计算方法 数值积分-插值型积分.ppt

第六章数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性和稳定性，计算方法(数值分析)，第四章数值积分，数值积分导论机械求积法用简单函数逼近求积函数法-插值型求积公式例题求积公式的收敛性和稳定性，数值积分导论，第四章数值积分，4.0导论如果函数f(x)在区间a，b中是连续的，并且它的原始函数是F(x)，定积分的值可以通过牛顿-莱布尼茨公式3360、点评：牛顿-莱布尼茨公式在理论和解决实际问题中发挥了重要作用，但它不能完全解决定积分的计算。(1)被积函数f(x)没有用初等函数的有限形式表示的本原函数f(x)，例如，(2)被积函数F(x)的本原函数可以用初等函数表示，但表达式太复杂，例如，本原函数：牛顿-莱布尼茨公式不能应用。(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式，它的函数关系用表格或图形表示。对于上述情况，很难用牛顿-莱布尼茨公式求出积分的精确值。因此，有必要研究一种新的积分方法：数值方法，建立一种近似的积分计算方法。数值积分的思想是细分积分区间，在每个单元中使用简单函数而不是复杂函数。代数插值多项式代替被积函数f(x)是本章讨论的数值积分的主要内容。主页，机械求积方法，4.1数值积分概述，图4-1数值积分的几何意义，积分值的几何表示：由四条边x=a、x=b、y=0和y=f(x)包围的曲线边的梯形面积。这个面积很难计算，因为它有一条曲线边y=f(x)。4.1.1数值积分的基本思想，y=f (x)，y，a，b，建立数值积分公式的两种最常用的方法是：本段讲授机械求积法，即具有曲线边的梯形面积与底部为(b-a)且高度为的矩形面积完全相等。然而，点的具体位置是未知的，因此值也是未知的。第一种是机械求积法。二是用简单函数逼近代替被积函数的方法。从积分中值定理可以看出，对于连续函数f(x ),在积分区间a，b中有一个点，这使得，恩尼格，三个积分公式，y，构造了一些积分值的近似公式。分别得到下面的梯形公式和中间矩形公式。在梯形公式中，以y和中间矩形公式为例，分别取：梯形公式、x、a、b、y=f(x)、a、b，用梯形面积表示整数值、中间矩形公式、y=f (x)、a、b、y、x、(ab)/2、a、b，整数值用矩形面积表示，其中区间中点的函数值高、y=f(x)、y、辛普森公式、a、b、辛普森公式取首先，将一个简单的函数近似为f(x)，并替换原来的被积函数f(x)。也就是说，该函数应该对f(x)有足够的逼近，并且其积分易于计算。二是用简单函数逼近代替被积函数构造数值算法。一般来说，f(x)的插值多项式将被选择，因此f(x)的积分可以近似地被其插值多项式的积分代替。要求：4.1.2插值求积公式，其中k=0，n、其中称为正交系数。取为近似值，即记住定义4.1的求积公式，当其系数为时，该求积公式称为插值(式)求积公式。(4.1)(4.1)的余数是由插值余数定理得到的。注意：当f(x)是不高于n的多项式时，求积公式(4.1)成为一个精确的方程。例1给定一个作为定积分的插值节点，构造一个插值求积公式。解：拉格朗日插值基函数取这三个po我们可以看到，当f(x)是x2，x3，x4时，辛普森公式比梯形公式更精确。同学们，自己验证一下，求多项式f(x)的一个求积公式可以变成一个多少次的精确方程，是衡量公式准确性的一个重要指标。代数精度的定义：如果求积公式(4.1)对所有m次或更小的多项式都是精确的，而对m次或更小的多项式都是不精确的，那么求积公式被称为具有m次的代数精度。在公式4.1中，让f (x)=1，x，x2，x3，xn。如果求积公式(4.1)的代数精度是n，它的系数应该满足：，定理4.1n 1节点的求积公式，是一个至少具有n个代数精度的插值求积公式。证明：的必要性。将n 1节点的求积公式和插值求积公式的判定条件设为插值求积公式，求积系数为：并且，当f(x)为n次或更小的多项式时，f(x)=P(x)，其余R(f)=0。因此，求积公式至少有n个代数精度。