第一期初二奥数测试题参考答案

【初中数学吧】初二奥数测试题【第一期】一. 选择题 (15分)1.(3分)多项式2x4-5x3+x2+5x-3中不可能含有的因式是. （C）A.x+1 B.x-1 C.x-2 D,2x-3答题思路（1）：根据因式定理可知，当x=2时，原式不为0，即此不含因式x-22. (3分) 若三角形中2/a=1/b+1/c，则A . （A）A,一定为锐角 B,一定为直角C.一定为钝角 D.非上述答案答题思路（2）：由2/a=1/b+1/c可得2bc=a（b+c），即2bca2，所以b2+c2a2，a的对应角90，可知其为锐角。3. (3分)ABC中，BAC=60，AD是BAC的角平分线，AC=AB+BD，则ABC的度数. (A)A.80 B.60 C.55 D.30答题思路（3）：如图在AB上取一点E使AE=AB，则易证CE=ED=DB，所以求得ACB=40，ABC=804(3分).点P是矩形ABCD中一点，已知PA=3,PB=4,PC=5,则PD为. (A)A. 3 2 B. 3 3C. 3 5 D. 4 3答题思路（4）：如图，设AE=a，EB=b，AG=c。GD=d，则有a2+c2=9,c2+b2=16.d2+b2=25,可求得a2+d2=18.则PD= 18=3 2.5. (3分)若a+b=1.a2+b2=2,则a5+b5为. A.9/4 B.9/2 C.19/4 D.19/2 答题思路（5）：a5+b5=(a3+b3)(a2+b2)-a2b2(a+b)=(a+b)(a2-ab+b2) (a2+b2)-a2b2(a+b)由题可得ab=-1/2，a+b=1.a2+b2=2,则代入后求得值为19/4。二.填空题 (15分)6. (3分) 某数三三数余二，五五数余四，七七数余六，则该数的最小值为（ 104 ）.答题思路（6）：设此数为x，则x+1可以被3，5，7整除，则x+1最小值为105.故x最小值为104。7.(3分)若a，b，c为实数，且a/b=b/c=c/a,则(a+b-c)/(a-b+c)的值为（ 1 ）答题思路（7）：令. a/b=b/c=c/a=k，则有k=（a+b+c）/（a+b+c）=1，所以a=b=c，则求出值为1.8.(3分)如图（1），在矩形ABCD中，它的面积为S，E是AB的四等分点，F是BC的三等分点，G是CD的中点，则EFG的面积为（ ）.答题思路（8）：设AE=x，BF=y，则SEBF=3xy/2，SGCF=2xy，S梯形AEGD=9xy/2，S矩形ADCB=12xy，求得为4xy，则占S/3.9.(3分)如图（2），在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD边上两点，且EF=BE+DF，EAF的度数是（ ）.答题思路（9）：如图延长CB至点G使GB=DF，可证ABGADF，AG=AF，GE=GB+BE=EF+BE=EF，AGEAFE，求得AEF=45。10.(3分)如图（3），延长梯形ABCD两腰DA和CB交于点P，两对角线AC和BD交于点Q，PAB和QBC的面积分别为20和6，则PCD的面积为（ ）.答题思路（10）：设SABQ=x，SDCQ=y，AQ/QC=QB/QD，故可知6/y=x/6，xy=36，又SPAB/SABC=SPBD/SBCD，即20/（x+6）=（26+x）/(y+6)，所以解得x=4，y=9，所以SPCD=20+12+4+9=45三.简答题 (30分)11. (10分)求证（z-x）2-4(y-z)(x-y)是一个非负数.答题思路（11）：原式=z2+x2-2xz+4y2-4y(x+z)+4zx=(x+z)2+4y2-4y(x+z)=(x+z-2y)2故原命题得证。12. (10分)已知正整数a，b满足（a+b）2=a3+b3,求a+b的值.答题思路（12）：原式（a+b）2=a3+b3（a+b）2=(a+b)(a2-ab+b2) a+b=a2-ab+b22+2a+2b=2a2-2ab+2b2+22=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(a2+b2-2ab)=(a-1)2+(b-1)2+(a-b)2设a=b，则1=（a-1）2 ,可知a=b=2.a+b=4设ab，（a-b）22为正整数，可知（a-b）2=1，a=b+1解得a=2，b=1，a+b=313. (10分)在一个直角三角形里，cba，求证（a+b+c）2/(a+c)(b+c)=2.