2008年考研数学一真题及解析

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 1 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考数学试题参考答案答案和评分和评分参考参考 数数 学（一）学（一） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.) （1）设函数 2 0 ( )ln(2) x f xt dt ，则( )fx的零点个数为 （B） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）函数( , )arctan x f x y y 在点（0，1）处的梯度等于 （A） （A）i （B）i （C）j （D）j （3）在下列微分方程中，以 123 cos2sin2 x yCeCxCx（ 123 ,C C C为任意常数）为 通解的是 （D） （A）044 yyyy. （B）044 yyyy （C）044 yyyy. （D）044 yyyy （4）设函数( )f x在(,) 内单调有界， n x为数列，下列命题正确的是 （B） （A）若 n x收敛，则 () n f x收敛. (B) 若 n x单调，则 () n f x收敛. (C) 若 () n f x收敛，则 n x收敛. (D) 若 () n f x单调，则 n x收敛. （5） 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵， 若0 3 A， 则 （C） （A）EA不可逆，EA不可逆. （B）EA不可逆，EA可逆. （C）EA可逆，EA可逆. （D）EA可逆，EA不可逆 （6）设 A 为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程 ( , , )1 x x y z A y z 在正交变换下的标准方程 的图形如图，则 A 的正特征值个数为 （B） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （7） 随机变量X， Y 独立同分布， 且X 的分布函数为 F(x)， 则 Z=maxX, Y分布函数为 （A） （A）)( 2 xF； （B）)()(yFxF； （C） 2 )(1 1xF； （D）)(1)(1 yFxF （8） 随机变量(0,1),(1,4)XNYN， 且相关系数1 XY ， 则 （D） （A）211P YX （B）211P YX （C）211P YX （D）211P YX 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 2 页 二、填空题： （二、填空题： （914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.） (9) 微分方程 0 xyy满足条件(1)1y的解是yx/1 (10) 曲线sin()ln()xyyxx在点（0，1）处的切线方程是1 xy. (11) 已知幂级数 0 (2)n n n a x 在0 x 处收敛， 在4x 处发散， 则幂级数 0 (3)n n n a x 的 收敛域为5 , 1 (12) 设曲面是 22 4zxy的上侧，则 dxdyxxdzdxxydydz 2 =4 (13) 设 A 为 2 阶矩阵， 21, 为线性无关的 2 维列向量， 1212 0,2AaAaaa则 A 的 非零特征值为_1_ (14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 2 EXXP= e2 1 三、解答题三、解答题 ( 15 23 小题，共小题，共 94 分分. ) (15)（本题满分本题满分 9 分分） 求极限 4 0 sinsin(sin )sin lim x xxx x 解：解： 3 0 4 0 sinsinsin lim sinsinsinsin lim x xx x xxx xx 2 分 2 0 2 0 3 sincos1 lim 3 cossincoscos lim x x x xxx xx 6 分 6 1 3 sin lim 2 2 2 1 0 x x x 9 分 (16)（本题满分本题满分 9 分分） 计算曲线积分 2 sin22(1) L xdxxydy ，其中 L 是曲线sinyx上从点（0，0）到 点( ,0)的一段. 解法解法 1： 0 22 cossin122sin122sindxxxxxydyxxdx L dxxx 0 2 2sin 4分 0 0 2 2c o s2c o s 2 x d xxx x 6 分 2 2s in 2 1 2s in 22 2 0 0 2 x d xx x 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 3 页 解法解法 2：取 1 L为x轴上从点0 ,到点0 , 0的一段，D是由L与 1 L围成的区域 11 ) 1(22sin) 1(22sin122sin 222 LLLL ydyxxdxydyxxdxydyxxdx2 分 0 2sin4 xdxxydxdy D 5 分 00 2 0 sin 00 )2cos1 (sin22cos 2 1 4dxxxxdxxxxydydx x 2 2sin 2 1 2sin 22 2 0 00 2 xdxx xx 9 分 (17)（本题满分本题满分 11 分分） 已知曲线 222 20 : 35 xyz C xyz ，求 C 上距离xOy面最远的点和最近的点. 