ） 犘（犃犻 ） 犘（ 犃犻 犽） ， 则称犃， 犃， ，犃狀相互独立且“ 夫唱妇随” 常考狀时的情形，犃，犃，犃 犘（犃犃）犘（犃）犘（犃） ； 犘（犃犃）犘（犃）犘（犃） ； 犘（犃犃）犘（犃）犘（犃） ； 犘（犃犃犃）犘（犃）犘（犃）犘（犃） 烅 烄 烆 犃，犃，犃相互独立 条件犘（犃狘犅）犘（ 犃 犅） 犘（犅）， 犘（犅） 乘法犘（犃 犅）犘（犅）犘（犃狘犅）犘（犃）犘（犅狘犃） ， 犘（犃犃犃）犘（犃）犘（犃狘犃）犘（犃狘犃犃） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题， 数三 题 以下结论， 错误的是（ ） （） 若 犘（犅） ， 犘（犃狘犅）犘（犃狘犅）， 则犃，犅相互独立 （ ） 若犃，犅满足犘（犅狘犃）， 则犘（犃犅） （ ） 设犃，犅是两个事件， 则（犃犅）犅犃犅 （ ） 若当事件犃，犅同时发生时， 事件犆必发生， 则犘（犆）犘（犃）犘（犅） 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设犃 犅犆试证明： 犘（犃）犘（犅）犘（犆） 全集分解公式（ 全概公式） 【 引例】 贝叶斯公式（ 逆概公式） 承接， 若已知犅发生了， 执果索因 犘（犃犼狘犅）犘（ 犃犼犅） 犘（犅） 犘（犃犼）犘（犅狘犃犼） 狀 犻 犘 （ 犃犻）犘（犅狘犃犻） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设有甲、 乙两名射击运动员， 甲命中目标的概率是 ， 乙命中目标的概率是 ， 求下列事 件的概率： （ ） 从甲、 乙中任选一人去射击， 若目标被命中， 则是甲命中的概率； （ ） 甲、 乙两人各自独立射击， 若目标被命中， 则是甲命中的概率 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 验收成箱包装的玻璃器皿， 每箱 只装， 统计资料表明， 每箱最多有只残品， 且含 ， 件残品箱的各占 ， ， 现在随机抽取一箱， 随机检验其中只； 若未发现残品则通过 验收， 否则要逐一检验并更换， 试求： （ ） 一次通过验收的概率； （ ） 通过验收的箱中确实无残品的概率 【 总结】 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 第二讲 一维随机变量及其分布 综述 八个重要分布 一维犡与犉犡（狓） 犢犵（犡） 与犉犢（狔） 一、 概念与八个分布 犡与犉（狓） （ ） 随机变量（狉，狏） 定义在狑 上， 取值在实数轴的变量 犡犡（狑） ，狑，狔狔（狓） ，狓 犚 （ ） 分布函数犉（狓） 犘犡狓 ， 狓 狓取遍到 离散型随机变量 （ ） 定义犡取得限个或无穷可列个， （ ） 分布律犡 狓狓 狓狀 狆狆 狆狀 烄 烆 烌 烎 （ ）犉（狓） 犘犡狓 ， 离散型狉，狏 步步高阶梯型犉（ 狓） 连续型随机变量 若存在非负可积函数犳（ 狓） ， 使得狓（，） 有 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 犉（狓） 狓 犳 （ 狋）狋 则称犡为连续型， 犳（狓） 叫作犡的概率密度函数 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 毃 毃 毃 毃 【 注】 犉（狓） 犘犡狓犘 犡狓 狓 犳 （ 狋）狋（ 连） 狓 犻狓 狆犻 （ 离） 犡犉（狓） 狆犻分布律 犳（狓）概率密度 （ ）犉（狓） 是某个狓的分布函数 单调下减； 犉（），犉（）； 右连续 烅 烄 烆 （ ） 狆犻 是分布律 狆犻 ； 犻 狆犻（ 归一性） 烅 烄 烆 （ ）犳（狓） 是概率密度函数 犳（狓） ； 犳 （ 狓）狓（ 归一性） 烅 烄 烆 八个分布 （ ）分布 （ 犈）犡（ 伯努利计数变量） 狆 烄 烆 烌 烎狆 （ ） 二项分布 （ 犈狀） 独立； 犘（犃）狆； 只有犃，犃 烅 烄 烆 记犡为犃发生的次数， 则 