答题思路（13）：在此直角三角形中有a2+b2=c2,设a+b+c=n （a+b）2=c2+2ab （n-c）2=c2+2ab n2-2nc=2ab n2=2(nc+ab) n2=2(c2+ac+bc+ab) n2=2(c+a)(c+b) 即证（a+b+c）/(c+a)(c+b)=2 故原命题得证。 四.几何题 (40分)14. (8分)如图（4），ABAC，AD是BAC的角平分线，P是AD是任意一点（不与AD重合），求证AB-ACPB-PC.答题思路（14）：如图，以B为垂点作关于AB的垂线交AD的延长线于点O，过点O作OE垂直于AC的延长线于点E，连接EP。易证ABOAEO，BO=OE，AB=AE，BOA=EOA，可证PBOPEO，PB=PE，AB=AE，即AB=AC+CE，AB-AC=AE，在PCE中，有PE-PCCE，即PB-PCAB-AC。故原命题得证。15. (8分)如图（5），正方形ABCD的边长为1，AE/BD，BE=BD，求AE. 答题思路（15）：如图，连接AC交BD于点O，过点E作EFBD于点F，易知2EF=AC=BD=BE，在RTBEF中，EF=EB/2，EFB=90，BEF=60，求得BE= 2，EF=（ 2） /2，BF=（6）/2，AE=OF=BF-BO=BF-BE/2=（ 6） /2-（ 2） /2答案：16. (8分)如图（6），在ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE=DF，BE与DF相交于点G，求证：BGC=DGC.答题思路（16）：如图，过点C分别作CNFD于点N，CMBE于点M，BE和FD相交于点G。易知SFCD=SACD= SABCD/2， SBCE=SBCD SABCD/2，SFCD= SBCE，FD*CN/2=CM*BE/2，BE=FD，CN=BE，CNFD，CMBE，GC为BGD的角平分线，BGC=CGD.故原命题得证。17. (8分)如图（7），在ABC中，ACB=90，D是斜边AB上一点，求证：（CD2-BD2）/BC2=(AD-BD)/AB.答题思路（17）：如图，过点D作DECB于点E，则（CD2-BD2）/BC2=(CE2+ED2-BE2-ED2)/BC2=(CE2-BE2)/BC2=（CE+BE）（CE-BE）/BC2=(CE-BE)/BC,ED/CA，有（AD-BD）/AB=（CE-BE）/CB,即（CD2-BD2）/BC2=(AD-BD)/AB.故原命题证得。18. (8分)如图（8），在RTABC中，BAC=90，M为BC中点，P为AB上一点，Q为AC上一点，试证明MPQ的周长大于BC.答题思路（18）：延长CA至点Q1，使AQ=AQ1则AB为QQ1中垂线，有PQ1=PQ，CPQM=PQ1+PM+QMPQ1+PM+MQMQ1+MQ，即CPQMMQ1+MQ，在QMQ1中，AM为QQ1边上的中线，则有MQ1+MQ2AM（三角形一边上的中线小于其另外两条边和的一半），AM=BM=MC,MQ1+MQBM+MC，即MQ1+MQBC，即PQ1+PM+MQBC，CPQMBC.故原命题得证。.五.（20分）函数题19.（10分）平面直角坐标系中有点P（-1，-2）和点Q（4，2），取点R（1，m），试求当m为何值时，PR+RQ有最小值.答题思路（19）：如图，当PR+RQ为一条直线时有最小值，则其最小值为PQ，设PQ解析式为y=kx+b，则有-2=-k+b,2=4k+b,解得y=4x/5-6/5，当x=1时，则y=-2/5.即m=-2/5.20.（10分）设y是x2 的正比列函数，z是x2的反比例函数，当x=2时，y+z=340;当x=1时，z-y=1275，问x为何值时，y=z，并求z与y之间的函数解析式.答题思路（20）：依题意，可设有y=x2*k1,z=k2/x2,当x=2时，y+z= x2