二次根式及一元二次方程复习及练习

. . 二次根式小结与复习基础盘点二次根式小结与复习基础盘点 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如（ _0）的式子叫做二次根式，aa “”称为二次根式. 定义诠释定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如是二次根式；4 （2）形如（ 0）的式子也叫做二次根式；aba （3）二次根式中的被开方数 ，可以是数，也可以是单项式、多项式、aa 分式，但必须满足 0.a 2.二次根式的基本性质 （1）_0（ _0） ；（2）_（ _0） ；（3）aa 2 aa ；aa 2 0_ 0_ a a （4）_（ _0， _0） ；（5）ab ab _（ _0， _0）. a b ab 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_；（2）被开方数 中所有因式的幂的指数都_. 4.二次根式的乘、除法则： （1）乘法法则：=_（ _0， _0） ；（2）除法法则：abab _（ _0， _0）. a b ab 复习提示复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； aa2 0 0 aa aa （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应 运用积的算术平方根的性质将其进行化简. 5.同类二次根式：几个二次根式化成_后，如果_相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式. 6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_，然后 把_进行合并. 复习提示复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_，第二步是 _，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变； . . （2）不是同类二次根式的不能合并，如：；53 8 （3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再_， 最后_，有括号的先_内的. 复习提示复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然 适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用； （2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根 式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用 利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根 据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值. 1 1 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件 例例 1 1 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）43 xx A. B. C. D. x 3 4 x 3 4 x 4 3 x 4 3 方法总结方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是 不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时， 分母不能为 0. 2 2 二次根式的性质二次根式的性质 例例 2 2 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D.33 2 33233 2 332 方法总结方法总结：成立的条件是 0，而在化简时，先要判断 的正负 aa 2 a 2 aa 情况. 3 3 二次根式的非负性二次根式的非负性 例例 3 3 已知，则的值为（ ）32552xxyxy2 A.15 B.15 C. D. 2 15 2 15 方法总结方法总结：二次根式（ 0）具有双重非负性，即 0、0.aaaa 4 4 最简二次根式最简二次根式 例例 4 4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 5 1 5 . 0550 方法总结方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记， 一定要化到最简二次根式为止. 5 5 二次根式的运算二次根式的运算 . . 适用能因式分解 的方程 适用无一次项的 方程 例例 5 5 计算_.1824 3 1 方法总结方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式 可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则. 6 6 二次根式的化简求值二次根式的化简求值 例例 6 6 若，则的值是_. 12014 2013 m 345 20132mmm 方法总结方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用. 一元二次方程一元二次方程 1、一元二次方程：、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。 例 1、 （1） 、下列方程中是一元二次方程是（ ） A、 B、 C、 D、 2 1 2x x 267x 22 5xy 2 3520 xx 2、一元二次方程的一般形式：、一元二次方程的一般形式： 2 0(0)axbxca 二次项： ，一次项： ，常数项： 。 二次项系数： ，一次项系数： 。 例 2、 （1） 、方程 x(x+4)=8x+12 的一般形式是 ；二次项是 一次项是 ，常数项是 。 （2）. 关于x的一元二次方程是一元二次方程，则满足（ 22 120axxa ） A. B. C. D.为任意实数1a 1a 1a （3） 、若方程是关于 x 的一元二次方程，则 （ 013)2( | mxxm m ） A Bm=2 Cm= 2 D2m2m （4） 、下列方程中,常数项为零的是( ) A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12； C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2 3.