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数形结合法在函数零点问题中的应用高三数学组 2017年3月15日【教学目标】 函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难。本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决。【教学思想、方法】 数形结合 分类讨论 转化与化归 函数与方程【考向洞察】1、针对题型(1) 确定零点的大致范围，多出现在选择题中；(2) 确定零点的个数问题，多出现在选择题中；(3) 利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。2、解决方案(1) 直接画出函数图像，观察图像得出结论。(2) 不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点， 通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。【例题讲解】例1、设函数，则函数（ D ）A. 在区间，内均有零点B. 在区间，内均无零点C. 在区间内有零点，内无零点D. 在区间内无零点，内有零点解1：，在单调递减，由零点存在定理知，区间内无零点，内有零点。解2：令，得，作出函数和的图象，如右图，显然在区间内无零点，内有零点。例2、设，则的零点个数是_2_。解：作出函数和的图象，如右图，由图可知直线与函数的图象有两个交点，所以有2个零点。例3、已知函数，有2个零点，则实数的取值范围是_。解1： 时，则当，单调递增；当，单调递减；而，此时有1个零点；时，只有1个零点 ，则的根为0或正数，由解得，解得。解2：令，得，作出和的图象当时，恒成立，例4、若函数则当时，函数的零点个数为( D ) A.1 B.2 C.3 D.4解：令，若，则则，对于存在两个零点；对于存在两个零点；综上可知，函数有4个零点。 例5、设，（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（ D ）A. B. C. D. 解：由得即令，则，的大致图象如右图：方程在上有两个不同的解时可以满足题意则解得【归纳小结】1、解决此类问题的关键是数形结合；2、还应把握两类知识：(1) 灵活构造函数；(2) 图象的各类变换：平移、伸缩、对称、周期性变换等。【教学反思】数形结合思想是高中数学常用思想方法之一，可以使某些抽象的数学问题直观化、形象化，变抽象思维为形象思维，有利于把握数学问题的本质.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺 形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好， 隔离分家万事休”，可见数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.作为中学数学教师，在函数
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