对坐标的曲线积分习题.pdf

（以下各题解析仅供参考，大家还可想想其他方法.） 1、计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分 （1）d L xy x ，其中 L 为圆周 222 ()(0)xayaa及x轴所围成的区域在第一象限 内的整个边界（取逆时针方向） ； 答案： 3 1 2 a 解析： 方法一方法一 本题考查课本第 131 页知识点 本题中的有向有向曲线段 L（图 1）由逆时针方向弧段 222 1:( )(0)Lxayay和x轴 上直线段 2: 0 ( :02 )Lyxa两个部分构成. 分别求出两条积分弧段上的曲线积分，再 求和. 先看 222 1:( )(0)Lxayay，其方程可化为 参数方程 cos sin xaat yat ，由于 L 的方向取作逆时针方向， 可知起点起点(2 ,0)a对应的0t ，终终点点(0,0)对应的t. 本题只要求对坐标x的曲线积分，根据上述知识点中的计算公式，有 1 d L x y x 0 sin() ()d(coscos )aataatat 2 0 (1 cos ) sin(sin )dattatt 32 0 (1 cos ) sindatt t 322 00 (sindsincos d )at ttt t 图1 注意: 对坐标的曲线积分， 其积分弧段是“有向”的， 化为定积分计算时， 上下限要与积分弧段方向一致. 利用倍角公式降次 凑微分 32 00 1 cos2 dsind(sin ) 2 t attt 3 3 0 00 11sin (dcos2 d) 223 t att t 3 0 11 cos2 d()0 22 1 2 2 att 333 0 1 (sin2)(0) 2422 ataa . 再看x轴上直线段 2: 0 ( :02 )Lyxa，可化为参数方程( :02 ) 0 xx xa y . 根据对坐标的曲线积分计算公式，有 2 d L x y x 2 0 00d a xx . 综上所述，所求积分d L xy x 12 33 dd0 22 LL x y xx y xaa . 方方法二法二 利用格林公式利用格林公式 本题只要求对坐标x的曲线积分d L xy x ，我们可以记( , )P x yxy，( , ) 0Q x y ， 求得 P x y ，0 Q x ，这里 PQ yx . 本题中的 2 ( , )|02 , 02Dx yxayxx，如图 1 (1) 所示，化为极坐标 ( , )|0, 02 cos 2 Da （方程 22 2xyax可化为 2 2cosa） ， 容易验证本题满足格林公式的条件，根据格林公式来计算积分值（本题中是把曲线积分化为 二重积分计算） d0d L xy xy ()d D QP xy (0)d D x 2 cos 2 00 d(cos )d a 凑微分 意味着x不受约束， 在其定义域内自由取值. 图1 (1) 3 2 cos 2 0 0 cos()d 3 a 3 4 2 0 8 cosd 3 a 3 3 83 1 34 2 22 a a . （大家可以对比方法一和方法二的运算量，选取简便的方法或自己熟悉的方法计算.） （2） 2 dddxxz yy z ，其中 为曲线x，cosy，sinz上对应从 0 到 的一段弧； 答案： 3 1 3 解析： 本题中的积分弧段 （图 2）是一条有向有向空间 曲线，根据已知条件中 的参数方程及指定的方向，可 得 2 dddyy zxxz 2 000 dd()cossinsd(oinc)s 2 000 d()sincsiodnc s dos 222 00 d(sincos)d 3 0 0 1d 3 3 3 . （本题中的积分弧段是空间曲线， 而格林公式是讨论平面上的情况， 因此不适用格林公式.） 图2 对坐标 x 的 曲线积分 对坐标y的 曲线积分 实际上是三个积分写在了一起 对坐标 z 的 曲线积分 为了计算简便， 可以根据积分的性质， 把这两个积分合并在一起. 2 0 133 1 () 24 2 2 cosd 134 2 1 () 25 3 n nn n nn x x nn n nn 为偶数 为奇数 （3）(2)dd L yxx y ，其中 L 为摆线 sin 1 cos xtt yt 对应 1 0t 到 2 2t的一段弧； 答案： 2 解析： 本题中的积分弧段 L（图 3）是一条有向有向平面曲线， 根据已知条件中 L 的参数方程及指定的方向，可得 (2)dd L xyxy 22 00 si2()d()1 cos1 cos()d()nsintttttt 22 00 1 ccoss(1) ()dossin )din(ttttttt 22 22 00 (1 