解：解：点),(zyx到xOy面的距离为z，故求C上距离xOy面最远点和最近点的坐标， 等价于求函数 2 zH 在条件02 222 zyx与53 zyx下的最大值点和最小值 点. 3 分 令)53()2(),( 2222 zyxzyxzzyxL 5 分 由 53 02 0342 02 02 222 zyx zyx zzL yL xL z y x 7 分 得yx ，从而 532 022 22 zx zx ，解得 5 5 5 z y x 或 1 1 1 z y x 10 分 根据几何意义， 曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点， 故所求点依次为)5 , 5, 5( 和) 1 , 1 , 1 ( 11 分 (18)（本题满分本题满分 10 分分） 设( )f x是连续函数， (I) 利用定义证明函数 x dttfxF 0 )()(可导，且( )( )F xf x； (II) 当( )f x是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 2 00 )()(2)(dttfxdttfxG x 也 是以 2 为周期的周期函数. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 4 页 (I) 证：证：对任意的x，由于( )f x是连续函数，所以 x dttf x dttfdttf x xFxxF xx x x xxx xx )( lim )()( lim )()( lim 0 00 00 2分 )(lim )( lim 00 f x xf xx （其中介于x与xx之间） 由)()(lim 0 xff x ，可知函数)(xF在x处可导，且)()( xfxF 5 分 (II) 证法证法 1：要证明)(xG以 2 为周期，即要证明对任意的x，都有)()2(xGxG， 记)()2()(xGxGxH，则 222 0000 ( )2( )(2)( )2( )( ) xx H xf t dtxf t dtf t dtxf t dt 0)()(2)()2(2 2 0 2 0 dttfxfdttfxf 8分 又因为00)(2)(2)0()2()0( 2 0 2 0 dttfdttfGGH 所以0)(xH，即)()2(xGxG 10 分 证法证法 2：由于( )f x是以 2 为周期的连续函数，所以对任意的x，有 2 000 2 0 )()(2)()2()(2)()2( xxx dttfxdttfdttfxdttfxGxG xxxx dttfduufdttfdttfdttfdttf 00 2 00 2 0 2 2 )()2(2)()()()(28 分 0)()2(2 0 x dttftf 即)(xG是以 2 为周期的周期函数. 10 分 (19)（本题满分本题满分 11 分分） 将函数 2 1)(xxf，)0( x展开成余弦级数，并求级数 1 2 1 ( 1)n n n 的和. 解：解：由于 0 2 2 0 3 2 2)1 ( 2 dxxa 2 分 , 2 , 1,) 1( 4 cos)1 ( 2 1 2 0 2 n n nxdxxa n n 5 分 所以 nx n nxa a xf n n n n cos ) 1( 4 3 1cos 2 )( 1 2 12 1 0 ， x0， 7 分 令0x，有 1 2 12 ) 1( 4 3 1)0( n n n f ， 又1)0(f，所以 12 )1( 2 1 2 1 n n n 11 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 5 页 (20)（本题满分本题满分 10 分分） 设,为 3 维列向量，矩阵, TT A其中 T ， T 为，的转置. 证明： (I) 秩( )2r A ； (II) 若, 线性相关，则秩( )2.r A 证：证：(I) ( )() TT r Ar ()() TT rr 3分 2)()(rr 6分 (II) 由于,线性相关，不妨设k， 于是21)()1()()( 2 rkrrAr TTT 10 分 (21)（本题满分本题满分 12 分分） 设n元线性方程bAx ， 其中A 2 2 2 2 21 21 21 21 2 n n a aa aa aa aa , 1 2 n x x x x ， 1 0 0 b (I) 证明行列式 n anA) 1( ； (II) 当a为何值时，该方程组有唯一解，并求 1 x； ( () 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. (I) (I) 证法证法 1：记 n DA 2 2 2 2 21 21 21 21 2 n a aa aa aa aa 当1n时，aD2 1 ，结论成立， 当2n时， 2 2 2 3 2 12 a aa a D，结论成立 2 分 假设结论对小于n的情况成立，将 n D按第 1 行展开得 2 12 2 nnn DaDa D nnn