数学人教版高中三年级选修3 1.1.3两个原理

,两个原理(3),一、排数问题,例1用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个没有重复数字的的三位奇数(2)可以组成多少个没有重复数字的小于1000的自然数(3)可以组成多少个大于3000且小于5421的无重复数字的四位数,分析:,(1)先考虑末位,可从1,3,5中选择,有3种选法;再考虑首位,可从余下的4个非零数中选择,有4种选法后考虑中间位,可从余下的4个数中选择,有4种选法故共有344=48个没有重复数字的三位奇数,3种,4种,4种,分步解决,用0,1,2,3,4,5这六个数字,(2)可以组成多少个没有重复数字的小于1000的自然数,(2)分类解决:1位自然数,有6个2位自然数,5种,5种,3位自然数,有25个,5种,5种,4种,有100个,故共有6+25+100=131个,用0,1,2,3,4,5这六个数字,(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且没有重复数字的的四位数,首位是3或4,有2543=120个,3或4,2种,5种,4种,3种,5,4种,4种,3种,03,5,2种,3种,4,0或1,5,4,2,0,首位是5,有443+23+1=55个,共120+55=175个,题后反思,1)注意特殊位置与特殊数字,2)合理地分类与分步解决,将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有多少种,再填与号方格内数字相同的号的方格,又有种填法其余两个方格只有种填法。所以共有331=9种不同的方法。,变式,同一寝室四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己送出的贺卡,共有多少种不同的方法？,2或3或4,号方格里可填,三个数字,有种填法,3,3种,3种,二、映射问题:,例2设A=a,b,c,d,e,B=m,n,f,g,从A到B共有多少种不同的映射?,根据映射的定义,集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一一个元素与它对应.可以对照把信投入邮箱这个模型故共有45个不同的映射问:从B到A有多少个不同的映射?54个,三、染色问题:,例3:如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3211=6种。,若4色、5色等,结果又怎样呢？,答:分别是4322=48、5433=180种,思考:如图,用5种不同颜色给地图A,B,C,D四个区域涂色,每一部分涂1种颜色,任何相邻(有公共边)的两部分涂不同的颜色,那么共有多少种不同的涂色方案?,分析:必须分A、C同色与A、C不同色两种情况分类：若A、C同色,则有544=80种若A、C不同色,则有5433=180种,题后反思,1)可否同色,按步试涂,2)发现问题,分类解决,规律：n元集合的不同子集有个。,例4：集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。,四、子集问题,32,31,31,30,五、综合问题:,例5若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?,分析根据系数是否为0分三类1)a=0,b0,表示的都是同一条直线(y=0)2)a0,b=0,都表示直线x=03)a0,b0,a有4种选择,b有3种选择,43=12但1x+2y=0与2x+4y=0为同一直线2x+1y=0与4x+2y=0为同一直线故有122=10条综上,共有10+1+1=12条不同的直线,题后反思,结合解析几何有关性质,例6、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?,解:由于75600=2433527,75600的每个约数都可以写成2i3j5m7n的形式，其中0i4,0j3,0m2,0n1,为整数,要确定75600的一个约数,只要分别确定i,j,m,n的一个取值,可分四步:i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法根据分步计数原理,有5432=120个约数.,分析:约数问题,先将已知数分解为质因数的积的形式,奇约数?,题后反思,结合整除问题有关性质,