cos)d(sinsin)dtttttt 2222 22 0000 1dcosdsin dsindtt ttt tt t 222 22 000 1d(cossin)dsin dtttttt t 222 000 1d1dd( cos )tttt 2 2 0 0 ( cos )( cos )dtttt 2 2 0 0 ( cos )cos dtttt 2 0 (21 0)sin202t . （本题中的积分弧段是摆线，用参数方程表示比较简便，要转化成直角坐标情形比较麻烦， 所以，不方便利用格林公式转化成二重积分计算.） （4） 22 (2)d(2)d L xxyxyxyy ，其中 L 为抛物线 2 yx上从点( 1,1)A 到点(1,1)B 的一段弧； 答案： 14 15 解析： 方法一方法一 本题中的积分弧段 L（图 4）是一条有向有向平面曲线， 根据已知条件中 L 的方程及指定的方向（: 11x ） ，可得 为了计算简便， 可以根据积分的性质， 把这两个积分合并在一起. 分部积分法 “反、对、幂、指、三” 图3 图4 22 (2)d(2)d L yyyyxxxx 11 22 1 2 1 222 (2)d()2)d()xxxxxxxx 11 2343 11 (2)d(2) (2 )dxxxxxxx 1111 2354 1111 d2d2d4dxxxxxxxx 35 11 11 4 35 xx 2214 4 3515 . 方方法二法二 利用格林公式利用格林公式 本题中的积分弧段 L 并不是封闭的，所以 ， 不能直接用格林公式计算，要通过做辅助线， 围出一个闭区域，再利用格林公式计算 . 做辅助线 1: 1 ( :11)Lyx，与 2 :( : 11)L yxx 共同围出了闭区域 2 ( , )| 11,1Dx yxxy ，如图 4（1）所示，L 和 L1 是 D 的正向边界（观察者 沿边界走的时候，D 位于其左手边）. 本题中 2 ( , )2P x yxxy， 2 ( , )2Q x yyxy，可求得2 P x y ，2 Q y x ，这 里 PQ yx . 容易验证在闭区域 D 满足格林公式的条件，根据格林公式，有 1 2222 (2)d(2)d(2)d(2)d LL xxyxyxyyxxyxyxyy ()d( 22 )d DD QP yx xy ，也即 1 2222 (2)d(2)d( 22 )d(2)d(2)d LL D xxyxyxyyyxxxyxyxyy 2 111 22 11 2d()d(21)d(121)d(1) x xxyyxxxx 22 2 1 112 1 1 1 2()d(2 )d0 2 xx y xyxxxx 奇函数在对称区间 的定积分为 0 图4 (1) 奇函数在对称区间 的定积分为 0 43 1 31 1 1 1 2()d0 223 xx x xx 5 11 11 22214 0002 535315 x x . （5）d L x y ，其中 L 为指数曲线e x y 上从点(0,1)A到点(ln2,2)B的一段弧； 答案： 2ln2-1 解析： 方方法一法一 本题只要求对坐标 y 的曲线积分，本题中的积分 弧段 L（图 5）是一条有向有向平面曲线，根据已知条件中 L 的 方程及指定的方向（:0ln2x） ，可得 d L x y ln2 0 d()e x x ln2 ln2 0 0 (e )e d xx xx ln2 0 (ln2 20)e x 2ln2 (2 1)2ln2 1. 方方法二法二 利用格林公式利用格林公式 本题只要求对坐标y的曲线积分d L x y ，我们可以记( , )0P x y ，( , )Q x yx，求得 0 P y ，1 Q x ，这里 PQ yx . 本题中的积分弧段 L 并不是封闭的， 所以 ，不能直接用格林公式计算，要 做辅助线，围出一个闭区域，如图 5（1） 所示，再利用格林公式计算 . 顺着 L 的方向做辅助线 1: ln2 ( :20)Lxy， 2: 0 ( :ln20)Lyx， 3: 0 ( :01)Lxy，它们与 L 共同围出了闭区域 图5 分部积分法 “反、对、幂、指、三” 图5 (1) 奇函数在对称区间 的定积分为 0 ( , )|0ln2, 0e x Dx yxy，但是，L 和 L1、L2、L3并不并不是是 D 的正向边界，而是 反向的. 根据格林公式，有 123 (0dd )(0dd )(0dd )(0dd ) LLLL xx yxx yxx yxx y ()d(1 0)d DD QP xy ，也即 123 d1d(ddd ) LLLL D x yx yx yx y ， （请大家自己试着完成后续计算，再对比两种方法的运算量. 