ananaana) 1() 1(2 221 ， 即 n anA) 1( 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 6 页 证法证法 2： 2 2 2 21 2 2 2 2 21 21 3 2101 2 21 1 21 2 21 21 2 2 n n a a aaa aa aa Arar aa aa aa aa 2 分 32 2 2 2 21 3 01 2 4 01 2 3 3 21 21 2 n a a a rar aa aa aa 4 分 n n nn an a n n a n n a a a ar n n r) 1( 1 0 1 1 0 1 3 4 0 1 2 3 0 12 1 1 6 分 ( () 解：解：当0a时，方程组系数行列式0 n D，故方程组有唯一解. 由克莱姆法则，将 n D第 1 列换成b，得行列式为 2 2 1 1 2 2 2 21 11 21 021 21 21 21 21 2 2 n n n n a a aa aa Dna aa aa aa aa 所以， an n D D x n n ) 1( 1 1 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 7 页 ( () 解：解：当0a时，方程组为 1 2 1 011 010 010 00 n n x x x x 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n，所以方程组有无穷多解，其通解为 0 1 001 000 TT xk,其中k为任意常数 12 分 (22)（本题满分本题满分 11 分分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 概率分布为 1 (1,0,1) 3 P Xii，Y 的概率密度 为 101 ( ) 0 Y y fy ， 其它 记 YXZ (I) 求 1 0 2 P ZX； (II) 求 Z 的概率密度 )(zfz. 解：解：(I) 0 2 1 0 2 1 XYXPXZP 2 1 2 1 YP 4 分 (II) zYXPzZPzFZ)( 1,0,1,XzYXPXzYXPXzYXP 1, 10,1, 1XzYPXzYPXzYP 11011XPzYPXPzYPXPzYP 11 3 1 zYPzYPzYP ) 1()() 1( 3 1 zFzFzF YYY 7 分 1 3 ( )( )(1)( )(1) ZZYYY fzF zfzfzfz 9 分 其他, 0 21, 3 1 z 11分 (23)（本题满分本题满分 11 分分） 设 12 , n X XX是总体为 2 ( ,)N 的简单随机样本，记 n i i X n X 1 1 ， 2 1 2 )( 1 1 n i i XX n S， 2 21 S n XT (I) 证明 T 是 2 的无偏估计量； (II) 当0,1时，求 DT. (I) 证：证：因 222 2 2 21 )( 1 ) 1 (ES n XDXEES n XES n XEET 4 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 8 页 2 22 2 nn 所以T是 2 的无偏估计量 7 分 (II) 解：解：当0，1时，由于X与 2 S独立 ，有 ) 1 ( 2 2 S n XDDT 2 2 21 DS n XD 9 分 2 22 2 2 ) 1( ) 1( 11 )( 1 SnD nn XnD n ) 1( 2 1 1 1 2 ) 1(2 ) 1( 11 2 1 2222 nnnn n nnn 11分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 9 页 数数 学（二）学（二） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.) （1）设函数 2 ( )(1)(2)f xx xx，则( )fx 的零点个数为 （D） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）如图，曲线段的方程为( )yf x， 函数在区间0, a上有连续导数， 则定积分 0 ( ) a xfx dx 等于 （C） （A）曲边梯形 ABCD 面积. （B）梯形 ABCD 面积. （C）曲边三角形 ACD 面积. （D）三角形 ACD 面积. （3） 【 同数学一（3）题 】 （4） 判断函数x x x xfsin 1 ln )( ， 则)(xf有 （A） （A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点； （B）1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点. （C）2 个跳跃间断点； （D）2 个无穷间断点 （5） 【 同数学一（4）题 】 （6）设函数f连续，若dxdy yx yxf vuF vu D 22 22 )( ),(， 其中区域 uv D为图中阴影部分， 则 F u （A） （A）)( 2 uvf （B）)( 2 uf u v （C） )(uvf （D）)(uf u v （7） 【 同数学一（5）题 】 （8）设 