习题10答案《数值分析》第二版第10章习题参考答案.pdf

207 习题参考习题参考答案答案 习题一习题一 1 1(1)(1) 0.05=，0.0185 r =，有 2 位有效数字 (2) (2) 0.0005=，0.000184 r =，有 4 位有效数字 (3) (3) 0.000005=，0.000184 r =，有 4 位有效数字 (4)(4) 0.0000005=，0.000184 r =，有 4 位有效数字 2 20.0005=，0.00016 r ；有 4 位有效数字 3 3|d | 1.21 0.0053.65 0.0050.0050.02930.03a + 4 4 * 1 x有 5 位有效数字， * 2 x有 2 位有效数字， * 3 x有 4 位有效数字， * 4 x有 5 位有效 数字 5 5(1(1) ) * 124 ()xxx+ 3 1.05 10= (2) (2) * 123 ()x x x=0.21479 (3)(3) * 2 * 4 () x x 5 0.88654 10= 6 6略。 7 7最小刻度x满足0.002cmx 8 8 *3 ()10000 mmV=， * ()0.02 r V= 9 9设正方形边长为a， *2 ()0.5 10a 1010 * 1 ()1%0.0033 3 r R= 1111 1 |14x=， 2 |9.89949x，|9x = 1212 1 | |1.25|0.02| 5.15|0| 6.42x=+ += 2222 1/2 2 |(1.25)(0.02)( 5.15)(0) 5.2996x=+ += | 5.15| 5.15x = = 1313|10A = ， 1 |9A =， 2 |82.05125A 208 1414|16A = ， 1 |16A =， 2 | |12A= 1515(1) |( )|1f x = ， 1 |( )|8f x=， 2 |( )|f x= (2) |( )|23f x = ， 1 |( )|17f x=， 2 |( )|10.6427f x 1616略。 1 17 7略。 习题习题二二 1 1 1 75x =， 2 46x = ， 3 3x = | 1A =， 1 242623 151614 111 A = 2 2 1 1x =， 2 2x =， 3 3x = (1)(1)(1) 4115 ()183115 1116 BAb = (2)(2)(2) 183115 ()01/37/95/3 07/617/1831/6 BAb = (3)(3)(3) 183115 ()07/617/1831/6 0066/6366/ 21 BAb = 3 3 1 1x =， 2 1x = ， 3 5x = 4 4( (1 1) ) 不能； ( (2)2) 能； 100 0.510 1.511 L = ， 211 01.50.5 005 U = ( (3 3) ) 能； 1000 0100 1210 0101 L = ， 1020 0101 0021 0002 U = 5 5 1 1x =， 2 2x =， 3 2x = 209 6 6 1 0 x =， 2 1x =， 3 0 x =， 4 1x = 7 7 1 2.25x = ， 2 4x =， 3 2x = 8 8(1) 1 0.2273x =， 2 0.4545x =， 3 0.3182x = ， 4 1.0909x = (2) 1 1.0222x =， 2 1.0444x = ， 3 1.1556x =， 4 0.5778x = 9 9 1 cond( )| |39 601AAA = 1 max 222 min () cond( )| |39 206 () T T A A AAA A A = 1010A为正交矩阵， TT A AAAI=， 1T AA = 1111(1)(1) 144 cond( )| |2.0001 (2.0001 10 )4 10AAA = (2) (2) 1 1 T xx+ = (3)(3) | 0.005% | b b =， | 50% | x x = 由此看出，虽然方程组右端项扰动的相对误差仅有 0.005%，然而此小扰动引 起解的相对误差却高达 50%，这是由于“系数矩阵A的条件数比较大，方程 组是病态的” ，从而导致上述结果。 