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 1、因式分解法 移项：使方程右边为 0 因式分解：将方程左边因式分解； 方法：一提，二套，三十字，四分组 由 AB=0，则 A=0 或 B=0，解两个一元一次方程 2、直接开平方法 )0( 2 aax axax 21 )0( 2 aabx 解两个一元一次方程 abx . . a acbb x 2 4 2 3、配方法 移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项 （移项要变号） 同除：方程两边同除二次项系（每项都要除） 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方 开平方：注意别忘根号和正负 方程：解两个一元一次方程 4、公式法 将方程化为一般式 写出 a、b、c 求出，acb4 2 若 b2-4ac0，则原方程无实数解 若 b2-4ac0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式 求解 2 4 x= 2 bbac a 若 b2-4ac0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式 求解。 2 b x a 例 4、 （1） 、若关 X 的一元二次方程有实数根，则实数 k 的取值范036) 1( 2 xxk 围（ ） A.k4,且 k1 B.k4, 且 k1 C. .k4 D. k4 （2）. 已知一元二次方程已知一元二次方程，若，则0 2 cbxax0cba 该方程一定有一个根为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 （3）. 关于x的一元二次方程x2kx1=0 的根的情况是( ) A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数根 C、有两个相等的实数根 D、没有实数根 （4）.关于的一元二次方程的一个根是 0，则值为（ ）x 22 110axxa a A、 B、 C、 或 D、1111 1 2 （5）.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根,则 k 的取值范围是( ) A.k- B.k- 且 k0 C.k- D.k 且 k0 7 4 7 4 7 4 7 4 例 5、(1)利用因式分解法解下列方程 (x2) 2(2x-3)2 3 (1)33x xx016585 2 xx . . (2)、利用开平方法解下列方程 5 1 )12( 2 1 2 y 4（x-3）2=25 24)23( 2 x (3)、利用配方法解下列方程 01263 2 xx 2 5 220 xx (4)、利用公式法解下列方程 3x 222x240 2x（x3）=x3 3x2+5(2x+1) =0 5、根与系数的关系：、根与系数的关系： 2 0(0)axbxca 12 b xx a 12 c xx a 例 5、 （1）.已知x x 12 ， 是方程xx 2 210的两个根，则 11 12 xx 等于_. （2） 、已知一元二次方程的两根为、，则 0132 2 xx 1 x 2 x 21 xx （3） 、已知，是方程的两实数根，则的值为_ 1 x 2 x 2 630 xx 21 12 xx xx （4）已知方程两根的平方和比两根的积大 21，求的值。 22 2(2)40 xmxmm 03992 2 xx . . 6、一元二次方程的应用（要注意实际问题不能取负数）、一元二次方程的应用（要注意实际问题不能取负数） （1）二次三项式的因式分解 若一元二次方程的两个实数根为 x1，x2，则二次三项式)0(0 2 acbxax 在实数范围内可分解因式写成：)0( 2 acbxax)( 21 2 xxxxacbxax 当0，二次三项式在实数范围内分解因式为：acb4 2 )( 21 2 xxxxacbxax 当=0，二次三项式在实数范围内分解因式为：acb4 2 2 1 2 )(xxacbxax 当0，二次三项式在实数范围内不能分解因式acb4 2 （2）一元二次方程的实际应用 二、典型例题精讲与练习 1、填空题： （1）写一个有两个不相等的实数根的一元二次方程，这个方程可以是 （2）已知方程的一个根为-2，则 m= ，它的另一个根是0622 2 mxx （3）已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根，则 k 的取0112)21 ( 2 kxxk 值范围是 2、在实数范围内将下列二次三项式分解因式： （1） (2) 352 2 xx 22 253yxyx (3)5)2(3)2(2 2 yxyx 3、已知关于 x 的一元二次方程没有实数根，试判断关于 x 的一元二次012 2 axx 方程根的情况，并说明理由。1 2 aaxx . . 4、已知关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，求 k 的值02)2(2 2 kxkx 及这时方程的根。 5、已知 m，n 为实数，且，求及20) 1)( 2222 nmnm 2 3 mn 2 )(nm 的值？ 2 )(nm 6、求证：不论 k 为何值，关于 x 的方程总有两个不相等的实数03) 12( 2 kxkx 根。 7、一元二次方程有一个解为 0，求的值。011 22 mxxm12m 8、一元二次方程的实际应用 例 6、 （1） 、某厂去年 3 月份的产值为 50 万元，5 月份上升到 72 万元，这两个月平均每月 增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率是，则列出的方程是（ ）x （A） （B）72150 x72150150 2 xx （C） （D）722150 x72150 2 x （2） 、原价元的某商品经过两次降价后，现售价元，如果每次降价的百分比都为ab . . ，那么下列各式中正确的是（ ）x ； ； bxaA 21 bxaB 2 1 ； 。 axbC 21 axbD 2 1 （3） 、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病 毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ （4）.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 90 元降到了 40 元，求平均每 次降价率是多少？ （5）.