25532012第五届二阶段优秀论文2553

第五届数学中国数学建模网络挑战赛 地址：内蒙古数学学会网址： 电话编：010021Email：2012 第五届第五届“认证杯认证杯”数学中国数学中国 数学建模网络挑战赛数学建模网络挑战赛 承承诺诺书书 我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中 国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。 我们的参赛队号为：2553 参赛队员(签名) ： 队员 1： 程莉 队员 2： 王瀚 队员 3： 傅梅份 参赛队教练员 (签名)： 参赛队伍组别：本科组 比赛阶段：第二阶段 第五届数学中国数学建模网络挑战赛 地址：内蒙古数学学会网址： 电话编：010021Email：2012 第五届第五届“认证杯认证杯”数学中国数学中国 数学建模网络挑战赛数学建模网络挑战赛 编编 号号 专专 用用 页页 参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）： 2553 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 第五届数学中国数学建模网络挑战赛 地址：内蒙古数学学会网址： 电话编：010021Email：2012 2012201220122012 年第五届年第五届“认证杯认证杯”数学中国数学中国 数学建模网络挑战赛数学建模网络挑战赛 题目基于博弈论的边际效用投资组合模型基于博弈论的边际效用投资组合模型 关 键 词边际效用 推广效用 网络用户层次分析 博弈论 摘要： 本文基于问题情境和第一阶段结果，针对了企业在不同时间段，雇佣不同类型推广 者的组合投资问题，分析不同的推广能力，构建了基于边际效用的投资组合模型。 针对问题一，首先对网络用户进行了 SEUCLID 聚类分析，将用户分为五层，描述每 层用户的特征。 将分层结果引入第一阶段模型， 分析不同时刻新增用户的层次归属问题， 给出不同时间范围的粉丝基数，得到了各类型节点密度函数，继而建立了总效用模型。 总效用模型显示了不同时刻不同推广者的总传播效应（直接和间接传播效应）随时间的 变化趋势。此后，本文分析了不同推广者的成本模型，结合总效益模型得到边际效用模 型。边际效用函数显示了不同时刻单位资金投资到不同的推广者所能得到的不同推广效 果。从而定量的研究了专业者类别，投资时刻，投资持续时间对投资决策的影响。 基于边际投资效用模型，求出了投资者投资组合的各参数（投资时刻，投资对象， 投资持续时间）的取值范围，并建立了动态规划模型，求解得到达到最优投资效果的方 案为：x=7,y=4,z=4,a=43,b=3，cost=72300，F=1.1474*108，含义：x,专业推广者第 1 天推广能力的份数；Z，专业推广者第 3 天推广能力的份数；a，兼职推广者第一天推广 能力的批数，每批 20 人；b，兼职推广者第一天推广能力的批数，每批 20 人；cost， 成本；F,总推广效用。 本文给出了该投资方案的投资组合集合。此外考虑到实际竞争环境，最优方案可能 有多种，建立了竞争双方的合作与非合作模型，基于纳什均衡给出了合作方案；对于不 合作的情况，基于动态规划模型，得到了企业争取到不同人数的专业推广者的最优组合 方案。 对于问题二，基于用户分层研究，考虑不同类型的用户对于软件添加效果的影响， 给出基于用户分层的粉丝增加数目，即软件的新增推广能力。将此推广能力当做是对原 始推广者推广能力的增强，带入问题一的边际效用模型。将软件的推广者看做是新增的 推广者类型，基于新边际效用模型，求得资金在不同时间内对不同类型推广能力份数的 购买问题，得到软件对投资方案有影响。继而设立不同参数建立动态规划模型，求解出 最 大 投 资 效 果 ， 再 排 列 组 合 得 到 其 对 应 的 投 资 组 合 集 。 最 大 投 资 效 果 ， x=6,y=4,z=2,a=80,b=59，cost=188950，F= 8 10*2.1474 参赛队号#2553 所选题目C 参赛密码 （由组委会填写）（由组委会填写）（由组委会填写）（由组委会填写） 第五届数学中国数学建模网络挑战赛 地址：内蒙古数学学会网址： 电话编：010021Email：2012 Abstract This paper based on the problem situation and the results of the first phase, for a promoters of enterprises in different time periods, employment of different types of