大学物理第5章刚体定轴转动.ppt

5.1刚体平动和定轴转动,二、刚体运动的分类,平动,刚体中任意两质点连线在运动过程中保持平行的运动，称为平动。,此类运动，任意两点的轨道形状、速度、加速度都相同。,一、质点系力学性质的分类,刚体,任意两质点间距离不变的质点系，称为刚体。,变形体,至少一对质点间距可变的质点系，称为变形体。,刚体在运动过程中，能且只能在刚体上找到两点保持不动，这种运动称为定轴转动。,定轴转动,转动,转动还包含以下几种特殊形式：定轴转动、定点转动、平面平行运动等。,刚体中至少（任意）两质点连线在运动过程中方向变化的运动，称为转动。,Rigidbody,Rotationaltheorem,定轴转动有以下特征：1、任意一点的运动轨道都是圆轨道，并且圆心是轨道面与定轴的交点。2、所有质点的转动角速度都相同，线速度与该质点到定轴的距离成正比。,定轴转动,定点转动,转动平面,某质点所在的圆周平面，称为转动平面。,三、刚体转动的角量描述,角位矢（角坐标）、角位移、角速度、角加速度。,以刚体上任一点为坐标原点，过该点垂直于转轴的直线为X轴，转轴为Z轴。,转动平面内任一过转轴的直线，如选x轴。,坐标系,参考线,转心,某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。,矢径,某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。,1.角坐标,描写刚体转动位置的物理量。,转动平面内刚体上任一点P到转轴O点的连线与参考线间的夹角。,单位：弧度，rad,角坐标为标量。,Referenceline,角位矢的大小等于角坐标，其方向由右手螺旋法则确定，或规定正方向（逆时针）后由其值的正负确定。,角坐标,显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。,2.角位移,描写刚体位置变化的物理量。,刚体初始角坐标,末态角坐标,刚体的角位移,单位：弧度，rad,角位移是赝矢量，对无限小转动是矢量：,时是矢量。,角位移方向的确定方法同角位矢。,Referenceline,即：,3.角速度,描写刚体转动快慢和方向的物理量。,平均角速度,即：刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。,单位：弧度/秒，rad/s，s-1,转/分，rev/min,角速度,用平均角速度代替变化的角速度；,令,取极限；,即：角速度为角坐标对时间的一次导数。,方向：右手四指沿刚体转动方向，伸直的大拇指的指向为角速度的方向。,定轴转动的角速度方向只有两个，因此在规定正方向（逆时针方向）后，角速度方向可用其值的正负表示。,4.角加速度,描写角速度变化快慢和方向的物理量。,平均角加速度,即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。,角加速度,用平均角加速度代替变化的角加速度；,令,取极限；,即：角速度对时间t的一次导数，或角位矢对时间t的二次导数。,单位：弧度/秒2，rad/s2,s-2,方向：角速度变化的方向。,角加速度是矢量，但对于定轴转动角加速度的方向只有两个，只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。,一、力矩,力对转轴的力矩等于在转动平面内的分力F的大小和F与轴之间的垂直距离d的乘积。,根据矢量乘积法则：,用矢量方法表示力矩：,5.2刚体定轴转动定律,为外力在转动平面内的分矢量,M的方向垂直于r与F构成的平面：规定正方向后，力矩的方向可由正负号确定。,容易证明：刚体内各质元间的内力力矩的矢量和恒为0。,单位：牛顿米，Nm,方向：从r右旋到F，大拇指指向。,解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，,细杆的质量密度,质元质量,质元受阻力矩,例：一匀质细杆，长为l质量为m，在摩擦系数为m的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩Mf。,细杆受的阻力矩,由细杆质量,有,由牛顿运动定律推导,根据牛顿第二定律有：,二、转动定律,切向：,法向：,为质点作圆周运动的加速度，其切向和法向分量式为：,外力矩,内力矩,由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向方程两边乘以，得到：,对所有质点求和，且它们的角加速度均相同，有：,合外力矩,合内力矩,因为内力中任一对作用力和反作用力的力矩为零，所以:,令,则,定轴转动定律刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。,瞬时性；即同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。,注意,与牛顿第二定律相比较，地位相当，,在定轴转动中，和的方向均在转轴方向，可用代数量表示。,三、解题方法及应用举例,1.确定研究对象。,2.受力分析，并求外力的力矩。,3.列方程求解平动物体-牛顿第二定律或动量定理转动刚体-转动定理,第一类问题：已知运动情况和J，确定运动学和动力学的联系,第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和b及F。