从本题可以看出，格林公式并 不是“万能”的，有些情况下，用格林公式并不能简化计算. ） （6）d L x y ，其中 L 为由两坐标轴及直线1 23 xy 所围成的三角形区域整个边界并取逆 时针方向； 答案： 3 解析： 方方法一法一 本题只要求对坐标 y 的曲线积分，本题中的积分 弧段 L（图 6）由三条有向有向直线段构成，要分别求出三条 线段上的曲线积分再求和. 先看 1: 1 ( :20) 23 xy Lx，即 1 ( :203 (1): 2 x Lxy ，有 1 d L x y 0 2 3 3 2 d()x x 0 2 3 ()d 2 xx 2 0 3 ()d 2 xx 2 0 3 d 2 x x 2 2 0 3 () 2 2 x 3 (40)3 4 . 再看 2 0 :( :30) x Ly yy ，有 2 d L x y 0 3 0d0y . 最后看 3: ( :02) 0 xx Lx y ，有 3 d L x y 2 0 d00 x . 综上所述，d L x y 123 ddd3003 LLL x yx yx y . （说明：从本题可以看出，在坐标轴上求曲线积分比在其他积分弧段上求曲线积分简便.） 图6 方方法二法二 利用格林公式利用格林公式 本题只要求对坐标y的曲线积分d L x y ，我们可以记( , )0P x y ，( , )Q x yx，求 得0 P y ，1 Q x ，这里 PQ yx . 本题中的积分弧段 L 是封闭的，围出了闭区域 3 ( , )|02, 03 2 x Dx yxy ，如图 6（1） 所示，L 是 D 的正向边界，容易验证在闭区域 D 满足格林公式的条件，根据格林公式，有 0dd L xx y 1 ()d(1 0)d2 33 2 DD QP xy . （从本题来看，用格林公式更简便.） （7） 2 (2)d L xxyy ， 其中 L 为上半椭圆 22 22 1 (0) xy y ab 并取逆时针方向， 这里a， b为常数且0a ，0b ； 答案： 2 4 3 ab 解析： 方方法一法一 本题只要求对坐标 y 的曲线积分，本题中的有向有向 弧段 L 如图 7 所示. 先把上半椭圆 22 22 1 (0) xy y ab 方程化为参数方程 cos sin xat ybt ，L 的方向取作逆时 针方向，将起点起点( ,0)a代入参数方程可得对应的0t ，将终终点点(,0)a代入参数方程可得对 应的t. 因此， 2 (2)d L yxxy 2 0 ()2 ()sinsi()d(coscos)natatbtbt 22 0 (2) ()dcoscossincosatatbtbtt 2322 0 (cos2cossin )da btabttt 2322 00 cosd2cossin da bt tabtt t 图7 注意： 我们知道 “ 2 00 sind2sind nn x xx x ” ， 但是， “ 2 00 cosd2cosd() nn x xx x n 为奇数时” ， （证明过程见本文档最后“附录”.） 所以，这里 不能不能 利用以下公式计算 “ 2 0 133 1 () 24 2 2 cosd. 134 2 1 () 25 3 n nn n nn x x nn n nn 为偶数 为奇数 ” 图6 (1) 2222 00 coscos d2cossin da btt tabtt t 2222 00 (1 sin)d(sin )2cosd(cos )a bttabtt 3 2222 0 00 cos 1d(sin )sind(sin )2 3 t a bta bttab 3 222 00 sin( 1 1) (sin)()2 33 t a bta bab 222( 2) 002 3 a ba bab 2 4 0+ 3 ab. 方方法二法二 利用格林公式利用格林公式 本题中的积分弧段 L 并不是封闭的，所以 ， 不能直接用格林公式计算，要通过做辅助线， 围出一个闭区域，再利用格林公式计算 . 做辅助线 1: 0 ( :)Lyxaa ，与 22 22 :1 (0,:) xy Lyx aa ab 共同围 出了闭区域 2 2 ( , )|, 01 x Dx yaxayb a ，如图 7（1）所示，L 和 L1 是 D 的正向边界（观察者沿边界走的时候，D 位于其左手边）. 本题只要求对坐标y的曲线积分 2 (2)d L xxyy ，我们可以记( , )0P x y ， 2 ( , )2Q x yxxy，求得0 P y ，22 Q xy x ，这里 PQ yx . 容易验证在闭区域 D 满足格林公式的条件，根据格林公式，有 1 22 0d(2)d0d(2)d LL xxxyyxxxyy ()d(220)d DD QP xy xy ，也即 1 22 (2)d2()d(2)d LL D xxyyxyxxyy 2 2 1 2 0 2(0dd )(20)d(0) x aba a aa xyyxx 凑微分 图7 (1) 闭区域D是关于y轴左右对 称的，因此，d0 D x . 