12 21 A ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 （D） （A） 21 12 （B） 21 12 （C） 21 12 （D） 12 21 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 10 页 二、填空题： （二、填空题： （914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.） (9) 已知函数( )f x连续，且1 )() 1( )(cos1 lim 2 0 xfe xxf x x ，则)0(f2. (10) 微分方程0)( 2 xdydxexy x 的通解是y)( x eCx . (11) 【 同数学一（10）题 】 (12) 曲线 3 2 )5(xxy的拐点坐标为)6, 1(. (13) 已知 x y y z x ，则 )2, 1( x z ) 12(ln 2 2 . (14) 设 3 阶矩阵 A 的特征值是, 3 , 2，若行列式482A，则1. 三、解答题三、解答题 ( 15 23 小题，共小题，共 94 分分. ) (15)（本题满分本题满分 9 分分） 【 同数学一（15）题 】 (16)（本题满分本题满分 10 分分） 设 函 数)(xyy 由 参 数 方 程 2 0 )1ln( )( t duuy txx 确 定 ， 其 中)(tx是 初 值 问 题 0 02 0t x x te dt dx 的解，求 2 2 dx yd . 解：解：由02 x te dt dx 得tdtdxe x 2，积分并由条件0 0 t x，得 2 1te x ， 即)1ln( 2 tx 4 分 )1ln()1 ( 1 2 2)1ln( 22 2 2 tt t t tt dt dx dt dy dx dy 7 分 1)1ln()1 ( 1 2 2)1ln(2 )1ln()1 ( )( 22 2 2 22 2 2 tt t t ttt dt dx tt dt d dx dy dx d dx yd 10 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 11 页 (17)（本题满分本题满分 9 分分） 计算 2 1 20 arcsin 1 xxdx x . 解：解：由于 2 2 1 1 arcsin lim x xx x ，故dx x xx 1 02 2 1 arcsin 是反常积分 令tx arcsin，有txsin， 0,) 2 t 1 0 2 0 2 0 2 2 2 2 sincos cos sin 1 arcsin tdtttdt t tt dx x xx 3 分 2 0 2 0 2 2sin 4 1 4 2sin 16 tdt tt 7 分 4 1 16 2cos 8 1 16 2 2 0 2 t 9 分 (18)（本题满分本题满分 11 分分） 计算 D dxdyxy1 ,max，其中20 , 20),(yxyxD. 解：解：曲线1xy将区域D分成如图所示的两个区域 1 D和 2 D 3 分 21 1 ,max DDD dxdyxydxdydxdyxy 5 分 x x dydxdydxxydydx 1 0 2 2 1 2 0 2 1 0 2 1 2 2 1 8 分 2ln 4 19 2ln212ln 4 15 11 分 (19)（本题满分本题满分 11 分分） 设)(xf是区间, 0上具有连续导数的单调增加函数，且1)0(f，对任意的 , 0t，直线txx , 0，曲线)(xfy 以及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生 成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数)(xf的表达式. 解：解：旋转体的体积 t dxxfV 0 2 )(，侧面积 t dxxfxfS 0 2 )(1)(2， 由题设条件知 tt dxxfxfdxxf 0 2; 0 2 )(1)()( 4 分 上式两端对t求导得：)(1)()( 2 2 tftftf， 即 2 1yy 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 12 页 由分离变量法解得 1 2 )1ln(Ctyy，即 t Ceyy1 2 9 分 将1)0(y代入知1C，故 t eyy1 2 ，)( 2 1 tt eey 于是所求函数为)( 2 1 )( xx eexfy 11分 (20)（本题满分本题满分 11 分分） (I) 证明积分中值定理： 若函数)(xf在闭区间ba,上连续， 则至少存在一点ba,， 使得)( )()(abfdxxf b a ； (II) 若函数)(x具有二阶导数，且满足) 1 ()2(， 3 2 )()2(dxx，则至少存在 一点)3 , 1 (，使得( )0 证：证：(I) 设M与m是连续函数)(xf在ba,上的最大值与最小值，即 Mxfm)(，bax, 由积分性质，有 b a abMdxxfabm)()()(，即Mdxxf ab m b a )( 1 2 分 由连续函数介值定理，至少存在一点ba,，使得 b a dxxf ab f)( 1 )(， 即)()(abfdxxf b a 4 分 (II) 由 (I) 知至少存在一点3 , 2，使)()23)()( 3 2 dxx 6 分 又由)()()2( 3 2 dxx知，32， 对)(x在2 , 1 和, 2上分别应用拉格朗日 中值定理，并注意到) 1 ()2(，)()2(，得 21 , 0 12 ) 1 ()2( )( 11 ，32 , 0 2 )2()( )( 22 9 分 在, 21 上对导函数( )x应用拉格朗日中值定理，有 21 12 21 ()( ) ( )0,( ,)(1,3) 11 分 (21)（本题满分本题满分 11 分分） 求函数 222 zyxu在约束条件 22 yxz和4zyx下的最大值与最小值. 