犘犡犽 犽 狀狆 犽（ 狆） 狀犽， 犽， ，狀， （ ） 几何分布 （ 犈） 首中即停止（ 等待型分布） ， 记犡 为试验次数， 则 犘犡犽狆（狆） 犽 ， 犽， 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 （ ） 超几何分布 犖件产品，犕件正品， 无放回取狀次， 则取到犽个正品的概率 犘犡犽 犽 犕 狀犽 犖犕 狀 犖 ， 犽为整数， ，狀犖犕犽 狀，犕 （ ） 泊松分布 某单位时间段， 某场合下， 源源不断的质点流的个数， 也常用于描述稀有事件的概率 犘犡犽 犽 犽！ ， 强度（犈 犡） （ ） 均匀分布 “ 几何概型”犝（ 犪，犫） 若犡犳（ 狓） 犫犪 ， 犪狓犫（ 正概率区间） ， ， 其他 烅 烄 烆 则犡犝 犪，犫 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒 毃 毃 毃 毃 【 注】 高档次说法： “ 犡在犐上的任一子区间取值的概率与该子区间长度成正比” 犡 犝（犐） （ ） 指数分布 等待型分布（ 寿命分布） （ 连续） 若犡犳（ 狓） 狓 ， 狓 ， ，狓 烅 烄 烆 则犡犈（ ） （ ） ， 失效率，犈 犡 犉（狓） 狓 犳 （ 狋）狋 狓 狋 狋 狓 狋 （ 狋 ） 狋 狓 狓 ， 狓 ， ，狓 烅 烄 烆 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 毃 毃 毃 毃 【 注】 犘犡狋狊狘犡狋犘犡狊 无记忆性 犉（狓） 狓 ， 狓 ， ，狓 烅 烄 烆 （ 记， 爱考） 几何分布离散型条件分布 指数分布 烅 烄 烆 连续型条件分布 无记忆性 （ ） 正态分布 若犡犳（ 狓） 槡 （ 狓） ， 则 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 毃 毃 毃 毃 【 注】 ， ， 则犡（狓） 槡 狓 ， 犡（狓） 狓 （ 狋）狋（ 标准正态专用符号） ， 犡犖（，） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设随机变量犡的分布函数为犉（ 狓） ， 概率密度为犳（狓） 犪 犳 （狓） 犫 犳 （狓） ， 其中犳（狓） 是正 态分布犖（ ， ） 的概率密度， 犳（狓）是参数为的指数分布的概率密度， 已知犉（） ， 则 （ ） （） 犪，犫 （）犪 ， 犫 （ ）犪 ， 犫 （ ）犪 ， 犫 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设随机变量犡的概率密度为犳（ 狓） 犃 狓， 狓， ， 烅 烄 烆 其他 （ ） ， 则概率犘 犡犪 （犪 ） 的值（ ） （） 与犪无关， 随随大而增大（ ） 与犪无关， 随增大而减小 （ ） 与无关， 随犪增大而增大 （ ） 与无关， 随犪增大而减小 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设随机变量犡服从泊松分布， 且犘 犡 犘（ 犡） ， 则犘犡 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设犡服从参数为的指数分布， 对犡作三次独立重复观察， 至少有一次观测值大于的概 率为 ， 则 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 假设随机变量犡服从参数为的指数分布， 求随机变量犢 犡 的概率密度犳犢（ 狔） 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 第三讲 多维随机变量及其分布 综述 概念 用分布求概率 犣犵（犡，犢） ， 求犣分布 一、 概念 联合分布 设（ 犡，犢） ， 犉（狓，狔） 犘犡狓，犢狔 ， 狓， 狔 边缘分布 已知犉（ 狓，狔） ， 犉犡（狓） 犘犡狓犘犡狓，犉（狓，） 狔 犉（狓，狔） ， 