promoters, analysis of different promotional ability to build a portfolio model based on marginal utility. Question one, first of all network users the SEUCLID cluster analysis, the user is divided into five levels, to describe the characteristics of each layer users. Results the introduction of hierarchical model of the first phase, level the question of attribution analysis at different times to new users, given the fan base of the different time frame to get the density function of each type of node, then the total utility model. The total utility model shows the different times to promote the total propagation effects (direct and indirect effects of propagation) trends over time. Thereafter, the paper analyzes the cost model of the different promoters, combined with the total benefits of the model to the marginal utility model. The marginal utility function shows a different time unit capital investment and the effects of different promoters can get. Quantitative study of the categories of professionals, the time of investment, investment duration of the impact on investment decisions. Utility model based on the marginal investment, find the parameters of the investors portfolio (investment in time, invest, investment duration) range, and the establishment of a dynamic programming model program for solving the optimal investment results: x = 7, y = 4, z = 4, a = 43, b = 3, F = 8 10*2.1474, meaning: the number of copies of one day to promote the ability of the x, professional promoters;y,professional promoter of the first two days to promote the ability of number of copies; Z, the number of copies of three days to promote the ability of the professional promoters; a, part-time promoter of the first day of the promotion of capacity batches, each batch of 20 persons; b, the first day of the part-time promoter to promote the ability of the number of batches, each batch of 20; cost, the cost;F,the total promotion utility. In this paper, the collection of the portfolio of the investment program. In