数学建模人口增长模型

人口增长模型的数学建模:的人口增长是目前世界普遍关注的问题。作为世界上人口最多的国家，中国的人口问题非常突出。由于人口基数大，虽然中国实行计划生育政策已有20多年，但人口增长仍然很快，巨大的人口压力将给中国的社会政治、经济、医疗和就业带来一系列问题。因此，研究和解决我国的人口问题尤为重要。我们经常在报纸和杂志上读到人口增长的预测。说到本世纪，或者说下个世纪中叶，世界人口将达到数亿。您可能会注意到，在数字购物中心中，不同报纸在同一时间的人口预测差异很大，这显然是由于使用不同报纸的整体人口模型计算的结果。自人类社会进入20世纪以来，随着科学技术和生产力的飞速发展，世界人口也以前所未有的规模增长。每当人口增加10亿，它就会从100年缩短到10年以上。我们生活的地球已经把他的60亿人口带进了下一个世纪。很长一段时间以来，人类生殖一直在自然进行。正是由于人口的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才突然醒悟，开始研究人与自然的关系、人口的变化规律以及如何唤醒人口控制。本文有两种模型：(1):中国人口指数增长模型，用于预测和比较实际人口数据。(2):中国人口的逻辑示意图，显示中国人口的实际统计数据以供比较。此外，利用MATLAB图形标注中国人口的实际统计数据，并绘制两种模型的预测曲线。关键词：人口预测；马尔萨斯模型；逻辑模型；MATLAB软件1.问题背景和重述1.1问题的背景中国是一个人口大国，人口问题一直是制约我国发展的关键因素之一。自1973年全面实施计划生育以来，中国的生育率迅速下降，并取得了显著成就。然而，全面建设小康社会仍面临人口形势和严峻挑战。随着中国经济的发展和国家人口政策的实施，专家学者们对中国人口高峰期的人口数量有不同的预测。因此，基于现有数据，利用数学建模方法对中国人口进行分析和预测是一个重要的问题。1.2问题重述下表列出了1982年至1998年中国的人口统计数据。以1982年为起始年(t=0)，1982年人口为1万，人口自然增长率为14，人口容量为36亿。尝试建立一个更好的种群数学模型，给出相应的算法和程序，并与实际种群进行比较。时间(年)198219831984198519861987人口(万)时间(年)198819891990199119921993人口(万)时间(年)19941995199619971998人口(万)2.问题分析对于人口增长问题，有许多影响因素，如：人口基数、出生率、死亡率、人口的男女比例、人口年龄结构的构成、人口的迁入率和迁出率、人口的生育率和生育模式、国家的医疗发展、国家的政治战略等许多因素。如果把所有这些因素都考虑在内，这个问题根本无法解决。因此，根据中国人口自身发展的特点，我们应该选择能够反映中国人口发展特点的相应模式。人口发展模型有连续形式和离散形式，因为标题给出了从1790年到1980年的美国人口数据。数据是每年的具体数据，可以视为连续数据。根据表格中的数据，我们使用MATLAB编程(附录1)绘制散点图。图1 1982-1998年中国人口数据从图中可以看出，从1982年到1998年，人口呈增长趋势，增长趋势类似于指数增长。因此，我们可以首先建立一个指数增长模型(马尔萨斯模型)。然而，由于地球上的资源有限，它只能提供一定数量的生活条件，所以人口不可能无限增加。随着人口的增加，自然资源和环境条件对人口增长的制约将越来越明显。所以我们假设当人口很小时，人口增长率可以看作是一个常数，但是随着人口的增加，我们应该把人口增长率看作是一个随着人口的增加而减少的量，所以我们可以把模型一(马尔萨斯模型)优化成一个滞后增长模型(逻辑斯蒂模型)。3.模型假设(1)马尔萨斯模型假设中国人口增长符合人口指数增长规律，即满足马尔萨斯模型的两个前提条件：首先，食物是人类生存所必需的。第二，两性之间的性欲是不可避免的，而且几乎将保持现状。从这两个“人性的固定法则”出发，我们可以得到最基本的经济比例：食物或谋生手段的增长与人口的激增之间的关系。马尔萨斯说，人口增长速度超过了生存手段。人口呈几何级数增长，而生活资料仅呈算术级数增长。然而，马尔萨斯并不认为这两个系列是人口规律的反映。他提出保持两个系列之间平衡的唯一方法是抑制人口增长。他将支配人类命运的所谓永恒的人口和自然法则归纳为以下三个定理。三个定理：第一点是人口限制原则，即人口与生活资料之间必须有一定的正常比例，即“人口增长必须受到生活资料的限制”；第二点是人口增长的原则，即“随着生活资料的增加，人口往往会增加”；第三点是马尔萨斯人口原则的核心，即所谓的人口平衡原则，即“占主导地位的人口再生产受到贫困和邪恶的抑制，从而使真正的人口与生存手段保持平衡”。这个原则与前两个原则密切相关。这表明人口与生活资料之间的平衡最终会实现。然而，这种平衡不是自然实现的，而是各种“约束”的产物。因此，马尔萨斯模型假设了以下条件：1.设P(t)代表t时刻的总体，P(t)连续可微。2.