抛物线提高训练题(含详细答案)

A抛物线1抛物线y28x的焦点坐标是()A(2,0) B(2,0)C(4,0) D(4,0)2设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3C. D.4点A，B在抛物线x22py(p0)上，若A，B的中点是(x0，y0)，当直线AB的斜率存在时，其斜率为()A. B.C. D.52010福建卷 以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0 Bx2y2x0Cx2y2x0 Dx2y22x062010山东卷 已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx272010陕西卷 已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()A. B1 C2 D482010辽宁卷 设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8C8 D1692011东北三校模拟 已知抛物线yax2的准线方程为y1，则a的值为_102010浙江卷 设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_11给定抛物线C：y24x，过点A(1,0)，斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x3上，则k_.12(13分)2011西城一模 已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过点M(4,0)(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值13(12分)2011西城一模 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限(1)求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；(2)若1，2，求2的取值范围B抛物线1若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y40的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为()Ay28x By28xCx28y Dx28y2抛物线x2(2a1)y的准线方程是y1，则实数a()A. B. C D3已知抛物线y24x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则OAB的面积是()A1 B2 C4 D64对于抛物线y24x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|a|，则a的取值范围是()A(，0) B(，2C0,2 D(0,2)5已知A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，O是原点，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是()Axp Bx3pCxp Dxp6已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)均在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|7已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3C. D.8已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4 B8C16 D329已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_102010全国卷 已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若，则p_.112010重庆卷 已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足3，则弦AB的中点P到准线的距离为_12(13分)2012珠海模拟 在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点Q的轨迹方程C；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由图K50113(12分)2010湖北卷 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0)的准线与圆(x3)2y216相切于点(1,0)，所以1，解得p2.8B解析 设准线l与x轴交于点B，连接AF、PF，则|BF|p4，直线AF的斜率为，AFB60.在RtABF中，|AF|8.又根据抛物线的定义，得|PA|PF|，PABF，PAF60，PAF为等边三角形，故|PF|AF|8.9解析 抛物线方程为x2y，故其准线方程是y1，解得a.10.解析 设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p，则B到该抛物线准线的距离为.11解析 过点A(1,0)，斜率为k的直线为yk(x1)，与抛物线方程联立后消掉y得k2x2(2k24)xk20，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1x1，x1x21.因为线段MN的中点在直线x3上，所以x1x26，即6，解得k.而此时k2x2(2k24)xk20的判别式大于零，所以k.12解答 (1)由已知，x4不合题意设直线l的方程为yk(x4)由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以，解得k，所以直线l的斜率为.(2)证明：设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线MN的斜率为，因为AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为，直线AB的方程为yy0(xx0)，联立方程消去x，得y2y0yyx0(x04)0，所以y1y2，因为N为AB中点，所以y0，即y0，所以x02，即线段AB中点的横坐标为定值2.13解答 (1)证明：由已知F，设A(x1，y1)，则y2px1，圆心坐标为，圆心到y轴的距离为，圆的半径为，所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切(2)解法一：设P(0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由1，2，得1(x1，y0y1)，2，所以x11x1，y11(y0y1)，x22，y22y1，由y22y1，得yy.又y2px1，y2px2，所以x2x1.代入x22，得x12，(12)x12(12)，整理得x1，代入x11x1，得，所以1，因为，所以2的取值范围是.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：xmy，将xmy代入y22px，得y22pmyp20，所以y1y2p2(*)由1，2，得1(x1，y0y1)，2，所以x11x1，y11(y0y1)，x22，y22y1，将y22y1代入(*)式，得y，所以2px1，x1.代入x11x1，得1，因为，所以2的取值范围是.B1C解析 点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y40的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0,2)的距离与到直线y20即y2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p4，故所求的抛物线方程为x28y.2D解析 根据分析把抛物线方程化为x22y，则焦参数pa，故抛物线的准线方程是y，则1，解得a.3B解析 焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B(1，2)，|AB|4，故OAB的面积S|AB|OF|412.4B解析 设点Q的坐标为，由|PQ|a|，得y2a2，整理，得y(y168a)0，y0，y168a0，即a2恒成立而2的最小值为2，所以a2.5D解析 A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由于焦点F，0是抛物线的垂心，所以OABF.由此得1，把y2px0代入得x0，故直线AB的方程是xp.6C解析 由抛物线定义，2，即2|FP2|FP1|FP3|.7A解析 依题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d|PF|PA|AF|.8B解析 抛物线C：y28x的焦点为F(2,0)，准线方程为x2，K(2,0)，设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(2，y0)，|AK|AF|，又AFABx0(2)x02，由BK2AK2AB2得y(x02)2，即8x0(x02)2，解得x02，A(2，4)，AFK的面积为|KF|y0|448.9y24x解析 设抛物线方程为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得：x2kx0，x1x2k224，故y24x.102解析 过B作BE垂直于准线l于E，M为AB中点，|BM|AB|.又斜率为，BAE30，|BE|AB|，|BM|BE|，M为抛物线的焦点，p2.11.解析 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|xA1，|BF|xB1，xA13(xB1)由几何关系，xA13(1xB)联立，得xA3，xB，所求距离d1.12解答 (1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线|PQ|是点Q到直线l的距离点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y22x(x0)(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r|MA|，则|TS|22，因为点M在曲线C上，所以x0，所以|TS|22，是定值13解答 (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足x1(x0)化简得y24x(x0)(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(