addition, taking into account the actual competitive environment, the optimal solution may be a variety of established competition cooperation and non-cooperative model, the cooperation program based on the Nash equilibrium; uncooperative, based on dynamic programming model for enterprise to secure the optimal combinations of different number of professional promoter. For question two, stratified based on user research, consider the different types of users for the software to add effects, given the increase in the number of user-stratification fans, the new generalization ability of the software. This generalization ability as enhance the generalization ability of the original promoters, into the question of the marginal utility model. The promotion of the software as a new type of promotion, the new marginal utility-based model, to obtain funds at different times to promote the ability of the different types of shares to buy, get the software to affect the investment program. Different parameters should then be established to create a dynamic programming model for solving the maximum investment results, the permutations and combinations to its corresponding set of portfolio. Key words: Marginal utility, Promote effects, Level analysis of network users ,Game Theory 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 1 目录 一、一、一、一、 问题重述问题重述问题重述问题重述.1 二、二、二、二、 符号说明符号说明符号说明符号说明.2 三、问题假设三、问题假设三、问题假设三、问题假设.3 四、问题分析四、问题分析四、问题分析四、问题分析.3 4.1 网络用户层次分析.3 4.1.1 网络用户正态分布分析. 3 4.1.24.1.24.1.24.1.2 网络用户网络用户 SEUCLID 聚类分析聚类分析.4 4.1.34.1.3 网络用户层次分析网络用户层次分析.7 4.2 已知条件分析.7 4.2.1 消息推广供给方基本信息：.7 4.2.2 消息推广需求方信息. 8 4.2.3 问题目标. 8 五、问题一的模型建立与求解五、问题一的模型建立与求解五、问题一的模型建立与求解五、问题一的模型建立与求解.8 5.1 基础粉丝引发的间接传播效应模型.8 5.1.1 某时刻新增粉丝中各类用户密度分析.8 5.1.2 间接推广效应模型. 9 5.2 模型求解. 11 5.2.1 总效益模型.11 5.2.2 成本模型与边际效用模型.15 5.2.3 基于边际效用的决策模型.18 5.2.3.1 企业目标分解. 19 5.2.3.25.2.3.25.2.3.25.2.3.2目标求解目标求解. 19 5.2.4 动态规划模型. 19 5.2.4.1 对应的推广能力购买方案为：.20 5.2.4.2 对应的推广能力购买方案解读.20 5.2.4 合作与非合作博弈模型.20 5.2.4.15.2.4.1 个体最大利益化下的博弈投资模型个体最大利益化下的博弈投资模型. 