习题三习题三 1 1收敛； 12 1xx=， 3 1x = 2 2(1)(1) 雅可比迭代法与塞德尔迭代法均收敛 ( (2 2) ) 雅可比迭代法格式为 (1)( )( ) 123 (1)( )( ) 213 (1)( )( ) 312 2112 555 11 5 42 1310 5103 kkk kkk kkk xxx xxx xxx + + + = =+ = + 取 (0) 1, 1, 1Tx=,迭代 2 次： (2) ( 4.3800, 4.0500, 2.3250)Tx= 塞德尔迭代法格式为 210 (1)( )( ) 123 (1)(1)( ) 213 (1)(1)(1) 312 2112 555 11 5 42 1310 5103 kkk kkk kkk xxx xxx xxx + + + = =+ = + 取 (0) 1, 1, 1Tx=，迭代 2 次： (2) ( 4.3050, 2.9113, 2.0344)Tx= 3 3雅可比迭代法不收敛；雅可比迭代法迭代格式为 (1)( )( ) 123 (1)( )( ) 213 (1)( )( ) 112 0.40.41 0.4 0.82 0.40.8 3 kkk kkk kkk xxx xxx xxx + + + =+ = + = + 塞德尔迭代法收敛；塞德尔迭代法迭代格式为 (1)( )( ) 123 (1)(1)( ) 213 (1)(1)(1) 112 0.40.41 0.4 0.82 0.40.8 3 kkk kkk kkk xxx xxx xxx + + + =+ = + = + 4 4 4 3 ac 5 5略。 6 6提示：利用迭代格式xBxg=+和 (1)( )kk xBxg + =+证明；利用迭代矩阵的范数 来比较迭代速度。 7 71.03=时迭代 5 次达到精度要求 (5) (0.500 004 3, 0.100 000 1, 0.499 999 9)Tx= 1=时迭代 6 次达到精度要求 (6) (0.500 003 8, 0.100 000 2, 0.499 999 5)Tx= 1.1=时迭代 6 次达到精度要求 (6) (0.500 003 5, 0.999 998 9, 0.500 000 3)Tx= 8 8 (8) ( 4.000 027 , 0.299 998 9, 0.200 000 3)Tx= 9 9(1)(1) (1, 2)Tx = (2) (2) (0 , 1 , 1)Tx = 习题习题四四 1 1 * 0.921x 211 2 2取 0 1.5x =的领域1.3, 1.6来考察： ( (1 1) ) 迭代式 1 2 1 1 k k x x + = +在1.3, 1.6x上整体收敛 ( (2 2) ) 迭代式 2 3 1 1 kk xx + =+在1.3, 1.6x上整体收敛 ( (3 3) ) 迭代式 1 1 1 k k x x + = 在1.3, 1.6x上发散 (4) (4) 6 1.466xx = 3 3迭代式 1 (2) 10 k x k e x + =在0, 0.5x上整体收敛； * 0.091x = 4 4 * 1.83929x = 5 5牛顿法迭代公式为 33 1 22 ()2 ()33 kkk kkk kkk f xxcxc xxx fxxx + + = ，0, 1, 2, k = 6 6 3 0.56714xx = 7 7 * 2 1.879xx= 8 8( (1 1) ) * 1.7320 x ( (2 2) ) * 1.7321x 9 9 * 2.0946x 1010 (4) (4) 1.581 138 830 1.224 744 871 x y = 习题五习题五 1 1 2 2 11 ( )1 22 L xxx=+ 2 2( (1) 1) 1(0.3367) 0.330365L=， 5 1 |(0.3367)| 0.9707 10R (2) (2) 2(0.3367) 0.330374L=， 6 2 |(0.3367)| 0.2031 10R 3 3 4 (1.5)(1.5)1.2109fN= 212 4 4依据插值误差估计式选距离 0.54 较近的点为插值节点， 1(0.54) 0.6202186N= ， 2(0.54) 0.616839N= 5 5( (1 1) ) 拉格朗日插值多项式， 3(1.5) 16.28125L= ( (2)2) 牛顿插值多项式， 3(1.5) 16.28125N= 6 6略。 7 7提示：由插值多项式的唯一性知( )( ) kk NxL x，比较两式便得到所需证明的 结论。 