实变函数试题库.doc

实变函数试题库一、填空题1.设则2.,因为存在两个集合之间的一一映射为.3.设是中函数的图形上的点所组成的集合，则，.4.若集合满足, 则为_集.5.若是直线上开集的一个构成区间, 则满足:_.6.设E是闭区间中的全体无理数集, 则.7.若, 则说在上.8.设, ,若_,则称是的聚点.9.设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有_, 则称在上依测度收敛于.10.设, 则的子列, 使得_.11. =_. 12.= _.13. 到的双射是_.14. 的全体聚点所组成的集合包含于的充要条件是_.15. 中无理数集的外测度为_.16. 中所有开集生成的代数记为B，称B中的集合为_.17. 若，则对任意的点集，必有_.18. 当为闭区间时，_.19. 设函数在可测集上几乎处处有限，若对任意给定的，存在中的一个闭集，使，且在上连续，则是可测集上的 _.20. 是否存在开集使其余集仍为开集（是或不是选其一填写）_.21如果_，则称是自密集，如果_，则称是开集，如果_，则称是_.22设表示为一列开集之交集：，则称为_.23. 若表示为一列闭集之并集：，则称为_.24. ()，在上可测，则= _. 25. Cantor集的外测度为_.26(Fatou引理)设是可测集上一列非负可测函数，则_.二、选择题 1. 设为中Cantor集, 则下面说法错误的是: ( )A. 是闭集. C. .B. 是完全集. D. 是可数集2. 设, 是上几乎处处有限的可测函数, 关于函数列的各种收敛性之间的关系, 正确的是( )A. 若 则.B. 若, 则C. 若, 且 则.D. 若, 且, 则.3. 下列关于开集和闭集的性质中, 错误的是( )A. 既是开集, 又是闭集.B. 中的开集和闭集一样多.C. 设是中的一个开集列, 则其并集是开集.D. 设是中的一个闭集列, 则其交集是闭集.4. 在下面命题中正确的是( )A.若为中的无界集, 则.B. 若为中的可测集, 且中至少有一个内点, 则.C. 设是中的可测集, 且, 则.D. 若, 则为中的可数集.5. 下列命题正确的是( )A. 若在点集上可测, 则在上可测, 反之亦然.B. 若在点集上可测, 则在上可测, 反之亦然.C. 若在点集上可测, 则在上可测, 反之亦然.D. 设点集, 则是上的可测函数.三、判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1.若可测, 且,则.2.设为点集, , 则是的外点. 3.点集是闭集.4.任意多个闭集的并集是闭集.5.若,满足, 则为无限集合.6. 若与它的真子集对等，则一定是有限集 7. 凡非负可测函数都是可积的 8.设为空间中一非空集，若则 9.设为可测集，则存在型集，使得，且 10.在上可积，则在可积且 四、计算证明题1. 证明:2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集.4.设是集, ，求.5.设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为 求.6.求极限: .7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集8.上全体有理数点集的外测度为零9.设函数列在上依测度收敛，且于，则于10.设在上可积，则11. .12、证明 。13、设。求在内的，。 14、若，对，存在开集, 使得且满足 ，证明是可测集。15、试构造一个闭的疏朗的集合，。16、设在上，且几乎处处成立，, 则有a.e.收敛于。17、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列连续函数，使得 于。18、设为a.e有限可测函数列，证明：的充要条件是。19、试求 。20、设，a.e.有限的可测函数列和，分别依测度收敛于和，证明 。21、试从求证。22.23. 设是一个集合，、是两个集列，证明：.24. 设是上