21 6.2.4.26.2.4.2 纳什均衡下的博弈投资模型纳什均衡下的博弈投资模型. 22 六、问题二的模型建立与求解六、问题二的模型建立与求解六、问题二的模型建立与求解六、问题二的模型建立与求解.24 6.16.1 软件粉丝添加成功率求解软件粉丝添加成功率求解.24 6.26.2 软件影响效应模型软件影响效应模型.24 6.3 企业目标分解企业目标分解.26 6.46.4 目标求解目标求解.27 6.4.16.4.1 动态规划模型动态规划模型.27 七、模型的综合评价七、模型的综合评价七、模型的综合评价七、模型的综合评价. 28 7.1 模型优点. 28 7.2 模型不足. 28 八、模型的改进方案八、模型的改进方案八、模型的改进方案八、模型的改进方案. 28 九、参考文献九、参考文献九、参考文献九、参考文献.29 十、附录十、附录十、附录十、附录.29 附录二：问题一、问题二规划方案求解代码。附录二：问题一、问题二规划方案求解代码。.31 一、一、一、一、 问题重述问题重述问题重述问题重述 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 2 随着网络的不断开放和技术的不断先进，数字化已成为当今潮流，它让传播渠道、 受众的注意力、品牌营销方式甚至一切都碎片化了，观众不在只关注电视，他们利用社 交网络可以获得更加丰富的比赛信息和网友的评论。这也为更多的企业提供了在奥运期 间宣传企业产品的机会。一个社交网络的专业推广者平均每天可以新增 500 个粉丝， 这些粉丝会把推广者发布的和奥运会相关的所有信息都分享给自己的粉丝们，普通网络 用户平均每天可以新增 20 个粉丝。 专业推广者是一种稀缺资源，假设能够找到的专业推广者仅有 10人，他们是否愿 意为公司工作，取决于公司开出的薪水。由于工资是按日结算，他们随时可能转投工资 更高的其他公司。兼职推广者可以大量雇到，但他们必须由专业推广者培训后才能上岗 工作，一个专业推广者一天最多培训20 人，培训将占用专业推广者的工作时间。甲公 司现有网络推广资金 20 万元，想利用网络推广扩大产品的知名度。该公司的一个竞争 对手乙公司也同样计划利用奥运期间进行商品的网络推广，他们同样预算了 20 万元的 推广资金，乙公司目前产品的市场占有率是甲公司的 1.5 倍。此问题需要建立合理的 数学模型，帮助甲公司制定一份奥运期间的网络推广的资金使用和用人方案，使得产品 推广的效果能够达到最大。 某黑客公司研制了一个能够自动添加粉丝的软件，售价 10000 元，该软件一天可 以自动发出 100000 个粉丝添加邀请，待添加的目标用户都是从社交网络中按照广度优 先的原则搜索到的， 但是其中仅有一些粉丝数较少或者经常无目的添加关注的网友愿意 接受邀请。需要建立模型判断这个软件的出现对上一问的用人和资金使用方案有无影 响，以及方案的调整。 二、二、二、二、 符号说明符号说明符号说明符号说明 符号说明 a专业推广者人数 m+1专业推广者工作的时间天数 n兼职推广者工作的时间天数 g(n)一个兼职宣传员经过 n 天所达到的宣传效果 Z推广后最终的宣传效益 W(t)未知节点密度函数 )(tC转发节点密度函数 )(tG只读节点密度函数 )( 1 MS基础粉丝间接推广能力 )(ATi新增粉丝间接推广能力 )( , AT ji 消息发布后第 i 天，新增的 A 名粉丝在第 j 天里所引起的消息接受者数目 )(C , A ji 消息发布后第 i 天，新增的 A 名粉丝在第 j 天里所引起的消息转发者数目 )(G , A ji 消息发布后第 i 天，新增的 A 名粉丝在第 j 天里所引起的消息只读者数目 j ji T)500( , 第 i 天新增的 500 名粉丝达到的传播效果 X动态规划模型中专业推广者第一天的推广能力的份数 Y第二天需要的专业推广者推广能力的份数 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 3 ZZ 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数 ax 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批 20 人） b需要工作两天的兼职工作者的批数 i T配备黑客软件后专业推广者第 i 天的推广能力的份数 i K配备黑客软件后兼职推广者第 i 天的推广能力的份数 F配备黑客软件后所达到的推广效用 三、问题假设三、问题假设三、问题假设三、问题假设 1.由转发引起的时间延迟可忽略，用户接收到携带广告的奥运新闻后可以及时将此 消息转发，且他的粉丝可以及时收到该条新闻并看到其中的广告； 2.普通网络用户转发消息当天，新增粉丝行为发生在转发消息之前，即当天新增粉 丝都可收到其动态（转发消息） ； 3.