犉犢（狔） 犘犢狔犘犢狔，犉（，狔） 狔 犉（狓，狔） 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 毃 毃 毃 毃 【 注】 离散型（犡，犢）犘 犻 犼 （ 联合分布律） 其条件分布为 犘犡狓犻狘犢狔犼犘 犡狓犻，犢狔犼 犘犢狔犼 犘 犻 犼 犘犼 连续型（犡，犢）犳（狓，狔） 联合密度 边缘密度（ 必考） 犳犡（狓） 犳 （ 狓，狔）狔， 犳犢（狔） 犳 （ 狓，狔）狓 其条件密度为 犳犡狘犢（狓狘狔）犳 （ 狓，狔） 犳犢（狔） 不论离散， 连续 条件 联合 边缘， 联合条件边缘 烅 烄 烆 独立性 设（ 犡，犢） ， 犡，犢独立犉（狓，狔）犉（犡） （狓） 犉犢（狔） 狆 犻 犼 狆 犻 犼 狆犻狆犼，犻犼， 犳（狓，狔） 犳（狓，狔）犳犡（狓） 犳犢（狔） 两个分布 （ ） 均匀分布（犡，犢）犳（狓，狔） 犛犇， （狓，狔）犇， ， （ 狓，狔） 犇 烅 烄 烆 （ ） 正态分布（犡，犢）犖（ ，； ， ； ） 典型错误： 犖（ ， ； ， ； ） 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 毃 毃 毃 毃 【 注】 以下重要结论， 只用不证 若（犡，犢）犖（ ，； ， ； ） 犡犖，犢犖， 犪 犡犫 犢犖， 独立不相关 烅 烄 烆 若犡，犡， ，犡狀相互独立且均服从犖 狀 犻 犪犻犡犻犖 二、 综合题解析 【 专题】 犣犵（犡，犢） 离 犡 离 犢 ， 连连， 离连 烅 烄 烆 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 毃 毃 毃 毃 【 注】 常用的卷积公式 设二维连续型随机变量（ 犡，犢）犳（狓，狔）则犣犡犢是连续型随机变量且 犣犳（狕） 犳 （ 狓，狕狓）狓 犳 （ 狕狔，狔）狔， 特别地， 若犡， 犢独立， 则 犳（狕） 犳 犡（狓）犳犢（狕狓）狓 犳 犡（狕狔）犳犢（狔）狔， 其中， 犳犡（狓） ，犳犢（狔） 分别为犡，犢的边缘概率密度 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 已知二维随机变量（ 犡，犢） 的概率分布为 犢 犡 犪 犫 若随机事件 犡 与犡犢 相互独立， 令犝 犡，犢 ，犞 犡，犢 ， 则犘犝 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 犞（ ） （） （） （） （） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设二维随机变量（ 犡，犢）在区域犇 （ 狓，狔） 狓 ， 狔 狓 上服从均匀分布， 则（ 犡，犢） 关于犡的边缘概率密度犳犡（狓） 在点狓处的值为 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设随机变量（ 犡，犢） 的概率密度为 犳（狓，狔） 狓， 狓 ， 狔狓， ， 其他 烅 烄 烆 求随机变量犣犡犢的概率密度犳犣（ 狕） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设（ 犡，犢） 的联合概率密度为 犳（狓，狔） ， 狓 ， 狔 ， ， 其他 烅 烄 烆 求： （ ）犣 狘犡狘 犢的概率密度犳犣（狕） ； （ ）犈 犣 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设随机变量犡， 犢相互独立， 且犘犡犘犡 ， 犘犢狓狓， 狓 求犣犡 犢的分布函数 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 第四讲 数字特征 综述 求数字特征 应用 一、 概念 数学期望（犈 犡） 与方差（犇 犡） （ ） 期望定义 犡狆犻犈 犡 犻 狓犻狆犻 犡犳（狓）犈 犡 狓 犳 （ 狓）狓 犡狆，犢犵（犡）犈 犡 犻 犵（狓犻）狆犻 犡犳（狓） ，犢犵（犡）犈 