人口增长率R是常数(增长率=出生率-死亡率)。3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育力和死亡率，并且每个个体都有相同的生育力和死亡率。(2)逻辑模型由于地球上的资源有限，当人口达到一定阶段时，将会出现一系列的问题，如食物短缺、住房和交通堵塞。此外，随着人口密度的增加，疾病将增加，死亡率将上升。因此，人口增长率将不是马尔萨斯假设的常数，而是随着人口的增加而下降。假设增长率r代表P(t)的函数r(p)，r(p)是P的负函数1.设r(p)是p的线性函数，r(p)=r-kp。2.自然资源和环境条件所能容纳的最大人口是Pm，即当P=Pm时，增长率r(p)=0。4.变量描述标志表达意思P人口t年r自然人口增长率最大人口容量起始人口5.模型建立和解决方案5.1马尔萨斯模型从假设1来看，人口增长的时间是那么它是可用的通过分离变量的方法得到的模型的解是在模型的两侧同时取对数，以获得线性拟合函数取表中1982年至1998年的数据，在MATLAB中对m文件(附录2)进行线性最小二乘拟合，得到：f=0。t - 14.5121所以我们知道r=0。p(t)=*exp(0。*(t-1982)下图是用MATLAB进行指数拟合得到的图2可以看出，拟合曲线基本一致，但其误差随着时间t的增加而逐渐增大，需要进行修正。5.2逻辑模型从假设2可以看出，p(t)是t年的人口，人口增长率r(p)是p的线性函数，r(p)=r-kp。最大人口容量为Pm。也就是说，当P=Pm时，增长率r(p)=0。所以，(5.2.1)通过分离变量的方法也可以得到解。(5.2.2)根据(5.2.1)制作的曲线图(图1)和根据(5.2.2)制作的p-t曲线图(图2)O图1图表图2 p-t图从上面的图表和表达式中，我们可以总结出以下规则：它表明，无论人口的初始状态是什么，总人口最终都会趋向于最大人口容量。p(t)pm时，0；p(t)0时。它表明当人口超过最大人口容量时，人口将减少，当人口小于最大人口容量时，人口将增加。人口变化率在时间上达到最大值，也就是说，在总人口达到极限值的一半之前，人口增长率就被加速了。此后，增长率将逐渐降至0。参数R和pm采用非线性最小二乘估计方法进行估计，并可通过matlab编程获得(附录4):r=0.01137，pm=3.7465e 04使用MATLAB对图像进行如下拟合图36.模型检验和结果分析马尔萨斯模型和罗吉斯模型是在先前的模型建立工作之后建立的。根据建立的模型，现在预测相关年份的人口，并与实际人口进行比较，以检验模型的优缺点。马尔萨斯模型和Logistic模型对中国数据的拟合结果年实际人口/一万计算人口第一亲代计算人口P21982198319841985104201986198719881989199019911992199319941995199619971998对表中数据的分析表明，对于短期预测，两种模型基本相同，但使用模型一更简单。对于中长期预测，模型2优于模型1。7.模型评估和推广1.优势：首先，我们用图表组合的方法直观地表达问题中给出的信息，然后我们得到人口增长的基本规律。根据给定的数据，通过分析得到人口增长率与总人口的线性关系，从而建立人口增长减速模型，对未来人口的预测做出更准确的判断。第一个模型是建立一个指数增长模型，基于英国牧师托马斯的发现。通过对我们实际数据的检验，我们发现早期人口增长与马尔萨斯模型的预测基本一致。然而，随着时间的增加，该模型的预测结果明显不合理。原因是我们把人口增长率看作一个常数，所以我们需要修正R。因此，我们把R表示为P的负函数，从而推导和建立模型2。2.缺点：本文对模型1中的参数只作了线性估计，因此计算结果与实际值有较大误差。在模型2中，只有r和p之间的关系被认为是线性的，而非线性关系没有被考虑。8.参考1。司守魁、孙、孙习京、钟、康树贵。数学建模算法和应用(第二版)。国防工业出版社，20162。蒋启元、谢金星、阿尔弗雷德。数学模型(第四版)。北京高等教育出版社。20113。褚长木，沈长春。数学建模及其应用。西南交通大学出版社成都。20154胡寿新、李柏年。基于MATLAB的数学实验。北京科学出版社。2004年6月5，康，等.北京：高等教育出版社。2006年5月6于学军。中国人口科学 2000年第2期，时间：2000-4-6，中国人口信息网。附录：1)符号x yx0=1982:1:1998y0= xlabel(x)ylabel(y)绘图(x0，y0，*)2)t=1982:1:1998；y=日志日志日志日志日志日志日志日志日志p1=polyfit(t，y，1)；f=poly2str(p1，t)3) syms x y px0=1982:1:1998y0= xlabel(x)ylabel(y)绘图(x0，y0，*)继续t=1982:1:1998p=。*exp(0.*(t-1982)绘图(x，p，r，线宽，0.5)；图例(原始数据散点图、指数拟合曲线)