解：解：作拉格朗日函数) 4()(),( 22222 zyxzyxzyxzyxF3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 13 页 令 04 0 02 022 022 22 zyxF zyxF zF yyF xxF z y x 6 分 解方程组得)2 , 1 , 1 (),( 111 zyx，)8 , 2, 2(),( 222 zyx 9 分 故所求的最大值为 72，最小值为 6. 11 分 (22)（本题满分本题满分 12 分分） 【 同数学一（21）题 】 (23)（本题满分本题满分 10 分分） 设 A 为 3 阶矩阵， 12 , 为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 3 满足 323 A， (I) (I) 证明 123 , 线性无关； （）令 123 ,P ，求 1 P AP . 证明证明: (I)(I) 设存在数 321 ,kkk，使得0 332211 kkk 1 用 A 左乘1 的两边，并由 11 A， 22 A，得： 0)( 3323211 kkkk 2 3 分 1 2 得：02 2311 kk 3 因为 21, 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以 21, 线性无关，从而0 31 kk 代入1 得，0 22 k，又由于0 2 ，所以0 2 k，故 123 , 线性无关. 7 分 （）由题设，可得),(),( 321321 AAAAAP 100 110 001 100 110 001 ),( 321 P 由(I)知，P为可逆矩阵，从而 100 110 001 1AP P 10 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 14 页 数数 学（三）学（三） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.) （1） 设函数( )f x在区间 1 , 1上连续， 则 x=0 是函数 0 ( ) ( ) x f t dt g x x 的 （B） （A）跳跃间断点. （B）可去间断点. （C）无穷间断点. （D）振荡间断点. （2） 【 同数学二（2）题 】 （3） 已知 24 ( , ) xy f x ye ， 则 （B） （A）)0 , 0( x f ，)0 , 0( y f 都存在 （B）)0 , 0( x f 不存在，)0 , 0( y f 存在 （C）)0 , 0( x f 存在，)0 , 0( y f 不存在 （D）)0 , 0( x f )0 , 0( y f 都不存在 （4） 【 同数学二（6）题 】 （5） 【 同数学一（5）题 】 （6） 【 同数学二（8）题 】 （7） 【 同数学一（7）题 】 （8） 【 同数学一（8）题 】 二、填空题： （二、填空题： （914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.） (9) 设函数 2 1, ( ) 2 , xxc f x xc x 在(,) 内连续，则c1. (10) 函数 3 4 1 1 xx fx xx ，求积分 22 2 )(dxxf 3ln 2 1 . (11) 设1),( 22 yxyxD，则 D dxdyyx)( 2 4/. (12) 【 同数学一（9）题 】 (13) 设 3 阶矩阵 A 的特征值是 1, 2, 2，E 为 3 阶单位矩阵，则EA 1 4= _3_ . (14) 【 同数学一（14）题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 15 页 三、解答题三、解答题 ( 15 23 小题，共小题，共 94 分分. ) (15)（本题满分本题满分 9 分分） 计算 2 0 1sin limln x x xx . 解：解：原式 2 0 lnsinln lim x xx x = xx xxx x sin2 sincos lim 2 0 4 分 3 0 2 sincos lim x xxx x 2 0 6 sin lim x xx x 7 分 6 1 9 分 (16)（本题满分本题满分 10 分分） 设( , )zz x y是由方程 22 ()xyzxyz 所确定的函数，其中具有二阶导数 且1 ， (I) 求 dz； (II) 记 1 ( , )() zz u x y xyxy ，求 u x . 