学而思小升初培优六：数论综合-学生版

初中生培养卓越(6):数论综合特别回顾练习：1加工某些机器零件需要三个过程。在第一个过程中，每个工人每小时可以完成30个零件，在第二个过程中，每个工人每小时可以完成30个零件，在第三个过程中，每个工人每小时可以完成30个零件。这三个过程至少需要多少工人才能使加工生产达到平衡？数字a和b的最小公倍数是，数字b和c的最小公倍数是，数字a和c的最小公倍数是，那么数字a是什么？示例分析枚举法枚举法(也称为穷举法)是将讨论的对象分成几个情况(类别)，然后逐一讨论每个情况，最后解决整个问题。枚举法有时用于进行适当的分类，分类的原则是不可忽视或泄漏。正确的分类有助于揭示问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法是模余分类、奇偶分类和数值分类。例1要找到这样一个三位数，除以它得到的余数等于它的三位数的平方和。分析只有三位数，可以用枚举法求解。在枚举时，可以先估计相关量的范围，从而缩小讨论范围，减少计算量。假设100、10和10的三位数是，因为任何数的余数除以11都不会大于，因此。因此，所需的三位数字必须在以下数字中：不难验证只有两个数字符合要求。例2写出一个连续的自然数，它们都是复合数。分析(方法1)在寻找质数的过程中，我们可以看到至多有一个连续的复合数可以写在：我们将继续应用筛查方法，扩大检查范围。通过使用筛选方法，我们可以获得一个连续的自然数，其总和在和之间：(方法2)如果这个数分别是、和，如果它可以被中的任何一个数整除，那么、可以被、整除，所以只要取它，就可以得到满足条件的数。(方法3)虽然上面的方法很聪明，但是很难计算，所以我们应该选择一个折中的方法，将数字分别设置为、和。因此，只要所有可整除的整数都被启用，并且总和保证是一个复合数，就可以通过实验得到合格值。如图所示，有三张卡片，上面写着：从其中取出一、二、三张，按任意顺序排列，得到不同的单、双、三位数。请写下所有的质数。(质数是质数)分析因为这三个数的和是可整除的，所以用这三个数排列的任何三个数字都是可整除的，所以它不能是质数。看两张卡片的情况。因为，根据同样的原理，两个数字的组合是可以整除的，所以它不是一个质数。这样，剩下要讨论的两位数字只有、这四个。其中，是质数。最后一个质数只有，展开练习和都是两位数，和的位分别是和，十位是，如果它们满足方程，那么。代数表示对于一些研究整数本身特性的问题，如果能够合理地选择整数的表示，通常有助于解决问题。这些常用的形式是：1.十进制表示：2.二进制表示：3.皮带剩余的形式：(奇数可表示为，偶数可表示为，其中为整数)4.标准分解公式：5的幂与奇数的乘积：(有奇数的地方)。6.最大公约数和系数的乘积：其中。7.示例4找到一个四位数的数字，前两位数和后两位数分别相同，并且数字本身等于整数的平方。分析将所需的四位数字设置为，然后，其中，可以看出，平方数被精确地除了，因此被精确地除了。因此，数字可以被精确地除，因此可以被精确地除。但是。因此，可以看出这是一个自然数的平方。要逐一检查，很容易知道唯一的时间是平方数，所以展开练习两位数的十位数与一位数交换后，得到的两位数小于原数，满足条件的两位数总计_ _ _ _ _ _。例5找到一个最大的完美平方数，在去掉最后两位数后，仍然得到一个完美平方(假设被去掉的两个数中有一个非零)。分析设置要满足的条件和顺序，其中。那就是。因此，由此，因此。经验表明，只有这样，条件才能得到满足。如果是的话。因此，满足条件的最大完全平方数为。从自然数中，最多可以取出多少个数，这样取出的数中的任意三个数的和就可以被18整除？分析设，为提取数中的任意数，则，其中，为自然数。所以。