2 2 2 1 0 2()d0 2 x b a a a y x 22 2 2 2()d 2 a a b x b a x 2 22 2 dd aa aa b bxxx a 2、计算d()d L xy xyxy ，其中 L 为： （1）抛物线 2 xy上从点(0,0)O到点(1,1)A的一段弧； （2）从点(0,0)O到点(1,1)A的直线段； （3）先沿x轴从点(0,0)O到点(1,0)B，再沿平行于y轴的直线到点(1,1)A的折线. 答案： （1） 17 30 （2） 1 3 （3） 1 2 解析： （1）本题中的有向有向弧段 2 :( :01)L xyy 如图 8 所示，此时，d()d L yyxxyx 11 22 0 2 0 ()d()()dyyyyyy 11 0 2 0 2 2() ()d()dyyyyyyy 111 42 000 2dddyyy yyy 523 111 000 2 523 yyy 21117 52330 . （2）本题中的有向有向弧段:( :01)L xy y 如图 9 所示，此时，d()d L yyxxyx 11 00 ()d()dyyyyyy 11 2 00 d0dyyy 3 1 0 1 33 y . 图8 图9 2322 22 2 24 22 333 a a bxabab baab a . 先看:( :01) 0 OB xx Lx y ，此时， d()d OB L xxxyyy 11 00 ()d()0d000 xxx . 再看 1 :( :01) BA x Ly yy ，此时， d()d L yyxxyx 11 00 ()d( )()111 dyyy 11 00 0d1dy yy 2 11 00 11 1 222 y y . 综上所述， 11 d()d0() 22 L xy xyxy . 说明：上述三个小题中，被积函数都是相同的，起点和终点也是相同的，但是积分弧段 不同，在不同积分弧段上求出的曲线积分也不同. 从下一节的内容中，我们将会看到，被积函数、起点和终点都相同，但是积分弧段不同 时，只要满足特定的条件，在不同积分弧段上求出的曲线积分也会相同. 3、单位质点在力Fyix j的作用下，由原点(0,0)O沿抛物线 2 yx移动到点(1,1)A， 求变力F所作的功. 答案： 1 解析： 本题考查以下知识点 图10 （3）本题中的有向有向曲线 L（见图 10）由:( :01) 0 OB xx Lx y 和 1 :( :01) BA x Ly yy 两个部分构成. 先分别求出两条积分弧段上的曲线积分，再求和. 单位质点在力Fy ix j的作用下，由原点(0,0)O 沿抛物线 2 yx移动到点(1,1)A，此变力F所作的功 dd L Wy x x y . 本题中的有向有向弧段 2 :( :01)L yxx 如图 11 所示，此时，dd L x xyy 1111 0000 222 dd()d)2(dxxxxxxxxx 1 23 1 0 0 3d1xxx . 图11 4、设力F的方向沿纵轴负方向，其大小等于作用点的横坐标的平方，求该力作用下质点沿 抛物线 2 1xy 从点(1,0)A到点(0,1)B所作的功. 答案： 8 15 解析： 根据已知条件“力F的方向沿纵轴负方向， 其大小等于作用点的横坐标的平方” ，可知 2 0Fixj. 单位质点在力F的作用下， 沿抛物线 2 1xy 从点(1,0)A到点(0,1)B所作的功 2 0dd L Wxxy . 本题中的有向有向弧段 2 :1( :01)L xyy 如图 12 所示. 此时， 2 0dd L xxy 2 1 0 2 (1) dyy 1 24 0 (1 2)dyyy 111 24 000 1d2ddyyyyy 35 111 000 2 35 yy y 218 1 3515 . 图12 附录附录 证明： （1） 2 00 sind2sind nn x xx x ； （2） 2 00 cosd2cosd nn x xx x . 证： （1）根据积分区间的可加性，有 2 00 2 sindsindsind nnn x xx xx x ， 要证明“ 2 00 sind2sind nn x xx x ” ，只需证明“ 2 0 2 sindsind nn x xx x ”. 下面就来证明 2 0 2 sindsind nn x xx x 左边 2 sind n x x 2 0 2 sin ()d() 22 n x t tt 令 2 0 cosd n t t ； 右边 2 0 sind n x x 0