8 8(0.724)1.768761f 9 9 32 3( ) 30.72165.7294.2172.3P xxxx= +； 22 1 |( )|() 242 H Rxxx 1010 22 0110100 2 10 ()( )()()2()() () ( ) () xxf xxxf xxxxxf x p x xx + = 10 0 10 ()() () () xxxx fx xx 1111 3 32 ( )( )(0)(1)(2)1HxNxxxxx=+=+ 1212 以xa=和xb=为插值节点， 插值多项式为 1( ) ( )( )0 xbxa L xf af b abba =+ ； 应用插值余项公式有 1 1 |( )( )| |( )()()| 2! f xL xfxa xb= 2 11 max |( )|max |()()|max |( )| 28 a x ba x ba x b fxa xbbafx （） 1313( (1 1) ) 略； ( (2 2) ) 误差为 2 1 |( )( )| 8 f xL xh当h=0.02 时，满足题目要求。 1414分段 Hermite 插值多项式为 32 32 32 32 1, 2613124 2, 310376036 ( ) 3, 41473168144 4, 518121360400 xxxx xxxx H x xxxx xxxx + + = + + |( )| 0.0625R x 1515三次样条函数为 213 32 32 32 0.73331.4671.2330.5 1, 0 ( )1.21.4671.2330.5 0, 1 1.0675.3338.0331.7671, 2 xxxx S xxxxx xxxx + = + + (1.5)(1.5)1.8833fS 1616(1) (1) 32 32 32 32 1.87832.42271.85910.1573,0.25, 0.30 0.80191.45381.56850.1863,0.30, 0.39 ( ) 0.62251.24401.48660.1970,0.39, 0.45 0.31940.83481.30250.2246,0.45, 0.53 xxxx xxxx S x xxxx xxxx + + = + + (2)(2) 32 32 32 32 0.25, 0.306.26974.70230.20590.3555, 0.30, 0.391.88762.63931.99660.1353, ( ) 0.39, 0.450.46890.11780.92130.2751, 0.45, 0.52.14673.41322.51030.0367, xxxx xxxx S x xxxx xxxx + + = + + 3 1717( (1 1) ) 分段线性插值函数为 0.525.15, 6 1.220.96, 7 ( ) 0.426.57, 8 0.922.58, 9 21.69, 10 xx xx L xxx xx xx = ( (2 2) ) 三次样条插值多项式为 32 32 32 32 32 5, 60.25413.81119.35.388 6, 70.570311.0369.73172.7 ( ) 7, 80.527312.0291.61203.8 8, 90.23886.36355.46188.4 0.027750.83259.2985.874 xxxx xxxx S xxxxx xxxx xxx + + =+ + + 9, 10x ( (3 3) ) (5.5)22.35L= ，(8.3)15.03L= (5.5)27.7547S，(8.3)29.9022S 习题习题六六 1 1拟合函数为 430309 714 yt=+，2008 年利润为 238 万元。 2 271.1 87.6yx= 3 3 2 583 357 yx= 4 4 2 2.280 1.935yx=+ 214 5 5 2 1 4.627010.6576 2 stt=+ 6 6 0.07460.1716 t y t = + 7 7 0.456 435 84.852 814e x y = 8 8 39 ( ) 714 s xx=+ 9 9 2 39138118 ( ) 777 s xxx=+ 1010用归纳法。 