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第1章数字电路基础,1.1数制1.2码制1.3逻辑代数的基本运算1.4逻辑代数的基本公式、定律和运算规则1.5逻辑函数的建立、表示方法及相互转换1.6逻辑函数的化简,学习要求,下一页,返回,1、掌握二进制、八进制、十进制、十六进制的表示和相互转换。掌握常用的8421BCD码。2、掌握三种基本的逻辑运算（与、或、非）和四种复合逻辑运算（与非、或非、与或非、异或）的输入、输出关系；掌握实现逻这些逻辑运算的门电路符号。3、掌握基本和复合逻辑运算的4种表示方法：逻辑函数表达式、真值表、逻辑图和卡诺图。理解这四种表示方法之间的互相转换。,返回,4、理解逻辑代数的基本公式和基本基本规则5、理解最小项的概念和最小项的性质6、掌握逻辑函数的卡诺图化简法，了解代数化简法。,1.1概述,1.1.1模拟信号与数字信号模拟信号：在时间和数值上都是连续的，在一定范围内可以任意取值的信号。处理模拟信号的电子电路称为模拟电路。数字信号：在时间上和数值上均是离散的信号。处理数字信号的电子电路称为数字电路。数字电路主要研究的是电路输出与输人信号之间的对应逻辑关系，,下一页,返回,1.1.2数字电路的特点,数字电路的特点（1）数字电路的基本工作信号是数字信号。（2）数字电路中，通常采用二进制，用1和0表示两种状态。（3）数字电路中，三极管工作在饱和或截止状态（4）组成数字电路的单元结构简单，便于集成化和系列化生产，工作可靠、精度高。,上一页,下一页,返回,(1)按组成的结构不同可分为：分立元件电路和集成电路两大类。分立元件电路：是指由分立的半导体二极管、三极管和MOS管以及电阻等元件组成的电路。集成电路是一种微型电子器件或部件。采用一定的工艺，把一个电路中所需的晶体管、二极管、电阻、电容和电感等元件及布线互连一起，制作在一小块或几小块半导体晶片或介质基片上，然后封装在一个管壳内，成为具有所需电路功能的微型结构。,上一页,下一页,返回,1.1.3数字电路的分类和应用,(2)集成数字电路按集成度可分为：小规模(SSI),中规模(MSI)、大规模(LSI)和超大规模(VLSI)集成电路(3)按电路所用器件的不同，数字电路又可分双极型和单极型两大类。(4)根据电路逻辑功能的不同，数字电路又可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类。,1.2数制与码制,1.2.1数制数制是计数进位制的简称。数制又称记数法，是人们用一组规定的符号和规则来表示数的方法。采用不同的符号和不同的规则就有不同的表示方法。通常的计数法是进位计数法，即按进位的规则进行计数。日常生活中习惯于用十进制。常用的有：二进制、八进制、十六进制。,下一页,返回,基数：在一种数制中，只能使用一组固定的数字符号来表示数目的大小，其使用数字符号的个数，就称为该数制的基数。其规则是“逢R进一”，则称为R进制的基数。位权:在进位计数制中，把基数的若干次幂称为“位权”，幂的方次随该位数字所在的位置而变化，整数部分从最低位开始依次为0,1,2,3,4.；小数部分从最高位开始依次为-1,-2,-3.。,1.十进制（D）(1)数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9(2)基数为10。计数规律是逢十进一。(3)权值：第i位的权值为10i其位权展开式：（143.75）10=1x102+4x101+3x100+7x10-1+5x10-2,2.二进制（B）,（1）数码：0、1，（2）基数为2，计数规律是逢二进一。（3）权值：第i位的权值为2i其位权展开式为：(10010.01)2=1x24+0 x23+0 x22+1x21+0 x20+0 x2-1+1x2-2,上一页,下一页,返回,3.八进制（O）,（1）数码：0、1、2、3、4、5、6、7（2）基数为8。计数规则是逢八进一。（3）权值：第i位的权值为8i其位权展开式为：(36.7)8=3x81+6x80+7x8-1,上一页,下一页,返回,4.十六进制（H）,（1）数码：09、A、B、C、D、E、F（2）基数为16。计数规则是逢十六进一。（3）权值：第i位的权值为16i其位权展开式：（3F.4)16=3x161+Fx160+4x16-1,上一页,下一页,返回,1.2.2不同数制间的转换,1.非十进制数转换成为十进制数按权展开，各项相加(1001.01)2=1x23+0 x22+0 x21+1x20+0 x2-1+1x2-2=8+1+0.25=(9.25)10(172.01)8=1x82+7x81+2x80+0 x8-1+1x8-2=64+56+2+0.015625=(122.015625)10(4C2)16=4x162+12x161+2x160=(1218)10,上一页,下一页,返回,2.十进制数转换成非十进制数,整数部分：除基数取余法小数部分：乘基数取整法,上一页,下一页,返回,几种常用进制数之间的转换,(1)二-十转换：,按权展开,各项相加,(2)十-二转换：,整数的转换,26,2,13,余数,2,0,6,2,1,3,2,0,2,1,1,0,1,除2取余,0.8125,2,1.6250,2,1.2500,2,0.5000,取整,1,1,0,0.6250,0.2500,乘2取整,小数的转换,若小数在连乘多次后不为0，一般按照精确度要求(如小数点后保留n位)得到n个对应位的系数即可。