关山超市销售某种电视机，每台进货价为 2500 元，经过市场调查发现：当销售 价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台电视机，而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能 多售出 4 台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到 5000 元，每台电视机的定价应为多 少元? （1）一种笔记本电脑，原来的售价是 15 000 元，经过连续两年的降价，今天每台售价为 12 150 元，每年降价的百分率相同.（1）求每年降价的百分率是多少？（2）如果吴云是在 去年购买这种笔记本电脑的，那么与今年的售价相比，她多付了多少元？ . . （6）某通讯公司每位员工都向本公司的其他员工发出了 1 条祝贺元旦的短信.已知全公司 共发出短信 870 条，求该公司员工的人数. （7）如图，某单位需要建一个面积为 1 200 平方米飞矩形仓库，计划利用一段 50 米长的 旧墙，新墙只围三边，已知每建造 1 米新墙需要用 500 元，建造顶棚等其他费用为 1 万元， 设当被利用的旧墙长度为 米时，仓库的总建设费用为万元.(1)求关于的函数解析xyyx 式及其定义域.(2)当建设费用为 6 万元时，求被利用的旧墙的长度是多少米？ (8)今年来由于受到国际石油市场的影响，汽油的价格不断上涨.请你根据下列两位的对话， 帮助小明计算一下 2006 年 5 月份汽油每升的价格. 2006 年 5 月份的汽油价格四 2005 年 5 月份汽油价格的 1.6 倍，用 150 元给汽车加的油量比 2005 年少 18.75 升. 2006 年 5 元份的汽油每升价格是多少元呢？ 二次根式、一元二次方程的解法综合练习二次根式、一元二次方程的解法综合练习 一、选择题 1、下列各式一定是二次根式的是 ( ) A B C D 7x2 22 yx 3 6 2、下列根式中属最简二次根式的是 （ ） . . A. B. C. D. 2 1a 1 5 827 3、下列计算正确的是 ( ) A. B. C. D.532233323222224 4、下列计算 错误 的是 ( ) A. B. C. D. 1477 26052 39258aaa22 2 1 5、下列方程为一元二次方程的是 ( ) A.A. B.B. 0 2 3 3 1 2 2 xx052 2 yx C.C. D.D. 12 22 xxx 07 1 4 2 x x 6、式子的取值范围是 （ ） 1 2 x x A. x1 且 X 2 B.x1 且 x 2 C. x 2 D. x 1 7、方程的左边配成完全平方式后所得的方程为 ( ) 2 650 xx A B C D以上答案都不对 2 (3)14x 2 (3)14x 2 1 (6) 2 x 8、若是关于 x 的一元二次方程，则 （ ）0) 1( 2 cbxxa Aa0 Ba1 Ca 1 Da =1 9、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A若x2=4，则x=2 B .若3x2=6x，则x=2 C的一个根是1，则k=20 2 kxx D若分式 的值为零，则x=2或x=0 x xx2 10、关于 x 的一元二次方程的根的情况是 （ ） 2 20 xx A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法判断 11、一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（ ）0624 2 mxxm . . A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12、某厂今年一月份的产量为 20 吨, 第一季度的总产量共 85 吨,设平均每月增 长率是x, 根据题意所列的方程为 ( ) A、20 x 2 =85 B、20（1+x）=85 C、20（1+x）2 =85 D、20 + 20（1+x）+ 20（1+x）2 =85 13、 摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全 组共互赠了 182 张，若全组有 x 名学生，则根据题意列出的方程是 （ ） A. x（x1）182； B. x（x1）182 ； C. 2x（x1）182 D. x（x1）182 1 2 14、方程 x29x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长 为（ ） A12 B12 或 15C15 D不能确定 15、如图，一只蚂蚁从长、宽都是 4，高是 6 的长方体纸箱 的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是( ) A9 B10 C D24172 16三角形的两边长分别是 3 和 6，第三边是方程的解，则这个 086 2 xx 三角形的周长是 （ ） A、11 B、13 C、11 或 13 D、11 和 13 17.若，则（ ） 82 2222 baba 22 ba A2 B. 4 C.4 或2 D.4 或 2 二、填空题 1、计算：= 。 123 2方程化为一般形式为 ，一次项系数是 。 2 213xx 3. 如果最简二次根式与是同类根式，那么 。a124 aa 4. 若 2，化简的正确结果是 _。xxx3)2( 2 A B . . 5. 比较大小： （填“”或“”）3 2 _2 3 6. 方程的解是 ；方程的解是xx3 2 032xx _。 7、在实数范围内分解因式 ； 2 5x 8、已知是方程的一个根，则 _。1x02 2 xaxa 9、已知方程x24x30 的两根分别为x1、x2，则x1 + x2 ， = 12 .x x 。 10. 若 x、y 为实数，且，则的值为_x2y20 2010 x y 11. 22 _)(_3xxx 12、已知关于 x 的一元二次方程（12k）x2x1=0 有实数根，则 k 的取 值范围是 _ 13 观察分析下列数据，寻找规律： 0，3，2，3，363152 那么第 10 个数据应是 . 14. 把一元二次方程 3x22x3=0 化成 3（x+m）2=n 的形式是 ；若多项式 x2ax+2a3 是一个完全平方式，则 a= 15. 当 x= 时，既是最简二次根式，被开方数又相同。153 2 xxx与 三、解答题： 1、计算：（1） 、（2） 、 1021 ()(3)( 2) 2 x x x x 1 2 4 69 3 2 . . （3） 、 （23） （2） （2） （4） 32 2 331 3 327 （5） （6）2 48+3 276（） 112 2 123 1548 333