习题习题七七 1梯形公式： 2 2 0 4-sind2.93115x x 辛普森公式： 2 2 0 4-sind1.46683x x 2梯形公式： 1 2 0 1 d0.7500 1 x x + ；截断误差：|( )| 0.0417R f 辛普森公式： 1 2 0 1 d0.7833 1 x x + ；截断误差：|( )| 0.0083R f 牛顿科茨求积公式(n=4)： 1 2 0 1 d0.7855 1 x x + 3(1) 复化梯形公式： 1 2 0 d0.1114 4 x x x + 复化辛普森公式： 1 2 0 d0.1116 4 x x x + (2) 复化梯形公式： 9 1 d17.2277x x 复化辛普森公式： 9 1 d17.3222x x (3) 复化梯形公式： 2 2 0 sin 3 d0.7854x x 复化辛普森公式： 2 2 0 sin 3 d0.7854x x 4(1) 将区间 1 , 0分为 213 等分时可以满足误差要求； (2) 将区间 1 , 0分为 8 等分时可以满足误差要求。 5几何意义为：( )0fx，故( )f x为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。 6略。 7略。 215 8(1) 3 h ac=， 4 3 h b =； 4 ( )d()(0)( ) 333 h h hhh f xxfhff h + 具有三次代数 精确度（该求积公式为辛普森求积公式） ； (2) 1 12 =； 2 0 ( )d (0)( )(0)( ) 212 h hh f xxff hff h+ 具有三次代数精确 度； (3) 0.6899,0.1266ab= 或0.2899,0.5266ab= = 1 1 1 ( )d ( 1)2 ( )3 ( ) 3 f xxff af b + 具有二次代数精确度。 9 9(1) 10.207592I (2) 1.098613I 1010 2n = ， 10.9484I ； 3n = ， 10.95014I 1111 2 0 d0.7815096 1 x x e x e + + 1212 2 6d 3.32335 x exx + 1313高斯-勒让德求积公式： 2 2 0 cos d0.467402xx x 牛顿-科茨公式： 2 2 0 cos d0.467565xx x 积分准确值为： 2 2 0 cos d0.467401xx x 比较结果可知，高斯-勒让德求积公式更准确。 习题习题八八 1 1 1 (0.1)0.0000yy=， 2 (0.2)0.0010yy=， 3 (0.3)0.0050yy= 2 2 1 0.8000y =， 2 0.6144y =， 3 0.4613y = 3 3( (1 1) ) 1 (1.2)2.0333yy=, 2 (1.4)2.0944yy=, 3 (1.6)2.1787yy= (2)(2) 1 (1.2)2.0182yy=, 2 (1.4)2.0694yy=, 3 (1.6)2.1477yy= 4 4略。 5 5欧拉法： 1 (0.02)0.0000yy=， 2 (0.04)0.004yy=， 3 (0.06)0.0012yy=， 216 4 (0.08)0.0024yy=， 5 (0.1)0.0041yy= 改进的欧拉法： 1 (0.02)0.0002yy=， 2 (0.04)0.0008yy=， 3 (0.06)0.0018yy=， 4 (0.08)0.0033yy=， 5 (0.1)0.0052yy= 6 6 1 2.28000y =， 2 2.44240y =， 3 2.53659y =， 4 2.59122y =， 5 2.62291y = 7 7(1.2)0.71549y，(1.4)0.52611y 8 8(0.4)0.3276y；精确解0.3297y = 9 9利用四阶经典龙格-库塔方法，对于问题（1）( , )f x yxy=+；对于问题（2） 3 ( , ) 1 y f x y x = + ；取0.2h =， 0 (0)1yy=，分别计算两问题的近似解见下表 n x （1）的解 n y （2）的解 n y 0.2 1.242 800 000 1.727 548 209 0.4 1.583 635 920 2.742 951 299 0.6 2.044 212 913 4.094 181 355 0.8 2.651 041 652 5.829 210 728 1.0 3.436 502 273 7.996 012 143 1010 9 4 a =，0b =， 3 4 c = 1111( (1 1) ) 412 , 333 abc= = (2) (2) 31 , 22 ab= (3)(3) 141 1, 333 abcd= 1212当9b =时， 5 3 () n TO h + =，方法是四阶的。 1313 i x 数值解 1, j y 精确解 1( )i y x 数值解 2, j y 精确解 2( )i y x 0.0 1.000000 1.000000 0.000000 0.0000