梯度与方向导数PPT幻灯片课件

,87方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,方向导数与偏导数的关系、,三元函数的方向导数,梯度与方向导数、,梯度的模、方向导数的最大值,等高线、,梯度与等高线的关系,三元函数的梯度、,等量面,数量场与向量场、,势与势场,1,一、方向导数,设函数zf(x，y)在点P(x，y)的某一邻域U(P)内有定义自点P引射线l设x轴正向到射线l的转角为j，并设P(xx，yy)为l上的另一点且PU(P),若此极限存在，则称此极限为函数f(x，y)在点P沿方向l的方向导数，,记作，即,其中r,，,r,2,定理如果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有,方向导数与偏导数的关系：,=cosj+sinj，,其中j为x轴到方向l的转角,简要证明：,f(xx，yy)f(x，y),3,定理如果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有,方向导数与偏导数的关系：,=cosj+sinj，,其中j为x轴到方向l的转角,简要证明：,f(xx，yy)f(x，y),4,讨论函数zf(x，y)在点P沿x轴正向和负向，沿y轴正向和负向的方向导数如何?,讨论：根据公式,=cosj+sinj,提示：沿x轴正向时，cosj=1，sinj=0，,沿x轴负向时，cosj=-1，sinj=0，,；,=cosj+sinj,=cosj+sinj，,5,例1求函数zxe2y在点P(1，0)沿从点P(1，0)到点Q(2，1)的方向的方向导数,因此x轴到方向,因为,l的转角为j,e2y，,2xe2y,故所求方向导数为,在点(1，0)处，1，2,1cos()2sin(),6,x轴到射线l的转角为j，,x轴到的转角为q，,讨论：jq和jq时的方向导数,解因为,sinq,cosq，,所以,cosqcosjsinqsinjcos(qj),7,其中r，xrcosa，yrcosb，,对于三元函数uf(x，y，z)，定义它在空间一点P(x，y，z)着方向(设方向的方向角为a、b、g)的方向导数如下,，,zrcosg,如果函数在所考虑的点处可微分，有,=cosasinbcosg,三元函数的方向导数：,8,二、梯度,设函数zf(x，y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于任一点P(x，y)D及任一方向l，有,称为函数f(x，y)在点P的梯度，记作gradf(x，y)，即,gradf(x，y),=cosj+sinj,，cosj，sinj，,其中向量,9,梯度与方向导数：,=cosjsinj,，cosj，sinj,10,函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值,讨论：已知方向导数为,的最大值是什么？,结论：,梯度的模：,|gradf(x，y)|,=cosjsinj,11,曲面zf(x，y)上的曲线,等高线：,在xOy面上的投影曲线f(x，y)c称为函数zf(x，y)的等高线,12,梯度与等高线的关系：,等高线f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为,法线的方向向量是什么？,13,函数zf(x，y)在点P(x，y)的梯度的方向与过点P的等高线f(x，y)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向,梯度与等高线的关系：,等高线f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为,14,三元函数的梯度：设函数uf(x，y，z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，对于每一点P(x，y，z)G，函数uf(x，y，z)在该点的梯度gradf(x，y，z)定义为：,结论：,三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向,导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值,15,等量面：曲面f(x，y，z)c为函数uf(x，y，z)的等量面函数uf(x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P的等量面f(x，y，z)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数,16,例3求grad,解这里f(x，y),因为,，,，,所以grad,例4设f(x，y，z)x2y2z2，求gradf(1，1，2),解gradffx，fy，fz2x，2y，2z，于是gradf(1，1，2)2，2，4,17,如果与点M相对应的是一个向量(M)，则称在这空间区域G,如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等)一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定,数量场与向量场：,内确定了一个向量场(例如力场、速度场等)一个向量场可用一,个向量函数(M)来确定，而,其中P(M)，Q(M)，R(M)是点M的数量函数,18,利用场的概念，我们可以说向量函数