《线性代数D》复习题.doc

线性代数D复习题一、选择题1 设，则多项式的次数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 7 (D) 102 设为常数，为n阶矩阵 A 的行列式，则=( ) (A) (B) |(C) (D) 3 ( )(A) (B) (C) (D) 4若A，B为同阶方阵，且满足ABO，则有（）（A）A0或B0（B）|A|0或|B|0（C）(AB)AB（D）A与B均可逆5若由AB=AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（）（A）AO（B）AO（C）|A|0（D）|AB|06若A，B为同阶方阵，则有（） （A）(AB)AB （B）|-AB|AB| (C）E(AB)（EAB）（EAB) （D）|AB|A|B|7已知A为n阶方阵，若有n阶方阵B使ABBAA则（）（A）B为单位矩阵（B）B为零方阵（C）BA （D）结论不确定8若A，B为同阶方阵，且ABBA，则（）（A）（BA）BA（B）BAAB（C）BAAB （D）BA=AB9若A，B，(B+A)为同阶可逆方阵，则(B+A)（） （A）B+A（B）BA（C）(B+A)（D）B(B+A)A10 设向量组a1，a2，a3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。(A) a1+a2，a2+a3，a3+a1 (B) a1，a1+a2，a1+a2+a3(C) a1-a2，a2-a3，a3-a1 (D) a1+a2，2a2+a3，3a3+a1 11 向量组a1，a2，a s线性无关的充分条件是 ( )(A) a1，a2，a s均为非零向量。(B) a1，a2，a s中任意两个向量的分量不成比例。(C) a1，a2，a s中有一个部分组线性无关。(D) a1，a2，a s中任意一个向量不能被其余向量线性表示。12 设A为n阶方阵，且R(A) = r n，则A中( )(A) 必有r个行向量线性无关。(B) 任意r个行向量线性无关。(C) 任意r个行向量构成一个最大无关组。(D) 任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示。13 设A是4阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中 ( )(A) 必有一列元素全为0。(B) 必有两列元素对应成比例。(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合。(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。14 设a1，a2，a m均为n维向量，则下列结论正确的是 ( )(A) 若k1a1+ k2a2+ kma m=0，则a1，a2，a m线性相关。(B) 若对任一组不全为零的数k1， k2， km，都有k1a1+ k2a2+ kma m0，则a1，a2，a m线性无关。(C) 若a1，a2，a m线性相关，则对任一组不全为零的数k1， k2， km，都有k1a1+ k2a2+ kma m=0。(D) 0 a1+ 0a2+ 0a m=0，则a1，a2，a m线性相关。15 设齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A为mn矩阵，R(A)= r(r n)， 则此方程组的基础解系中含有解向量的个数为 ( )。(A) m - r； (B) r - n； (C) n - r； (D) m - n。16 设Ax = 0是与非齐次方程Ax = b对应的齐次方程，则下列结论正确的是 ( )。(A) 若Ax = 0仅有零解，则Ax = b一定有唯一的解。(B) 若Ax = 0有非零解，则Ax = b一定有无穷多个解。(C) 若Ax = b有解，则Ax = 0一定有非零解。(D) 若Ax = b有无穷多个解，则Ax =0也一定有无穷多个解。17 设a1，a2，a3，a4是齐次线性方程组Ax = 0的基础解系，则下列向量组中为Ax = 0基础解系的是 ( )。(A) a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a1。 (B) a1，a1+a2，a2+a3，a3+a4。(C) a1，a2，a1+a2，a1+a3，a1+a4。(D) a1 + a2，a1 - a2，a2+a3 -a4，a2-a3 +a4。18 设A为mn矩阵，则n元齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分条件是 ( )(A) A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。19 设n元齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是 ( )(A) r = n ；(B) r n ；(C) r n 。20 要使a1=(1,0,2)和a2=(0,1,-1)都是一个齐次线性方程组的解，则此齐次线性方程组的系数矩阵A= ( )(A) (-2,1,1)；(B)；(C) ；(D)。 21 设A为n阶可逆方阵，是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是 。 (A) -1|A|n； (B) -1|A| ； (C) |A|； (D) |A|n。 