假设所有网络普通用户的转发行为都发生在第一次看到该条新闻之后，此后看到 同一条新闻，用户将不再转发此新闻。因此，消息转发的时间都为首次看到新闻 的时间； 4.甲乙两公司进行博弈时均为理性的经济人； 5.专业推广者的基本工资为 500 元，兼职推广者工资为 50 元； 四、问题分析四、问题分析四、问题分析四、问题分析 4.14.1 网络用户层次分析网络用户层次分析 4.1.14.1.1 网络用户正态分布分析网络用户正态分布分析 网络用户粉丝数及其频数分布如下： 社交网络用户分布图（粉丝数目，频数） 对网络用户的粉丝数目及其频数，进行正态分布结果如下图： 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 4 图（Nomal Q-Q Plot of 粉丝数） ，为粉丝数目的正态概率图，图中斜线为正态分布 的标准线，散点图为实际数据的取值，从图中可看出数据分布近似接近于正态分布， 部 分边缘点偏离较大。图（Detrended Nomal Q-Q Plot of 粉丝数）,为粉丝数的离散概 率分布图，图中各点近似均匀随机的分布在中间横线的周围，因此符合正态分布规律。 4.1.24.1.24.1.24.1.2 网络用户网络用户SEUCLID聚类分析聚类分析 对于社交网络中的用户，以第一阶段的网络用户的粉丝数频数，基于频数对粉丝数 进行特征聚类分析，根据粉丝数目及其频数的亲疏程度，将最相似的粉丝基数进行逐层 聚类，从而实现对具有不同粉丝数目的网络用户的聚类。 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 社交网络用户分布图（粉丝数目，频数） 本例样本空间（粉丝数目，频数）有 2 个变量，可将样本看成一个平面空间的一个 点，样本与样本之间的距离即反映了样本之间的亲疏程度。聚类时，距离相近的样本属 于一个类，距离远的样本属于不同类。此处采用采用 Between-groups linkage(类间平 均连锁发)计算样本之间的 SEUCLID(Squared Euclidean Distance,欧式距离平方） 。 () = = k i ii yxSEUCLID 1 2 其中，K 表示每个样本空间有 K 个变量， i x表示第一个样本在第 i 个变量上的取值 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 5 （即第 i 个样本点的横轴取值） ， i y表示第二个样本在第 i 个变量上的取值（即第 i 个 样本点的纵轴取值） ，SEUCLID 表示各样本每个变量值之差的平方和。 聚类结果如下。 从结果可以看出，除粉丝数为 624 和 807 两个特殊数据单独考虑，其余 430 个粉丝 频数样本都进入了聚类分析。 从结果可以看出，使用聚类分析对粉丝频数进行分类，可得到：粉丝数 1， 2,20407,408被划分为第一类，3,4,5,6,7被划分为第二类，413,416,417被划 分为第三类，427,428,429,430 被划分为第四类。 上表的第一行表示，第 416 和 424 个粉丝数样本最先进行了聚类，样本间的距离为 0.000，第二行表示聚类中的第二步第 414 和 419 个粉丝数样本进行了聚类，其他含义 和上面的类似，经过 429 步聚类，430 个样本粉丝数聚成了一个大类。 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 6 该表格是层次聚类分析的冰状图。冰状图一般从表格的最后一行开始观察，最后 一行中，类的数目为 429，即样本聚成 429 类，其中样本 416 和 424 用 X 连接在一起， 表示两个样本聚成一个类，其余每个样本构成一类；倒数第二行中类的数目为 428，即 样本聚成 428 类，其中 416 和 424,414 和 419 聚成一类，其余每个样本聚成一类；因此 可以从冰状图中清楚地看到，聚成 N 类时，各个样本的类归属情况，如聚成 2 类时， 427-430 属于第一类，1-426 属于第二类。 粉丝数的层次聚类分析的树形图 使用 SPSS 进行聚类分析后，由于所得到的第二类所占数据比例较大，故再次对第 二类重复进行以上步骤，把第二类粉丝数划分为更小的类，将第二类数据依据其粉丝频 数划分为三类。 