犢 犵 （ 狓）犳（狓）狓 （犡，犢）狆 犻 犼 ， 犣犵（犡，犢）犈 犣 犻 犼 犵（狓犻，狔犼）狆 犻 犼 （犡，犢）犳（狓，狔） ，犣犵（犡，犢）犈 犣 犵 （ 狓，狔）犳（狓，狔）狓狔 （ ） 方差定义 犇 犣 犈 （犡犈 犡） 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 定义法 犡狆犻犇 犡犈 （犡犈 犡） 犻 （ 狓犻犈 犡） 狆犻， 犡犳（狓）犇 犡犈 （犡犈 犡） （ 狓犈 犡） 犳（狓）狓 烅 烄 烆 公式法犇 犡犈 （犡犈 犡） 犈犡 犡犈 犡 （犈 犡） 犈（犡 ） 犈 犡犈 犡（ 犈 犡） ， 犇 犡犈（犡 ） （犈 犡） （ ） 性质 犈 犪犪，犈（犈 犡）犈 犡 犈（犪 犡犫 犢）犪 犈 犡犫 犈 犢，犈（ 狀 犻 犪犻犡犻） 狀 犻 犪犻犈 犡犻（ 无条件） 若犡，犢相互独立， 则犈（犡 犢）犈 犡 犈 犢 犇 犪，犇（犈 犡），犇（犇 犡） 若犡，犢相互独立， 则犇（犡犢）犇 犡犇 犢 犇（犪 犡犫）犪 犇 犡， 犈（犪 犡犫）犪 犈 犡犫 一般，犇（犡犢）犇 犡犇 犢 （犡，犢） 犇（ 狀 犻 犡 犻） 狀 犻 犇 犡 犻 犻犼狀 （狓犻，狓犼） ， 【 注】 记住如下犈 犡， 犇 犡 分布，犈 犡狆，犇 犡狆狆 （狆）狆，犡 狆 烄 烆 烌 烎狆 犡犅（狀，狆） ，犈 犡 狀 狆 ， 犇 犡 狀 狆 （ 狆） 犡犘（） ，犈 犡，犇 犡 犡犌 犲（狆） ，犈 犡 狆， 犇 犡狆 狆 犡犝犪，犫 ，犈 犡犪 犫 ， 犇 犡 （ 犫犪） 犡犈犡（） ，犈 犡 ， 犇 犡 犡犖（ ， ） ， 犈 犡，犇 犡 犡 （ 狀） ，犈 犡狀，犇 犡狀 协方差 （犡，犢） 与相关系数犡 犢 （ ） （犡，犢）犈 （犡犈 犡） （犢犈 犢） ， （犡，犢）犈 （犡犈 犡） （犡犈 犡） 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 犈 （犡犈 犡） 犇 犡 定义法 （ 犡，犢）狆 犻 犼 （犡，犢） 犻 犼 （ 狓犻犈 犡） （狔犻犈 犢）狆 犻 犼 ， （ 犡，犢）犳（狓，狔） （犡，犢） （ 狓犈 犡） （狔犈 犢）犳（狓，狔）狓狔 烅 烄 烆 公式法 （犡，犢）犈（犡 犢犡犈 犢犈 犡犢犈 犡犈 犢） 犈（犡 犢）犈 犡犈 犢犈 犡犈 犢犈 犡犈 犢 犈（犡 犢）犈 犡 犈 犢 犡 犢 （犡，犢） 槡槡犇 犡犇 犢 犡，犢不相关， 犡，犢相关 烅 烄 烆 （ 量纲为， 无单位） （ ） 性质 （犡，犢） （犢，犡） （犪 犡，犫 犢）犪 犫 （ 犡，犢） （犡犡，犢） （ 犡，犢） （犡，犢） 狘犡 犢狘 犡 犢 犘犢犪 犡犫（犪 ） 犡 犢 犘 犢犪 犡犫（犪 ） 考试时： 犢犪 犡犫，犪 犡 犢 犢犪 犡犫，犪 犡 犢 【 小结】 五个充要条件： 犡 犢 （ 犡，犢） 犈（犡 犢）犈 犡犈 犢 犇（犡犢）犇 犡犇 犢犇（犡犢）犇 犡犇 犢 犡，犢独立犡 犢 若（ 犡，犢）犖（ ， ） ， 则 犡，犢独立犡，犢不相关（ 犡 犢 ） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设犡， 犡，犡相互独立， 且均服从参数为的泊松分布， 令犢 （ 犡犡犡） ， 则犢 的 数学期望为（ ） 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 （） （） （ ） （ ） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设随机变量犡的概率密度为犳（ 狓） 狓 ， 狓 ， ， 其他 烅 烄 烆， 则犈 犡 （ ） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设随机变量犡和犢均服从犅， （） ， 且犇（ 犡犢）， 则犡与犢的相关系数 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设（ 