5定积分的几何意义

.,定积分的几何意义,.,1、求曲边梯形面积,分割-近似代替-求和-取极限,2、定积分定义,3、定积分几何意义,4、定积分计算性质,.,1.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)近似代替:任取xixi-1,xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。,(4)取极限:所求曲边梯形的面积S为,(3)求和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度x,.,2.定积分的定义,如果当n时，S无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作,分割-近似代替-求和-取极限,说明:定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即,.,定积分的定义：,积分下限,积分上限,积分号,a,b叫做积分区间,.,的实质（1）当f(x)在区间a,b上大于0时，表示由，这也是定积分的几何意义.（2）当f(x)在区间a,b上小于0时，表示.,直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲,边梯形的面积,由直线x=a，x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的,曲边梯形的面积的相反数,3、定积分的几何意义：,.,3、定积分的几何意义：,x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。,.,当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-S,.,根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?,定积分的几何意义：,.,定积分关于积分区间具有可加性,性质3,4.定积分的基本性质,性质1,性质2,(acb),.,S,-S,S表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积,a,b,a,b,x,x,y,y,0,0,S,S,2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图,a,b,x,y,y=f(x),0,-几何意义,.,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积,变式:用定积分表示下列阴影部分面积。,（1）（2）,0,1,2,x,y,1,1,-1,0,y,x,.,例2.,解：,x,y,f(x)=sinx,1,-1,变式:,1）,2）,例3.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。,1）,2）,.,变式1.,变式2.,变式：求右图阴影部分的面积。,0,x,1,y,.,解：由定积分几何意义可知,1,0,x,y,y=x,变式1.,.,变式2.,面积值为圆的面积的,.,例5.分析：如图所示,0,1,2,y,x,.,变式.求下图阴影部分的面积。解：由定积分几何意义知,0,x,1,y,.,解如图所示，阴影部分面积,0,1,2,y,x,.,