,2,1.0000,1,把十进制数(143.8125)10转换成为二进制数。,上一页,下一页,返回,即(143.8125)10=（10001111.1101)2,把十进制数(84.6875)10转换成为八进制数,(84.6875)10=(124.54)8,上一页,下一页,返回,把十进制数(286.48)10转换成为十六进制数,即(286.48)10=(11E.7AE)16,上一页,下一页,返回,二-八转换:,6,5,八-二转换:,每位8进制数转换为相应3位二进制数,011,001,.,100,111,每3位二进制数相当一位8进制数,0,0,2,265.172,3.二进制数与八进制数之间的转换,将二进制数(10010011.10101)2转换为八进制数,010010011.101010223.52即(10010011.10101)2=(223.52)8将八进制数(375.48)8转换为二进制数。375.46011111101.100110即(375.46)8=(11111101.10011)2,上一页,下一页,返回,二-十六转换：,每4位二进制数相当一位16进制数,A,1,（6）十六-二转换：,每位16进制数换为相应的4位二进制数,4.二进制数与十六进制数之间的转换,1.2.3码制,码制即编码的方式。将数字、文字或符号等信息编制二进制代码的过程称为“编码”。二一十进制编码(又称为BCD码）:用一个4位二进制代码表示1位十进制数字的编码方法。几种常用的码制（如表1-3）1.有权码：8421BCD码、5421码2.无权码：余3码、格雷码(又称循环码),上一页,下一页,返回,几种常见的BCD代码,十进制数用BCD码表示，例如:(9384)10=(1001001110000100)8421BCD(9384)10=(1100001110110100)5421BCD,上一页,返回,1.3.1逻辑函数的基本运算,三种基本逻辑运算,1.与逻辑：,当决定一事件的所有条件都具备时，结果才会发生。,功能表,灭,灭,灭,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,与逻辑关系,1.3逻辑函数及其表示方法,真值表,逻辑函数式,与门（ANDgate),逻辑符号,与逻辑的表示方法：,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,把变量的各种可能的取值与相应的函数值，全部列出来的表格。,2.或逻辑：,决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，结果就会发生。,或门（ORgate),或逻辑关系,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,0,1,1,1,3.非逻辑：,非就是取反，就是否定。,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,非门（NOTgate),非逻辑关系,1,0,0,1,1.逻辑变量与逻辑函数,在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。如A，B，C。变量的取值：1或0。,逻辑函数：,输入逻辑变量A、B、C的取值确定之后，输出逻辑变量Y的值也被唯一确定，则称Y是A、B、C的逻辑函数。,原变量和反变量：,A称为原变量，称为反变量。,逻辑变量：,1.与非运算,2.或非运算,3.与或非运算,1,1,1,0,00,01,10,11,1,0,0,0,1.3.2逻辑函数的复合运算,Y1、Y2的真值表,4.异或运算,5.同或运算,(异或非),0,1,1,0,00,01,10,11,=AB,1,0,0,1,00,01,10,11,3.逻辑符号对照,曾用符号,美国符号,国标符号,国标符号,曾用符号,美国符号,或：,0+0=0,1+0=1,1+1=1,与：,00=0,01=0,11=1,非：,二、变量和常量的关系(变量：A、B、C),或：,A+0=A,A+1=1,与:,A0=0,A1=A,非：,1.4逻辑代数的基本公式、定理和常用规则,一、常量之间的关系(常量：0和1),1.逻辑代数的基本公式,三、与普通代数相似的运算,交换律,结合律,分配律,四、逻辑代数的一些特殊定理,同一律,A+A=A,AA=A,还原律,2.逻辑代数的常用公式,推论:,将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量,3.逻辑代数的基本规则,1）代入规则：,等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。,例如，已知,(用函数A+C代替A),则,2）反演规则：,不属于单个变量上的反号应保留不变,3）对偶规则,将原函数中所有的“”换成“+”,“+”换成“”;所有的“0”换成“1”,“1”换成“0”所得到的新逻辑函数就是原函数的对偶式。,上一页,下一页,返回,对偶规则主要是用来求函数的对偶式。,1、逻辑表达式,优点：,简洁方便，易记、便于用公式和定理进行运算、变换。