充分性：如果求积公式至少具有n次代数精度，则n次多项式被精确地建立，即从(*)和(* *)可知：即求积公式是插值型求积公式。其中，(*)，(*)，重要结论：梯形公式具有1次代数精度；辛普森公式的代数精度为3倍(由学生自己验证)。取f(x)=1，显然上述公式的两端是相等的。取f(x)=x，取f(x)=x2，所以梯形公式只有一个代数精度。下面以梯形公式为例进行验证。国内，以插值型求积公式为例。在示例3中，尝试确定一个代数精度至少为两倍的公式。为了求解：如果公式具有两倍的代数精度，f(x)=1，x，x2，则求积公式被精确地建立，并且获得以下等式。求解结果如下：插值求积公式，系数值与1)积分区间a，b，2)节点选择有关；3)与具体的f(x)无关，示例4试图确定正交系数A、B、C，以便能够验证公式适用于f(x)=x3(意外收获)，但不适用于x4。因此，求积公式具有三次代数精度。A=1/3，B=4/3，C=1/3，具有最高的代数精度。解：分别取f(x)=1，x，x2，从而可以精确地建立求积公式，并得到：Simpson求积公式。方法是：选择n 1个插值节点，根据插值公式构造求积公式后，检查求积公式是否有n 1倍或更高的代数精度。问题：有n 1个节点的插值求积公式的代数精度有多高？答：n 1个节点的插值求积公式保证了至少n个代数精度。结论：n 1节点插值求积公式的代数精度至少为n，但可能大于n？解：插值求积公式有3个节点，所以它至少有2个代数精度。例5已知的插值求积公式(根据插值公式构造的系数)，f(x)=x3被代入公式的两端，左端=右端=(b4-a4)/4，公式的两端严格相等，然后代入f(x)=x4，两端不相等，因此求积公式具有三次代数精度。讨论了公式的代数精度。辛普森公式，是否有3个代数精度？的代数精度。示例6检查了求积公式和注释：三个节点不一定具有二次代数精度，因为它们不是插值类型！解：可以验证，对于f (x)=1，当x时公式的两端相等，然后f(x)=x2被代入公式。经过计算，左端=2/3，右端=1。因此，求积公式具有1次代数精度。在课堂练习中，示例7中给出的求积公式如下：尝试证明求积公式是插值型求积公式。证明：因此求积公式至少有两倍的代数精度。根据定理4.1，这个求积公式是一个插值求积公式。可以验证该公式具有3个代数精度。事实上，在示例1中，已经找到了插值节点，它与本主题中给出的求积公式相同，因此证明了：集合x0=-1，x1=0，x2=1，因此求积公式有3个节点，但只有一个代数精度。根据定理4.1，这个求积公式不是插值求积公式。给定例9中的求积公式，尝试确定求积系数A-1、A0、A1，使它们具有尽可能高的代数精度，并指出它们的代数精度。如果对于f(x)=1，x，x2，求积公式正确成立，那么有课堂练习、解的代数精度至少为2，并且f(x)=x3被替换为具有相等端点的求积公式。f(x)=x4被代入正交公式，并且两端不相等；所以它的代数精度是3倍，而且插值求积公式的构造具有以下特点：1)复函数f(x)的积分被转换成计算多项式的积分；2)正交系数Ak只与积分区间和节点xk有关，而与被积函数f(x)无关。不管f(x)是多少，Ak的值总是可以预先计算出来的。(3)3)n个1节点的插值求积公式至少具有n个代数精度；(4)正交系数之和可用于验证正交系数的正确性。(1)在积分区间a，b上选择节点XK，(3)使用F (x)=1，x，xn，检查代数精度并构造插值求积公式：(2)求出f(xk)并使用或求解关于Ak的线性方程求出Ak，得到：10对例子，并构造代数精度至少为3倍的求积公式。学生自己完成它。解：3的代数精度需要4个节点，取0，3上的4个节点0，1，2，3来构造求积公式，并确定求积系数Ak(k=0，1，2，3)。使用求积系数公式，因为求积公式有4个节点，所以它至少有3个代数精度，只需要用f(x)=x4来验证它的代数精度。将f(x)=x4代入两端是不相等的，因此只有3个代数精度。首页，求积公式的收敛性和稳定性，4.1.5，求积公式的收敛性和稳定性，一般来说，求积公式，俗称机械求积公式。如果f(x)在a，b上具有n个1阶连续导数，则插值型求积公式的余数表达式为：误差估计公式，示例1使用以下插值型求积公式来计算和估计误