犡，犢） 的概率密度为犳（狓，狔） ， 狘狔狘 狓 ， ， 其他 烅 烄 烆 ， 则 （ 犡，犢） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设随机变量犡与犢的分布律为 犡 犘 与 犢 犘 且相关系数 犡 犢 槡 ， 则（ 犡，犢） 的分布律为 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 一商店经销某种商品， 每周进货量犡与顾客对该种商品的需求量犢是相互独立的随机变 量， 且都服从区间 ， 上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 元； 若需求量 超过了进货量， 商店可从其他商店调剂供应， 这时每单位商品可得利润 元， 试计算此商店经 销该种商品每周所得利润的期望值 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设犡的概率密度为犳（ 狓） ， 狘狓狘 ， ， 狘狓 狘 ， ，其他 烅 烄 烆 令 犢犵（犡） 犡 ， 犡 ， ，犡 烅 烄 烆 ， 求： （ ）犉犢（狔） ； （ ） （犡，犢） 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 第五讲 大数定律与中心极限定理 综述 收敛 三个定律， 两大定理 一、 依概率收敛 设 犡狀 为一狉，狏序列，犡为一狉，狏（ 或犪为常数） ， 若 ， 恒有 狀 犘狘犡狀犡狘 或 狀 犘狘犡狀犪狘 ， 则称犡狀 依概率 收敛于犡或犪， 记： 犡狀犡或犡狀犪 二、 大数定律 切比雪夫大数定律 设 犡狀 （狀， ） 是相互独立的随机变量序列， 若方差犇 犡犽存在且一致有上界， 则 狀 狀 犻 犡 犻 犘 狀 狀 犻 犈 犡犻犈 狀 狀 犻 犡 （） 犻 一致有上界皆有共同的上界， 与犽无关 伯努利大数定律 设狌 狀是狀重伯努利试验中事件犃发生的次数， 在每次试验中犃发生的概率为狆（ 狆 ） ， 则 狌狀 狀 犘 狆 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 辛钦大数定律 设 犡狀 是独立同分布的随机变量序列， 若犈 犡狀存在， 则 狀 狀 犻 犡 犻 犘 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 櫒櫒櫒櫒 毃 毃 毃 毃 【 注】 在满足一定条件的基础上， 所有大数定律都在讲一个结论 狀 狀 犻 犡 犻 犘 犈 狀 狀 犻 犡 （） 犻 三、 中心极限定理（ 狀 ） 不论犡 犻 犻 犻 犱 犉（ ， ） ， 犈 犡犻， 犇 犡犻 狀 犻 犡 犻 狀 犖（狀 ， 狀 ） 狀 犻 犡 犻狀 槡狀 狀 犖（，） 即 狀 犘 狀 犻 犡 犻狀 槡狀 烅 烄 烆 烍 烌 烎 狓 （狓） 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设随机变量犡的数学期望犈 犡 ， 方差犇 犡， 由切比雪夫不等式估计得 犘狘犡 狘 犽 则犽 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设犡， 犡， ，犡狀是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为的泊松分布，则 狀 犘 狀 犻 犡 犻 狀 狀槡 烅 烄 烆 烍 烌 烎 狓 【 例题】 取自 题源 题 数一 题 ， 数三 题 设 犡狀 是一随机变量序列，犡狀（狓， ） 的概率密度为 犳狀（狓） 狀 （狀 狓 ） ， 狓， 试证： 犡狀 犘 张宇基础概率讲义 微信公众号【无忧考资】，考研人的精神家园！ 唯一客服QQ：201978006 2000人考研学子备考QQ群：【538817391】 第六讲 数理统计初步 综述 总体与样本 点估计 一、 总体与样本 总体犡犉（狓） 样本 简单随机样本犡