上述公式表明，任意数量的提取数之间的差是一个倍数，也就是说，通过除以每个提取数得到的余数是相同的。假设这个余数是，其中，是一个整数。所以。因为，因此，也就是推断.因为，因此，我们可以从、中取一个和，它们的和可以被精确地除。例7如果除法后的余数是2，除法后的余数是2，证明它可以被精确地除。(两者都是自然数)分析(方法1)集，解方程已经得到，所以它们可以被精确地分开。(方法2)问题条件可以被精确地划分，即它可以被精确地划分，然后它可以被精确地划分，所以它可以被精确地划分。扩展练习1如果它是倍数，证明它也是倍数。(两者都是自然数)扩展练习2如果是倍数，验证也是倍数。(两者都是自然数)扩展练习3如果是倍数，也是倍数。验证它是倍数。(、都是自然数)例8有一个自然数。商()和余数()之和除以、等于。这种数字的最小可能数量是多少？分析至少，至少，至少，最低是1081。如何计算自然数的近似值；自然数用标准分解公式表示：自然数的除数用标准分解公式表示：然后，c可以取这个整数的任何值；根据乘法原理，有不同的除数。例9有多少数字在文章中间有除数？分析只能表示为，所以限定数只包含一个不同的素因子，这个素因子有一个。请注意，带有一个除数的数字必须是质数、的完整平方，并且该数字的平方在到之间，总数为合格。展开练习有多少数字中间有除数？例10两个自然数的平方方差称为“智慧数”。例如，它是一个“智慧数字”。在自然序列中，哪一个数字从一开始就是第一个“智慧数字”？请解释原因。分析显然，这不是“智慧数”，而是大于“智慧数”的奇数。可见，大于和可分的数都是“智慧数”，而不是“智慧数”。因为=(其中，)，当奇偶性相同时，它们是可分的。当奇偶性不同时，它是奇数，所以数字不是“智慧数”，只是“智慧数”在自然序列的前四个自然数中，然后在每四个连续数中有三个“智慧数”，所以它是第一个“智慧数”。如果自然数的和正好是平方数，它们会是质数吗？推广练习2将被表示为两个自然数的倒数之和。有多少种方法？请给出所有的答案。13.假设N是一个自然数，并且是一个正整数。证明：它不是一个完整的正方形。分析假设那是一个正整数。如果它是整数的平方，那么这是不可能的，因为和是完整的平方，结果不是平方数。14、设置不等于、验证：三个数字中至少有一个不是完美的平方数。这三个数字中至少有一个不是完美的平方数。运用归谬法，建立.其中，是正整数。公式(1)表明它是奇数，可以设置。替代手段.(4)(4)公式描述也很奇怪。因此，从(2)和(3)可知它是均匀的。让，被替换为和，并除以。因为偶数是偶数，所以它们都是偶数或奇数，因此和是偶数，也就是偶数的倍数，因此是偶数。这与奇数相矛盾，所以这个命题是正确的。15、将几个(至少两个)连续自然数的和写成，有多少种不同的书写方法？给出所有可能的答案。分析让这个自然数被表示为连续自然数的和。如果它是奇数，一定有一个中间数，也就是说，如果它是奇数，那么连续自然数的和就是奇数和自然数的乘积。如果它是偶数，那么有两个中间数，也就是说，相关自然数的和是奇数和偶数，所以它是整数，也是奇数和自然数的乘积。其奇数因子大于，这三个，如果有奇数个连续自然数相加：在那个时候，是一个连续的自然数，中间的数字分别是、和。当或时，自然数范围内没有合格的连续数。如果添加偶数个连续自然数：在那个时候，是自然数的和，两个数中较小的一个是，当时，是自然数的和，两个数中较小的是，当或时，自然数范围内没有合格的连续数。所以总共有两个满足条件的自然数。高峰练习：1.自然数的总和用来表示。是否有一个自然数，以便；2.三位数、一位数和百位数交换后仍然是三位数。与原来的三位数不同的一位数是7。试着找出他们的不同。3.如果余数的倍数被除，余数被除，验证：是倍数。(两者都是自