,缺点：,逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。,1.5逻辑函数的建立、表示方法及其相互转换,逻辑函数的表示方法,2、真值表,优点：,直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。,3、逻辑图,A,B,Y,C,优点：,最接近实际电路。,缺点：,不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。,1.6逻辑函数的化简,1.6.1化简的意义及最简标准1.化简的意义对逻辑函数进行化简，可以设计出最简洁的逻辑电路。2.逻辑函数表达式的几种常见形式与或表达式与非与非表达式或与表达式或非或非表达式与或非表达式,下一页,返回,1）最简与或式定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式，称为最简与或表达式。,显然，在函数Y的各个与或表达式中，式(1.2.2c)是最简的，因为它符合最简与或表达式的定义。,例如：,2、最简与非与非式定义：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非与非表达式，称为最简与非与非表达式。注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变量。,例1.2.3：写出函数的最简与非与非表达式。,在最简与或表达式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，便可得到函数的最简与非与非表达式。,解：,式（1.2.3）就是函数Y的最简与非与非表达式。,3、最简或与式定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也最少的或与式，称为最简或与表达式。,例1.2.4：写出函数的最简或与表达式。,在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用摩根定理去掉反号，便可得到函数的最简或与表达式。当然，在反函数最简与或表达式的基础上，也可用反演规则，直接写出函数的最简或与式。,解：,式（1.2.4）就是函数Y的最简或与表达式。,4、最简或非或非式定义：非号个数最少，非号下面相加变量个数也最少的或非或非表达式，称为最简或非或非表达式。,例1.2.5：写出函数的最简或非或非表达式。,在最简或与表达式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，所得到的便是函数的最简或非或非表达式。,解：,式（1.2.5）就是函数Y的最简或非或非表达式。,5、最简与或非式定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，称为最简与或非表达式。,例1.2.6：写出函数的最简与或非表达式。,在最简或非或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，便可得到函数的最简与或非表达式。当然，在反函数最简与或式的基础上，直接取反亦可。,解：,式（1.2.6）就是函数Y的最简与或非表达式。,上一页,下一页,返回,与或式,与非与非式,或与非式,与或非式,或与式,或非或非式,从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要得到了函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可以获得其他几种类型的最简式。因此下面要讲解的公式化简法和图形化简法，所说明的都是如何在与或式的基础上，获得最简与或表达式的方法。至于给定函数的表达式不是与或式时，则只需要用公式和定理，便可将其展开、变换成与或式，而且在展开、变换过程中，能化简的理所当然地应顺便化简。,3.逻辑函数表达式的最简标准,最简与或式的标准是:(1)乘积项的个数最少。(2)每一个乘积项中所含变量个数最少。,上一页,下一页,返回,1.6逻辑函数的化简,1.6.2逻辑函数的代数化简法,上一页,下一页,返回,公式化简法，就是在与或表达式的基础上，利用公式、定理和规则，消去表达式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，求出函数的最简与或式。这种方法没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公式、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。,一、并项法运用公式将两个与项合并成一个与项，合并后消去一个变量。,例：,二、吸收法利用公式吸收掉多余的项。,三、消去法利用公式消去乘积项中多余的因子。,四、配项消项法利用公式，加上冗余项，以消去更多乘积项。,五、配项法利用配项,利用配项,实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵活使用所学的公式、定理及规则，综合运用各种方法。下面举例说明。