,第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量J。,第一类问题：已知运动情况和J，确定运动学和动力学的联系,例：长为l,质量为m的细杆，初始时的角速度为o，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间t后杆静止，求摩擦力矩Mf。,解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式：,细杆绕一端的转动惯量,则摩擦阻力矩为：,第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和b及F。,例：质量为m1和m2两个物体，跨在定滑轮上m2放在光滑的桌面上，滑轮半径为R，质量为M，求：m1下落的加速度，和绳子的张力T1,T2。,解：受力分析,（1）,（2）,（3）,补充方程：,（4）,联立方程(1)-(4),讨论：当M=0时,第三类问题：已知运动情况和力矩M，求未知刚体转动惯量J。,例：测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径为R，质量为M的轮子上若干圈后，一端挂一质量为m的物体，从静止下落h用了时间t,求轮子的转动惯量J。,分别以m、M为研究对象,物体从静止下落时满足,补充方程：,联立方程(1)-(4),四、转动惯量,当切断电风扇的电源后，电风扇并不是马上就停止转动，而是转动一段时间后才停止转动，即转动的物体也有惯性，刚体的转动惯性与什么有关呢？,质点的平动动能为：,刚体定轴转动时，各质点作圆周运动，刚体的动能等于各质点动能之和：,与平动动能比较,则刚体的动能为：,相当于描写转动惯性的物理量,单位：千克米2，kgm2,上式只适用于离散质点系的转动惯量计算。,1.转动惯量,与刚体质量有关。,与质量对轴的分布有关。,与轴的位置有关。,对于质量连续分布的刚体，计算转动惯量时，将刚体分割成无限多个质元，,2.连续质点系转动惯量的计算,确定刚体的质量密度；,建立坐标系，转心为坐标原点；,确定质量元dm；,由定义计算。,例1：在无质轻杆的b处3b处各系质量为2m和m的质点，可绕o轴转动，求：质点系的转动惯量J。,解：,由转动惯量的定义,例2：长为l，质量为m的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量J。,解：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：,建立坐标系，原点选在质心。取质点dm,长度为dx。,绕细杆质心垂轴的转动惯量为,例3：长为l,质量为m的匀质细杆，绕细杆一端转动，求转动惯量J。,解：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：,建立坐标系，坐标原点选在一端。取质点dm，长度为dx。,绕细杆一端的转动惯量为,例4：半径为R质量为M的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。,解：,分割质点dm,圆环上各质点到轴的距离相等，,绕圆环质心轴的转动惯量为,例5：半径为R质量为M的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量J。,解：圆盘为面质量分布，单位面积的质量为：,取细圆环，半径为r，宽为dr,由圆环的转动惯量公式,则圆环质量,由,则圆盘的转动惯量为：,薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直,圆筒转轴沿几何轴,3.典型的几种刚体的转动惯量,圆柱体转轴沿几何轴,圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直,细棒转轴通过中心与棒垂直,细棒转轴通过端点与棒垂直,球体转轴沿直径,球壳转轴沿直径,4.平行轴定理,平行轴定理：刚体绕平行于质心轴的转动惯量J，等于绕质心轴的转动惯量JC加上体质量与两轴间的距离平方的乘积。,刚体绕质心轴的转动惯量最小。,例1：再以绕长为l,质量为m的匀质细杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴定理计算转动惯量J。,解：绕细杆质心的转动惯量为：,绕杆的一端转动惯量为,结果与前相同。,例2：半径为R质量为M的圆盘，绕垂直于圆盘平面的边缘轴转动，求转动惯量J。,解：绕圆盘质心轴的转动惯量为：,由,5.垂直轴定理,垂直轴定理：质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。,定理证明：,对于平面刚体，绕x、y轴的转动惯量分别为：,证毕,绕z轴的转动惯量为：,例：半径为R质量为M的圆盘，求绕直径轴的转动惯量Jy。,解：圆盘绕垂直于盘面的质心z轴转动的转动惯量为：,在质点动力学中介绍了力对时间和空间的累积效应，分别引入了冲量和功的概念本节讨论力矩的时间累计效应冲量矩。,对定轴转动：,当J为常量时：,这是角动量定理的一般形式。,5.4刚体定轴转动的角动量守恒定律,一、角动量定理,单位：千克米2/秒，kgm2/s,方向：与角速度方向一致。,动量矩,对参考点的动量矩：对该点的转动惯量与角速度之积,亦称为角动量。,冲量,冲量矩,冲量矩：力对该轴的力矩对时间的积分。