系统辨识（System Identification）课程计稿：第20讲

系统辨识第20讲要点第10章 辨识算法的统一性辨识算法融汇了各种理论和技巧，辨识是一只装满技巧的口袋。前面所讲的各种辨识算法充分说明了这一点。但由辨识的定义和各种算法的推导过程中，我们会发现它们之间的联系。前面的内容我们主要着重于基于不同思想的各种辨识方法的讨论。这一章我们将从理论上揭示各种辨识算法之间的内在联系。内容包括两个部分：（1） 讨论最小二乘类一次完成算法之间的内在联系，利用信息压缩矩阵和信息滤波矩阵统一最小二乘类一次完成算法；（2） 讨论各种递推算法之间的内在联系，引进统一的模型结构，利用随机逼近原理归结出递推辨识算法的统一结构。10.1 最小二乘类一次完成算法之间的内在联系考虑以下模型：其中的噪声模型为：这些算法具有内在联系，利用引入信息压缩矩阵和信息滤波阵，可以用统一的方法来处理噪声模型不同时的辨识问题。10.1.1 信息压缩矩阵及其作用考虑： 令： 则此模型的差分方程为：当取至（为数据长度）时，则有： （A）定义：则模型可以写为最小二乘格式：根据最小二乘原理，有估计：输出残差的平方和（最小二乘准则函数）为另外，（A）式也可以写成： （B）其中：对（B）式再一次用最小二乘原理，有且有：令：则有：矩阵由0至时刻的输入输出数据组成，它包含着和的所有信息，也就是说从1阶至阶的参数估计值和各阶的输出残差平方都浓缩在矩阵中，我们称矩阵为信息压缩阵。10.1.2 信息压缩阵的等价变换形式信息压缩矩阵的下三角变换形式：利用矩阵求逆公式，我们有： 同理，我们有：上面两式相互迭代此后，我们有：上式将变换成为了下三角形式，其中和分别表示从1阶至阶的参数估计值和各阶的输出残差平方和，为零阶时的输出残差平方和，和为中间变量。信息压缩矩阵的上三角变换形式：由于：上面两式相互迭代此后，我们有：注意两种变换形式的比较以及所能提供信息的大小。下三角形式比上三角形式能提供更多的信息，但上三角形式在粗略确定模型阶次的时候有其特殊的作用。10.1.3 信息压缩阵的LDU分解为了计算方便，对信息压缩阵进行LDU分解：其中：则信息压缩阵的逆可以写成：其中：10.1.4 信息压缩阵的构成见教材P282。10.1.5 信息压缩阵的作用利用输入输出数据，可以获得模型的包括1至阶的参数估计值和输出残差，输出残差的平方和又可以用于模型阶次的辨识，使计算量大大减少。10.2 信息滤波阵及其作用10.2.1 信息滤波阵的定义考察模型：当时，我们引入信息滤波阵和，构造信息压缩阵，使得：信息滤波阵随着噪声模型的不同而不同，多数情况下。10.2.2 最小二乘法的信息滤波阵及其应用此时的信息滤波阵为单位矩阵。10.2.3 广义最小二乘法的信息滤波阵及其应用此时的噪声模型为：取： 先构造关于参数最小二乘格式，得相应的信息压缩阵（见教材P286）：其中为相应的信息滤波阵：然后构造关于噪声模型的最小二乘格式，得关于参数的信息压缩阵（P287）其中的信息滤波阵的定义见P288。利用信息压缩阵和信息滤波阵求解广义最小二乘问题的步骤见P288。10.2.4 辅助变量法的信息滤波阵及其应用此时的模型为：令：可以构造关于参数最小二乘格式，得相应的信息压缩阵（见教材P290），使得：其中：辅助