,例1：化简,例2：化简,例3：化简,解：,例4化简解：,逻辑函数的卡诺图法化简也称为图形法化简。卡诺图法是由美国工程师卡诺（Karnaugh）于1953年提出来的。它比代数法化简形象直观，易于掌握，只要按照一定的规则，便可十分方便地将逻辑函数化为最简式。由于卡诺图化简法具有简单、直观、容易掌握等优点，在逻辑设计中得到广泛应用。,卡诺图是由真值表变换而来的一种方格图。卡诺图上的每一个方格代表真值表上的一行，因而代表一个最小项。真值表有多少行，卡诺图就有多少个方格。卡诺图不仅是逻辑函数的描述工具，而且还是逻辑函数化简的重要工具。,1.6.3逻辑函数的卡诺图化简法,1.6逻辑函数的化简,1.6.3逻辑函数的卡诺图化简法1.相关概念(1)最小项包含了所有输入变量的乘积项。(每一个输入变量均以原变量或反变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次)。,上一页,下一页,返回,（2）最小项的性质:每个最小项只有一组使它的值为1变量取值。任意两个不同的最小项之积恒为0。全部最小项之和恒为1。(3)最小项编号。把最小项的取值组合当作二进制数，与这个二进制数等值的十进制数就是该最小项的编号。(4)逻辑函数的最小项表达式。任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式标准与或表达式。,上一页,下一页,返回,2.卡诺图及其画法,二变量的卡诺图(四个最小项),卡诺图：最小项方格图(按循环码排列),A,B,三变量的卡诺图：,八个最小项,m7,四变量的卡诺图：,十六个最小项,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,返回,3.卡诺图的特点：,用几何相邻表示逻辑相邻,(1)几何相邻：,相接紧挨着,相对行或列的两头,相重对折起来位置重合,(2)逻辑相邻：,两个最小项只有一个变量的形式不同,化简方法：,卡诺图的缺点：,函数的变量个数不宜超过6个。,逻辑相邻的最小项可以合并,消去某些因子。,4.卡诺图中最小项合并规律：,(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子,0,4,3,2,1,9,4,6,(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,BD,0,2,8,10,(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,B,0,2,8,10,1,5,13,9,4,6,12,14,2n个相邻最小项合并可以消去n个因子,总结：,3.用卡诺图化简逻辑函数,1.画出逻辑函数卡诺图,（2）在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余位置填0或不填。,例,1,1,1,1,0,0,0,0,(1)根据变量个数画出卡诺图,将函数化为最小项之和的形式。,3.由画圈的结果写出最简与或表达式。,用卡诺图化简逻辑函数的步骤,2.找出可以合并的最小项并画圈。,例,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,例1.2.13,1,1,1,1,化简步骤:,(1)画函数的卡诺图,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,例,1,1,1,1,1,1,1,1,解,应注意的几个问题：,(1)圈越大越好，但圈的个数越少越好。圈内最小项的个数必须为二、四、八等。,(2)最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。,(3)必需把组成函数的全部最小项圈完。,(4)经比较、检查写出最简与或表达式。,例,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,多余的圈,利用图形法化简函数,利用图形法化简函数,例,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,例1.22,返回,例1.23,返回,4.具有无关项逻辑函数的化简,上一页,下一页,返回,例如，十字路口的交通灯规定红灯停，绿灯行，黄灯要注意。若以变量A、B、C分别表示红、黄、绿灯的状态，且以灯亮为1，灯灭为0，用Y表示停车与否，且以停车为1，通行为0，则Y是A、B、C的函数。如果规定不允许有两个以上的灯同时亮，则A、B、C三个变量的取值组合只可能是000、001、010、100，而不应出现011、101、110、111这四种情况。这说明A、B、C之间有着一定的制约关系，因此称这三个变量是一组有约束的变量。,一、约束的概念和约束条件1、约束、约束项、约束条件约束约束是用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约关系的一个重要概念。,约束项不会出现的变量取值所对应的最小项称为约束项。十字路口的交通灯的例子中，变量A、B、C不会出现011、101、110、111四种情况取值所对应的最小项就是。,约束条件由约束项加起来所构成的值为0的逻辑表达式，称为约束条件。十字路口的交通灯的例子中，约束条件就是,2、约束条