将 SPSS 进行聚类分析后所得到的分类结果结合社交网络用户分布图可大致对粉丝 数样本进行分类： 第一类：1-50， 第二类：51-110， 第三类： 111-460，第四类： 461-490， 第五类：491-500 对进行聚类分析后得到的各个类的粉丝数求其加权平均数，可得到各类粉丝的平均 基数： () = 频数 频数粉丝数 各类平均基数 * 第一类粉丝的平均基数为：21.0084321 第二类粉丝的平均基数为：81.014781 第三类粉丝的平均基数为：316.6792317 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 7 第四类粉丝的平均基数为：479.6269480 第五类粉丝的平均基数为：496.204496 4.1.34.1.3 网络用户层次分析网络用户层次分析 经过上述聚类，用户大致可以分为以下五类。 第一类： 粉丝范围 1-50， 平均粉丝数： 21， 比例 14.2%.。 第二类： 粉丝范围 51-110， 平均粉丝数： 81， 比例 8.2%。 第三类： 粉丝范围 111-460， 平均粉丝数： 317， 比例 31.9%。 第四类： 粉丝范围 461-490， 平均粉丝数： 480， 比例 23.755。 第五类： 粉丝范围 491-500， 平均粉丝数：496，比例 21.95%。五类不同的用户，网络用户的类别不同，粉丝基数不 同，说明其在网络中的活跃程度不同。 第五类网络用户粉丝基数为 496，在网络中的影响力最大，这类用户多为社交网络 中的活跃分子，他们具有最多的粉丝关注，其消息敏感度通常也比较高，能在较短的时 间内感知网络新鲜事。故假设他们能在 3 天内感知到热门消息，即带广告的奥运新闻发 布后最先被他们感知到， 即消息发布后 3 天以内蔓延到的用户， 他们的粉丝基数为 496， 他们一次转发能让其 496 名粉丝接收到消息。 第四类网络用户粉丝基数为 480，仅次于第五类网络用户，在网络中的影响力相对 较大，依次取73t,即 37 天内蔓延到的用户，其粉丝基数为 480，一次转发能将消 息推送给 480 人。 第三类网络用户粉丝基数为 371，文中将其归为普通用户的一部分，由于其粉丝基 数相对较大，可视为普通网络用户中较成功的一部分人物，取157t，即消息发布 715 天后该网络用户群才接受消息，他们的粉丝基数为 371。第二类网络用户粉丝基数 为 81，在网络中的影响力很小，取其3015t;第一类网络用户粉丝基数为 21，这类 用户在网络中的影响力最小，其发布的消息一般在很长一段时间内均能够被其粉丝看 到，取其4530t。此外还有两个低频高值的特殊用户群（624,807） ，此类多为少数 备受关注的知名人士。 对于本题总的两类特殊网络用户，专业推广者和兼职推广者，专业推广者每天即可 以新增 500 名粉丝，估计粉丝基数会相对很大，此外这类人员为稀缺资源（问题二中仅 10 个） ，可归属于（624,807）类用户，取其平均粉丝基数 716。对于兼职推广者，考虑 到企业的雇佣偏好，即企业倾向于雇佣活跃度高，具有较多粉丝基数的兼职推广员， 故 此处将其归为第五类用户，平均粉丝基数 496。 4.24.2 已知条件分析已知条件分析 4.2.14.2.1 消息推广供给方基本信息：消息推广供给方基本信息： 专业推广者兼职推广者 粉丝基数716（归属于超类用户）496（归属于高类用户） 推广能力 直接推广能力 基础粉丝 716， 每天新增 500 名粉丝。 基础粉丝 496， 每天新增 35 名粉丝。 间接推广能力 基础粉丝引发的传播 )716( 1 S 新增粉丝引发的传播)500( ,ji T 基础粉丝引发的传播)496( 1 S 新增粉丝引发的传播)35( ,ji T 成 本 可变成本工资 500 元/天工资 59 元/天 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 8 固定成本无培训费用 500 元/20 人 供应量稀缺，共计 10 人富余，不限 4.2.24.2.2 消息推广需求方信息消息推广需求方信息 甲公司：可用资金 20 万； 乙公司：可用资金 20 万，市场占有率为甲公司的 1.5 倍； 黑客公司研制的能够自动添加粉丝的软件，售价 10000 元，一天可以自动发出 100000 个粉丝添加邀请。 4.2.34.2.3 问题目标问题目标 甲公司实现最大传播效应的最优资金使用和用人方案； 判断黑客软件的出现对问题一的用人和资金使用方案有无影响，以及方案的调整 五、问题一的模型建立与求解五、问题一的模型建立与求解五、问题一的模型建立与求解五、问题一的模型建立与求解 5.15.1 基础粉丝引发的间接传播效应模型基础粉丝引发的间接传播效应模型 C 题第一阶段中，二次传播模型部分给出了普通网络用户空间中基于消息额度的节 点演化比例模型，未知节点密度函数 W(t)，转发节点密度函数)(tC，只读节点密度函数 )(tG随时间的变化情况。 5.1.15.1.1 某时刻新增粉丝中各类用户密度分析某时刻新增粉丝中各类用户密度分析 W(t)：未知节点关于时间的密度函数。