数值分析一PPT课件

.,1,参考书：1施吉林,刘淑珍,陈桂芝.计算机数值方法.第一版.北京：高等教育出版社，1999.2吴勃英,王德明,丁效华,李道华.数值分析原理.第一版.北京：科学出版社，2003.3陈传淼.科学计算概论.第一版.北京：科学出版社,2007.4RainerKress.NumericalAnalysis.NewYork:Springer-Verlag,2003.,数值分析绪论,.,2,实际问题,建立数学模型,求解计算,应用于实践,抽象,简化,否,结束,解释实际问题,类型,方法,是,结果分析,.,3,数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近似解法数值方法,是从数学模型(由实际问题产生的一组解析表达式或原始数据)出发,寻求在有限步内可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则,这种规则称为算法,它包括计算公式,计算方案和整个计算过程.这是一门与计算机紧密结合,实用性很强的数学课程.,.,4,1.可行性:它只能包括计算机能够直接处理的加、减、乘、除和逻辑运算,以及计算机的内部函数,并能够在有限步结束.2.可靠性:它应该有数学理论分析的支持,包括误差分析、收敛性分析、数值稳定性分析等,使得近似解与精确解的误差可以任意地小.3.高效性:它应该具有计算量小、占用存储单元少、计算过程简单、规律性强等优点.,算法应具有的特点:,.,5,数值分析课程主要介绍几类数学问题的经典算法.在学习中既要重视实际应用,又要重视有关理论,必须注意理解算法的设计原理和处理技巧,重视基本概念和理论误差分析,收敛性与稳定性.认真完成习题中的理论证明和计算方面的相关问题,手算与上机计算相结合,同时注意培养利用计算机进行科学计算的能力.,数值计算方法涉及的基础数学课程较多,但在本课程中主要涉及微积分、线性代数、常微分方程等数学知识.,.,6,引例例1:y=arctan5430arctan5429的准确值为:0.00000003392190.339107,第一章引论,例2:计算下面积分的值(n=0,1,2,):,积分In的值必定落在区间0,1内,我们由被积函数及其图形作出判断.,但是,用具有八位舍入功能的计算器直接计算得y1.57061221.5706121=0.0000001=1107,所得计算结果的可靠性值得怀疑.这一结果的产生是由于四舍五入造成的.,.,7,由分部积分法可得:,如果取I0=1e1=0.63212056(八位有效数字).,n=1,2,4,6,8,10,15,利用递推公式进行计算得:,.,8,例3:对于一元二次方程x2(109+1)x+109=0有两个精确的实根:x1=109,x2=1.,如果在有仅八位的浮点计算机上用求根公式:,其中的x2=0明显失真,这也是由于舍入误差造成的.,直接进行计算则得:x1=109,x2=0.,.,9,实际问题,建立数学模型,确定计算方法,编程上机,由抽象简化产生的模型误差及参数的观测误差,由计算方法本身产生的截断误差或称方法误差,计算过程中产生的舍入误差,1误差的来源,.,10,例如用级数,的前三项计算sinx的近似值,则截断误差为：,由于计算机的字长有限,用0.166667近似表示1/3!,就会产生舍入误差.,即取,.,11,2误差的概念,一、绝对误差与绝对误差限设x*为准确值(也称为真值)x的一个近似值,则称xx*为近似值x*的绝对误差,简称为误差,并记作e(x*)=xx*。满足不等式|e(x*)|=|xx*|*的正数*称为近似值x*的绝对误差限,简称为误差限.在工程技术中常记作x=x*。例如,电压V=1002(V),V*=100(V)是V的一个近似值,2(V)是V*的一个误差限,即|VV*|2(V),.,12,对于两个数值x1=1002,x2=101近似值x1*=100的绝对误差限*(x1*)=2是近似值x2*=10的绝对误差限*(x2*)=1的两倍.但是,近似值100的偏差不超过2,而近似值10的偏差不超过1.哪个近似值的精度好呢？,二、相对误差与相对误差限,设x的近似值为x*,则称x*的绝对误差e(x*)与精确值x的比值为近似值x*的相对误差,并记作er(x*),一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关,还与精确值的大小有关.为此我们需要引入相对误差的概念.,.,13,同样,由于精确值x经常是未知的,所以,需要另外的近似表达形式.