解法解法 1：(I) 设)(),( 22 zyxzyxzyxF 则2 x Fx，2 y Fy ，1 z F 3 分 由公式 x z Fz x F ， y z F z y F ，得 2 1 zx x ， 2 1 zy y 所以 1 (2)(2) 1 zz dzdxdyxdxydy xy 7 分 (II) 由于 2 ( , ) 1 u x y ， 所以 23 22(21) (1) (1)(1) uzx xx 10 分 解法解法 2：(I) 对等式)( 22 zyxzyx两端求微分,得 22()xdxydydzdxdydz 5 分 解出 dz 得 22 11 xy dzdxdy 7 分 (II) 同解法 1 10 分 (17)（本题满分本题满分 11 分分） 【 同数学二（18）题 】 (18)（本题满分本题满分 10 分分） ( )f x是周期为 2 的连续函数， (I) 证明对任意实数 t，有 2 0 2 )()(dxxfdxxf t t ； (II) 证明 xt t dtdssftfxG 0 2 )()(2)(是周期为 2 的周期函数. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 16 页 证法证法 1：(I) 由积分的性质知对任意的实数 t， 02 2 2 0 2 )()()()( t tt t dxxfdxxfdxxfdxxf 2 分 令2 xs，则有 0 00 2 2 )()()2()( t ttt dxxfdssfdssfdxxf 所以 2 0 02 0 02 )()()()()(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf tt t t 5 分 (II) 由 (I) 知对任意的t有 2 0 2 )()(dssfdssf t t 记adssf 2 0 )(，则axdttfxG x 0 )(2)( 因为对任意的x，axdttfxadttfxGxG xx 0 2 0 )(2)2()(2)()2( adttf x x 2)(2 2 8 分 02)(2 2 0 adttf 所以)(xG是周期为 2 的周期函数. 10 分 证法证法 2：(I) 设 2 )()( t t dxxftF，由于0)()2()( tftftF， 2 分 所以)(tF为常数，从而有)0()(FtF 而 2 0 )()0(dxxfF，所以 2 0 )()(dxxftF，即 2 0 2 )()(dxxfdxxf t t 5 分 (II) 由 (I) 知对任意的t有 2 0 2 )()(dssfdssf t t 记adssf 2 0 )(，则axdttfxG x 0 )(2)(， 2 0 )2()(2)2( x xadttfxG7 分 由于对任意x，( (2)2 (2)2 ( )G xf xaf xa，( ( )2 ( )G xf xa 所以( (2)( )0G xG x ，从而)()2(xGxG是常数， 即有0)0()2()()2(GGxGxG，所以)(xG是周期为 2 的周期函数. 10 分 (19)（本题满分本题满分 10 分分） 设银行存款的年利率为05. 0r，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元实 现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取)910(n万元，并能按此规 律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ 解：解：设 n A为用于第 n 年提取)910(n万元的贴现值，则)910()1 (nrA n n 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 17 页 故 11 )1 ( 910 n n n n r n AA 3 分 111 )1 ( 9200 )1 ( 9 )1 ( 1 10 n n nn nn r n r n r 6 分 设 1 )( n n nxxS，) 1 , 1(x 因为 2 1 ( )()() 1(1) n n xx S xxxx xx ，) 1 , 1(x 9 分 所以420 05. 1 1 1 1 S r S（万元） 故39804209200A（万元） ，即至少应存入 3980 万元. 10 分 (20) ( 本题满分本题满分 12 分分 ) 【 同数学一（21）题 】 (21) ( 本题满分本题满分 10 分分 ) 【 同数学二（23）题 】 (22) ( 本题满分本题满分 11 分分 ) 【 同数学一（22）题 】 (23) ( 本题满分本题满分 11 分分 ) 【 同数学一（23）题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2008 年数学试题参考答案和评分参考 2008 年 第 18 页 数数 学（四）学（四） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.) （1） 设0ab， 则 n nn n ba 1 )(lim （B） （A）a. （B） 1 a. （C）b. （D） 1 b. （2） 【 同数学三（1）题 】 （3）设( )f x是连续的奇函数，( )g x是连续的偶函数，区域 , 10),(xyxxyxD 则以下结论正确的是 （A） （A）( ) ( )0. D f