此函数用于刻画新闻发布后 t 时刻，用户转 发某带广告的奥运新闻时，接受到该新闻的众多粉丝用户当中，未看到过这条新闻的用 户密度。基于假设：所有网络普通用户的转发行为都发生在第一次看到该条新闻之后， 此后看到同一条新闻， 用户将不再转发此新闻。 故此时只有 W(t)刻画的这部分用户可能 会转发该消息，即可能具有消息传播力。 基于第一阶段，二次模型中，求的),(tmL，),(tmp w ， () t tmp , w ， () t tmp , c 等中间 函数的对应数据，拟合出各个时刻点 t 对应的未知节点密度值 W(t),绘制散点图。再导 入 SPSS 中根据曲线估计，结果显示 Cubic 曲线的拟合优度最高（其 R Square 统计量的 值为 0.982， ） ，结果如下：所以选择 Cubic 拟合不同时刻未知节点密度变化趋势，其具 体模型为：225 . 1 967 . 0 241 . 0 019 . 0 )( 23 +=ttttW。表示：新闻发布之后的第 t 时刻， 网络社区中的未知节点平均分布密度为 W(t)。 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 9 225 . 1 967 . 0 241 . 0 019 . 0 )( 23 +=ttttW曲线趋势显示， 在新闻发布的第 1 个单位时 间（单位时间取值，因社交网络拓扑基数而异）内，W(t)急剧变化，2 个单位时间后趋 于稳定。即某条新闻发布后，第 1 单位时间内未知用户密度由 100%迅速下降到 39.82%， 下降幅度达 60.18%。第 2 周单位时间内未知用户由 39.82%下降到了 10.3%，下降幅度 29.52%。 C(t)：转发节点关于时间的密度函数。此函数用于刻画首次接收到某条消息的用户 群中，转发用户所占密度。G(t)：只读节点关于时间的密度函数，用于描述首次接收到 某条消息的用户群中，只读用户（仅接收不转发用户）所占密度。基于第一阶段结果深 入进行归回拆和模拟结果如下： 假设 t 时刻新增的粉丝数为 A 名,到此时（即：消息发布的 t 个单位时间后）这 A 名粉丝中有 A*W(t)名粉丝是第一次看到该条消息， 他们中部分人会转发该条消息 （密度 C(t)）,部分人只读不转发（密度为 G(t)） 。其余的 A*（1-W(t)）名粉丝的已经接收过 消息，接收过消息的粉丝将不再参与转发。基于第一阶段假设 4：所有网络普通用户的 转发行为都发生在第一次看到该条新闻之后，此后看到同一条新闻，用户将不再转发此 新闻。 对于这些 A*W(t)名首次接收消息的粉丝，其中 A*W(t)*C(t)名粉丝将转发从而传播 该条消息，A*W(t)*G(t)名粉丝仅接收不转发。 5.1.25.1.2 间接推广效应模型间接推广效应模型 在整个消息推广过程中，推广员的推广能力按期接触度可以分为直接推广能力和间 接推广能力。直接推广能力即第一阶段中一次传播过程中，由推广员直接转发给其基础 粉丝和新增粉丝的能力。对于专业推广员即为 500 名/天，兼职推广员 35 名/天。 参赛队号：参赛队号：参赛队号：参赛队号：#2553#2553#2553#2553 10 间接推广能力即二次传播过程中，从推广员处得到消息后，消息在普通用户之间的 转发过程。间接推广能力按期发生时间有分为基础粉丝间接推广能力)( 1 MS和新增粉 丝间接推广能力)(ATi。)( 1 MS为基础 M 名粉丝，在消息发布第 1 天接收到消息后将 其转发出去，所引起的消息蔓延规模；)( , AT ji 为在消息发布后第 i 天，新增的 A 名粉 丝在第 j 天里所引起的消息接受者数目；)(C , A ji 为消息发布后第 i 天，新增的 A 名粉 丝在第 j 天里所引起的消息转发者数目；)(G , A ji 为消息发布后第 i 天，新增的 A 名粉 丝在第 j 天里所引起的消息只读者数目；)(ATi为第 i 天新增的 A 名粉丝所能引发的消 息接受者数目， = j jii ATAT)()( , )(*)(*)(*)(*)(*)(G)(C)( , tGtWAtAtCtWAAAAT t jijiji +=+=，其中 A*W（t） 表示新增的 A 名粉丝中首次接收者的数目，A*W（t）*C(t)表示这些首次接受者中愿意 转发消息的人数。 t tA)(表示消息发布第 j 天时首次收到消息的用户对应的用户粉丝数 （取值参见普通用户层次分析） ，t 为 j 的每一个取值。 t tAtCtWA)(*)(*)(*表示首次接 收并转发的用户，这些用户转发后将消息推向他们的粉丝团。*)(*)(*tGtWA表示首次 接收但不转发的用户数目。 W(t),G(t),C(t)为前述未知节点密度函数和转发节点密度函 数。 其中： 225 . 1 96