,单位：牛顿米秒，Nms,二、冲量矩定理,平动中的冲量定理,若用dt同时乘角动量定理两端：,冲量矩定理,冲量矩定理：合外力的冲量矩等于刚体对同一轴的角动量的增量。,1.确定研究对象。,2.受力分析（考虑产生力矩的力）。,3.规定正向，确定始末两态的角动量,4.应用定理列方程求解。,冲量矩定理的应用,解：在力F冲击的瞬间，认为细杆还未摆起，重力不产生力矩，只有力F产生力矩，视为恒力矩由角动量定理：,例1：一冲击力F，冲击一质量为m，长为l，竖直悬挂细杆的未端，作用时间为t,求在竖直位置时杆的角速度。,由冲量矩定理：,条件：当刚体所外力矩的矢量和为0时，,三、角动量守恒率,即：,或：,角动量守恒定律：当合外力矩矢量和为0时，刚体的角动量守恒。,.对于刚体定轴转动，转动惯量J为常数，角速度w也为常数，w=wo,即刚体在外力矩的矢量和为0时，如原来静止，则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。,注意：,.对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，,由于Jw=C，,例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。,.质点在有心力作用下的角动量总是守恒的。,.角动量总是守恒定律对非刚体同样成立，但J是变化的。,再如：跳水运动员的“曲身展体”动作，当运动员跳水时曲身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。,例：人与转盘的转动惯量Jo=60kgm2，伸臂时臂长为1m，收臂时臂长为0.2m人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度w1=3rads-1，求收臂时的角速度w2，机械能是否守恒？,解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒，,由转动惯量的减小，角速度增加。,在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。,作业大学物理学上册P.128,1、3、4、7、8、9、11、12、16、19、20；,当刚体在外力作用下发生转动时，外力必然对刚体作了功。下面我们将把力的功改用力矩的功代替。,由刚体定轴转动定律，有,M为常数时：,力的元功,动能,力矩的元功,转动动能,5.5转动功、转动动能,显然刚体所受外力只在转动平面内的切向分力才作功。,一、力矩的功,刚体转过角,作用点的位移为,法向分力不作功，只有切向分力作功。,其中：,则：,由功的定义,力矩的功：即力矩对角位矢的积分。,由于：,令：,则：,比较：,转动功,平动功,即转动功率为:,由功率的定义：,二、力矩的功率,比较：,转动功率,平动功率,其中：,转动动能,力矩的元功,对任意定轴转动过程（J=常数）：,三、转动的动能定理,刚体在力矩作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，其效果是改变刚体的转动状态。,由于：,令：,为刚体的转动动能,刚体转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。,比较：,转动动能定理,平动动能定理,则：,即：,或：,如果刚体既有平动又有转动刚体的平面平行运动，则其总动能包含其（质心）的平动动能和绕过质心的垂直轴的转动动能。,如果研究对象中既有平动物体（质点、刚体）又有转动刚体，在考虑刚体绕定轴转动动能的情况下，可将质点系的动能定理、功能原理和机械能守恒定律推广到包含刚体的物体系。,注意：,四、应用转动动能定理解题方法,1.确定研究对象。,2.受力分析，确定作功的力矩。,3.确定始末两态的动能，Eko、Ek。,4.列方程求解。,解：以杆为研究对象，只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。,重力矩作功：,例：一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。,始末两态转动动能：,由动能定理：,本题也可用机械能守恒定律计算,因为：,得：,五、质点系的机械能守恒定律,当系统中（可能包含多个刚体与柔体）既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功时，质点系的机械能守恒，即：,其中:,平动动能,转动动能,重力势能,弹性势能,解：在物体m下落过程中只有重力和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。,选择弹簧原长为弹性0势点，物体下落h时为重力0势点。,例：如图所示的物体系中，劲度系数为k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为R、转动惯量为J，质量为m的物体从静止开始下落,求下落h时物体的速度v。,求解得：,例1：如图所示，两个同心圆盘结合在一起可绕中心轴转动，大圆盘质量为m1、半径为R，小圆盘质量为m2、半径为r，两圆盘都用力F作用，求角加速度。,解：以m1、m2为研究对象，它们有共同的角加速度，只有两主动力F产生力矩。,由圆盘的转动惯量：,思考题,得：,b为负表示顺时