22 设三阶方阵A有特征值0，1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，则P -1AP 。 (A)； (B)； (C) ；(D)。 23 n阶方阵A与某对角矩阵相似，则 。 (A) R(A)=n； (B) A有n个不同的特征值； (C) A是实对称阵； (D) A有n个线性无关的特征向量。 24 已知矩阵有一个特征向量，则 = 。 (A) 18； (B) 16； (C) 14； (D) 12。 25 下列二阶方阵中与对角矩阵相似的是 。 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。26 设A为幂等矩阵(即A2A)，则A的特征值是 。 (A) 只能是0； (B) 只能是1； (C) 只能是0与1； (D) 以上说法都不对。27. 零为方阵A的特征值是A不可逆的 。 (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 非充分、非必要条件。 28 设1与2是矩阵A的两个不同的特征值，是A的分别属于1，2的特征向量，则 。 (A) 对任意k10，k20，k1+k2是A的特征向量； (B) 存在常数k10，k20，使k1+k2是A的特征向量； (C) 当k10，k20时，k1+k2不可能是A的特征向量； (D) 存在唯一的一组常数k10，k20，使k1+k2是A的特征向量。 29 设是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(AE)x = 0的基础解系为1与2，则A的属于的全部特征向量是 。 (A) 1和2 (B) 1或2 (C) k11k22 (k1, k2为任意常数) (D) k11k22 (k1, k2为不全为零的任意常数) 30 设1，2为A的两个不同的特征值，和为A的分别属于1与2的特征向量，则有与是 。 (A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量。 31 矩阵A与B相似，则 。 (A) |AE| = |BE| (B) AE = BE (C) A与B与同一对角阵相似 (D) 存在正交阵P，使得P1APB32 实二次型fxAx为正定的充分必要条件是 。 (A) R(A) = n； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| 0 ； (D) A的特征值全大于零。 33 设A是一个三阶实矩阵，若对任一3维列向量x，都有xAx0，则 。 (A) |A|0； (B) |A| 0 ； (C) |A| 0； (B) A不是负定的； (C) A的k阶子式都大于0(k1，2，n)； (D) 存在可逆矩阵U，使AU U。二、填空 题1 .2 在阶行列式中，包含前两行的二阶子式共有 个 .3 如果，则 .4 若，则.5 行列式.6 已知，则的系数为.7 设，则.8设A为二阶方阵，B为三阶方阵，且A，则 .9设A为四阶可逆方阵，且A2，则3(A)2A .10设A为阶方阵，A为A的伴随矩阵，则.11设3阶方阵0，A=,且AB=0，则.12设A，A为A的伴随矩阵，则(A)=.13设A为4阶数量矩阵，且=16,则A，A，A14设A，则A，4A，(A)15设A，则A，A16设实矩阵A0，且，（为的代数余子式），则A17若B=，C=，且AB C，则A。18设A，且AE，则A。19. 已知矩阵A=，则R(A) = 。20 若b = ( 0 , k , k2)能由向量组a1=(1+k,1,1)，a2=(1,1+k,1)，a3=(1,1,1+k)唯一线性表示，则k 。21 若向量组a1，a2，a3与向量组la1+a2，a2+a3，ma3+a1都线性无关，则常数l、m必满足关系式 。22 若向量组a1，a2，ar (r2)线性无关，填写下列向量组的线性相关性：(1) a1，0，a2，ar； 。(2) a1，a1，a2，ar； 。(3) a2，ar； 。(4) a1+a2，a2，ar； 。(5) 3a1，4a2，(r+2)ar； 。(6) a1，a2，ar-1，a1+2a2+( r -1)ar-1； 。23. 两个n维向量a1，a2线性相关的充要条件是 。24. A是5阶方阵，且R(A) = 3，R(A*) = ，其中A*是A的伴随矩阵。25 如果x1，x2都是Ax = b的解，则x1 - x2一定是方程 的解。26 如果a1，a2，a3与b1，b2，b3是方程Ax =0的两个基础解系，则向量组a1，a2，a3与向量组b1，b2，b3一定 。27 如果方程组 有解，则a =。28 如果线性方程组 x1 + x2 = a1 x3 + x4 = a2 x1 + x3 = b1 x2 + x4 = b2有解，则a1，a2，b1，b2应满足 。29 设四元非齐线性方程组Ax = b中，R(A)=3，且a1，a2，a3为它的三个解向量，已知a1 =(2,0,5,-1)，a2+a3 =(1,9,8,6)，则Ax = b的通解可以写成 。30 若A为幂零矩阵(Ak0，k为正整数)，则A的特征值 。 31 设A是n阶方阵，|A|5，则方阵 BAA* 的特征值是 ，特征向量是 。 32 设 A 若A的两个特征值为0，1，则x= , y = 。 33 设A，B为n阶方阵，且|A|0，则AB和BA相似，这是因为存在可逆矩阵P ，使P1ABPBA。 34 可逆矩阵A与矩阵 有相同的特征值。35 设A为三阶方阵，其特征值为3，1，2，则|A| ，A1的特征值为 ，2A23AE的特征值为 。 36 如果二阶矩阵A 与 相似，则x , y = 。 