数学必修1高中一年级人教版 3.2.1 几类不同增长的函数模型

3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型,1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了.兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番.,兔子每年能生产4到6次，一窝6-10只,1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失.绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子.整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过.这种现象能否用我们所学的数学知识来解释呢？请进入本节的学习！,1.掌握常见增函数的定义、图象、性质并体会其增长快慢.(重点）2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义.3.学会分析具体的实际问题,能够建立数学模型解决实际问题.(难点）4.了解数学在实际问题中的应用价值.,例1假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？,方案三可以用函数进行描述.,设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数进行描述；,思路分析：,2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？,1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？,方案二可以用函数进行描述；,注意x与y的意义,3.三个函数模型的增减性如何？4.要对三种方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？,根据函数性质判断,三种方案所得回报的增长情况如表和图：,2,y40,20,40,60,80,100,120,O,4,6,8,10,12,y,x,y10 x,y0.42x1,函数图象是分析问题的好帮手,读图和用图,可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多.这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.,由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但二者增长情况很不相同.,从每天所得回报看，在第13天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少，在第58天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多；到第30天，所得回报已超过2亿元.,下面再看累计的回报数：,结论：投资16天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三.,天数,回报/元,方案,一,二,三,40,1234567891011,80120160200240280320360400440,103060100150210280360450550660,0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8,A,【变式练习】,例2：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，,现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？,某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.,于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.,两个要求,【解题关键】,1确定x的取值范围，即函数的定义域,2通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？,的图象.,解:借助计算器或计算机作出函数,思考：,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,y0.25x,ylog7x1,y1.002x,O,y5,y,x,观察图象发现，在区间10,1000上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断.,首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.对于模型y=0.25x，它在区间10,1000上递增，而且当x=20时，y=5,因此，当x20时，y5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足由于它在区间10,1000上递增，因此当xx0时，y5,所以该模型也不符合要求；对于模型y=log7x+1,它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.,计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有成立,如何判断该式是否成立,令,综上所述，模型确实能符合公司要求.,时，,所以,当,说明按模型,奖励,奖金不会超过利润的25%，,利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象,由图象可知它是递减的，,因此,即,构造函数,C,【变式练习】,微课：指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较,1.列表并在同一坐标系中画出下面这三个函数的图象（a=2).,2.结合函数的图象找出其交点坐标.,从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数图象的下方，y=x2的图象与y=2x的图象有两个交点(2，4)和（4，16）.,A,B,y=2x,x,y,o,1,1,2,16,23,4,3,4,y=x2,y=log2x,差异明显,3.根据图象,分别写出使不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围.,使不等式log2x2xx2的x的取值范围是(2，4);,使不等式log2x0),在区间（0，+）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当xx0时，就会有axxn.,指数函数与幂函数的比较,对于对数函数y=logax（a1)和幂函数y=xn(n0),在区间（0，+）上,随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0,当xx0时，就会有logax1)，y=logax(a1)和y=xn（n0）都是增函数.,因此总会存在一个x0，当xx0时，就有logax0）的增长速度.,3）随着x的增大，y=logax(a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn（n0）的增长速度.,【提升总结】,【解题关键】,D,B,y1x(0x10),4.银行的定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年的年利率分别为2.25%,2.43%,2.70%,2.88%，现将1000元人民币存入银行，求:应怎样存取以使5年后得到的本金和利息总和最大？,解：存5年共有6种存款方式：（1）一次性存入5年，本金和利息的总和为1000+510002.88%=1144（元）.（2）存一个三年，再存一个两年(1000+310002.70%)(1+22.43%)=1133.54(元).（3）存一个三年，再存两个一年1000(1+32.70%)(1+2.25%)2=1130.19(元).,（4）存两个两年，再存一个一年1000(1+22.43%)2(1+2.25%)=1124.30（元）.（5）存一个两年，再存三个一年1000(1+22.43%)(1+2.25%)