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文档简介

二、边缘概率密度,第三节二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及其概率密度,三、随机变量的独立性,四、二维均匀分布和正态分布,（1）定义3.1,3.1二维连续型随机变量及其概率密度,（2）概率密度的性质,表示介于f(x,y)和xOy平面之间的空间区域的全部体积等于1.,说明：,P(X=a,-Y+)=0,P(-X+,Y=a)=0,P(X=a,Y=b)=0,注：对于二维连续型随机变量有,F(x,y)连续,例1,解:,(3)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有,解:,例2,3.2边缘概率密度分布,同理可得Y的边缘分布函数,Y的边缘概率密度.,注意：在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.,解,例3,（习题课教程P63例8-（1）,解,例4,连续型,由此可知：二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布。,法2X与Y独立,对任何x,y有,3.3随机变量的独立性,法1X与Y独立,对任何x,y有,例5已知(X,Y)的联合概率密度为,(1),(2),讨论X,Y是否独立？,解：,(1)由图知边缘概率密度为,显然，,故X,Y相互独立.,(2)由图知边缘概率密度为,显然，,故X,Y不独立.,（书P74例3.3）,随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量（书P97）,若,则称随机变量X1,X2,Xn相互独立。,（1）均匀分布,定义设D是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在D上服从均匀分布.,3.4二维均匀分布和正态分布,向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标（X,Y）在D上服从均匀分布.,例6设二维随机变量(X，Y)在上服从均匀分布，求：（1）(X，Y)的概率密度；（2）,解（1）如图，区域D的面积为，因此(X，Y)的密度为,（2）记区域,于是,（2）二维正态分布（书P77）,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,例7设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求,解,（书P77例3.5）,例8,（教材P77例3.6）,解（1）,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都
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