我们注意如下公式的推导,即,.,14,作为近似值x*的相对误差.,的正数r*称为近似值x*的相对误差限.,满足不等式,通常将,例如:x1=1002的近似值x1*=100的相对误差为,而x2=101的近似值x2*=10的相对误差为,因此,从相对误差来讲近似值x1*比x2*的精度要好.,.,15,若近似值x*某位数数值的半个单位是其绝对误差限,而从该位数字到x*的最左边的非零数值数位止,共有n位数,则我们称这个近似值x*具有n位有效数字.例如,=3.141592,x*=3.14的绝对误差|e(x*)|=0.001590.011/2,即“4”所在的百分位的半个单位0.011/2是x*的绝对误差限,故x*的最左边的非零位数(个位)“3”到百分位“4”共有三位,所以x*=3.14具有3位有效数字.有效数字位数越多,近似值的绝对误差和相对误差就相对越小,反之亦然.,三、有效数字及其位数,.,16,3误差的传播规律,设x1*,x2*分别为x1,x2的近似值,函数值y=f(x1,x2)的近似值用y*=f(x1*,x2*)表示.利用函数f(x1,x2)在点(x1*,x2*)处的二元泰勒展开公式,对y*的绝对误差和相对误差进行分析.,近似值y*的绝对误差的近似表达式为:,当x1*和x2*的绝对误差都较小时,yy*=f(x1,x2)f(x1*,x2*),.,17,在y*的绝对误差近似表达式的两端除以y*,即可得到y*的相对误差的近似表达式:,这两个近似表达式给出了二元函数绝对误差和相对误差的传播规律.一般地讲,我们比较注意二元运算中的相关问题,以下对加、减、乘、除四则运算进行讨论.,.,18,加,减法相关的误差公式:,设f(x1,x2)=x1x2.,.,19,乘法相关的误差公式：,设f(x1,x2)=x1x2.,.,20,设f(x1,x2)=,除法相关的误差公式:,.,21,例4:测得圆环的外径D1=100.05(cm),内径D2=50.1(cm),的近似值为:,其中,D1*=10(cm),D2*=5(cm),且已知|e(D1*)|0.05(cm),|e(D2*)|0.1(cm).,则其面积,.,22,由近似公式可得S*的绝对误差限和相对误差限分别为：,圆环面积的近似值S*=68.905(cm2)的绝对误差限为1.5708(cm2),相对误差限为2.7%.,.,23,4数值运算中应注意的几个原则,再来看例2的积分问题:,由递推公式In=1nIn1(n=1,2,)可得In-In*=(-1)nn!(I0-I0*)(n=1,2,)由n!惊人的发散速度,只要|I0I0*|0,无论多小,则InIn*就会无限地增大.如前面计算的结果.我们说这个算法不是好算法.,一、选用数值稳定性好的算法,如果我们将递推公式转换为:,.,24,进行如下实验:取N=20,IN=10,则计算结果为:,当x1*和x2*两数相近时,y*=x1*x2*就会很小(即y*0),由两数差的相对误差估计式:,二、相近两数避免相减,可以看出|er*(y*)|可能会很大,导致y*有效数字减少.,.,25,引例1计算失真的原因就在于此.若将计算公式进行变换,就可能避免这种情况的发生.,我们来看下面的计算过程:,由于,则,3.392191110-8,这个计算结果是令人满意的.,避免相近两数相减的方法随算式和条件的不同而各异.,例如:当x0时,.,26,当|x|很小时,当然在无法改变算式的情况时,可以考虑增加计算过程中的有效数字的位数.,等等.,由于计算机的字长是有限的,对绝对值相差悬殊的两个数进行运算时,可能出现大数“吃掉”小数现象,从而影响结果的可靠性.,三、警惕大数“吃”小数造成的危害,在例3的方程x2(109+1)x+109=0中b=109+1=1000000001=0.10000000011010或b=0.10000000001010+0.0000000011010,.,27,=:109,若使用尾数八位的浮点计算机时,两结果的最后两位“01”必然消失,其计算的结果均为:b=:109,同样,即大数109“吃掉”了小数1.,根x2=0不能令人满意.,求出一个绝对值较大的根x1,然后利用公式x1x2=c/a求出另外一个根x2,就可以保证所得到的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根的精度都是可靠的.,于是,如果先利用公式:,.,28,可以看出,当x2趋于0时,比值的绝对误差有可能趋于.这就是绝对值相对较小的数不宜作除数的原因.在后面我们将看到相关的例子.,四、绝对值相对较小的数不宜作除数,由两数之比的绝对误差限和相对误差限的估计式,.,29,应用这一原则,既可以提高解题效率、节省计算时间,又可以减少计算误差的积累.这不仅是数值计算中必须注意的原则,也是数值计算方法需要研究的重要内容之一.在数理统计中有一个重要且常用公式:,五、简化计算步骤,减少运