37 如果矩阵A与单位矩阵相似，则A 。 38 n阶零矩阵的全部特征向量是 。 39 若是n阶方阵A的特征方程的单根，则R(AE) 。 40 二次型f(x1，x2，x3)xx 的矩阵 。 41 矩阵 A 对应的二次型是 。 42 二次型f(x1，x2，x3)2x12+x22+x322tx1x2+2x1x3 正定时，t应满足的条件是 。 43 设A为实对称矩阵，且|A|0，则把二次型fxAx化为fyA1y的线性变换是x y 。44 二次型f(x1，x2，x3，x4)x12+3x22x32+2x1x2+2x1x33x2x3的矩阵是 ，秩是 。45二次型f(x1，x2，x3)x122x22x1x23x2x3 的矩阵为 。 46对称矩阵A所表示的二次型为 。三、计算与解答题1. ; 2.();3 ;4 ;5; 6 ;7求方程的解; 8当取何值时，方程组有非零解; 9已知A，求A; 10求A的逆矩阵;11已知n阶方阵A满足A=4E，证明AE，A2E均可逆，并求它们的逆矩阵。12设A，求。13设A，求(A)14已知A，B为n阶方阵，且B为可逆矩阵，满足AABB0证明A和AB均可逆，并求其逆。15已知A，B为n阶方阵，且ABAB，如果B求方阵A。16设A为矩阵，B为矩阵，且，试证|AB|017已知A，B，C，求解下列矩阵方程：()AX=X+C ，()AXB=C ;18 设a1= (1+l,1, 1)，a2= (1，1+l,1)，a3= (1，1，1+l)，b =(1,l, l2)，问l取何值时，b可由a1，a2，a3线性表示，且表示式唯一。19 求向量组a1=(3,1,-1)，a2=(1,1,1)，a3=(2,0,-2)，a4=(5,3,1)的秩和一个最大无关组。20 用初等行变换求A =的逆。21 求向量组a1=(1,2,3,-1)，a2=(3,2,1,-1)，a3=(2,3,1,1)，a4=(2,2,2,-1)，a5=(5,5,2,0)的秩和一个最大无关组。22 求齐次线性方程组的一个基础解系： 2x1 -4 x2 + 5x3 + 3x4 = 0 3x1 - 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0 4x1 - 8x2 +17x3 +11x4 = 023 求解非齐次线性方程组： x1 + x2 + 2x3 + x4 = 3 x1 + 2x2 + x3 - x4 = 2 2x1 + x2 + 5 x3 + 4x4 = 7。24 已知线性方程组lx1 + x2 + x3 = l -3 x1 + lx2 + x3 = -2 x1 + x2 +l x3 = -2讨论l取何值时，方程组有唯一解、无穷多解、无解。在有无穷多解时，求出其通解。25 设A=，求一秩为2的3阶方阵B，使AB= O。26 设，。如果矩阵方程AX=B有解，但不唯一，试确定参数a 。27讨论a，b为何值时，方程组 ax1 + bx2 +2x3 = 1 ax1 + (2b-1)x2 +3x3 = 1 ax1 + bx2 +(b+3)x3 = 2b-1有唯一解，无解，有无穷多解。28 设n阶方阵A的n个列向量为a1，a2，an；n阶方阵B的n个列向量为a1+a2，a2+a3，an-1+an，an+a1。当R(A) = n时，讨论线性齐次方程组Bx=0的解的情况。29设1是矩阵A的特征值， 求 (1) t的值； (2) 对应于2的所有特征向量。30设A 求 |A2k| 和A2k (k为正整数)。31设三阶方阵A的特征值为1，2，3，矩阵BA22A，求 (1) B的特征值； (2) B是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵； (3) 求 |B|， |A2E| 。32设n阶方阵A有n个特征值0，1，2，n1且方阵B与A相似，求 | E+B | 。34 设三阶矩阵A满足Aiii(i1,2,3)，其中列向量1(1,2,2)，2(2,2,1)，3(2,1,2)，试求矩阵A。35设 A 求A100 36. 设 A ，求A的特征值和特征向量。问A能否与对角矩阵相似。37. 设 A ，求An(n为正整数)。38. 设A ，求可逆矩阵P，使P1AP为对角阵，并写出此对角阵39. 设A 与矩阵 B 相似 (1) 求与； (2) 求正交矩阵P，使P1APB40 已知A 求A100。41 已知三阶矩阵A的特征值为1，2，1，设BA2A23A3，求 (1) B的特征值和相似对角阵； (2) |B| 和 |A23E| 。42 已知二次型f(x1，x2，x3)5x12+5x22+cx322x1x2+6x1x36x2x3的秩为2，求c。43 求一正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)5x12+5x223x322x1x2+6x1x36x2x3化为标准形，并指出f(x1，x2，x3)1表示何种二次曲面。44. 已知二次型f(x1，x2，x3)x12+x22+x322ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换化为标准形fy22+2y32，求参数a、b及所用的正交变换矩阵。45. 求二次型f(x1，x2，x3)x12+3x322x1x2+4x1x3+2x2x3的正、负惯性指数及符号差。46. 已知二次型f(x1，x2，x3)tx12+tx22+tx322x1x2+2x1x32x2x3，问 (1) t满足什么条件时，二次型f是正定的？ (2) t满足什么条件时，二次型f是负定的？47 分别用正交变换及配方法将二次型 fx12x2