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导弹系统的改进,常微分方程（组）,海军方面要求改进现有的舰对舰导弹系统。目前的电子系统能迅速测出敌舰的种类、位置以及敌舰行驶速度和方向，且导弹自动制导系统能保证在发射后任一时刻都能对准目标。根据情报，这种敌舰能在我军舰发射导弹后T分钟作出反应并摧毁导弹。现在要求改进电子导弹系统使能自动计算出敌舰是否在有效打击范围之内。,一、引例导弹系统的改进,设我舰发射导弹时位置在坐标原点，敌舰在x轴正向d（km）处,其行驶速度为a(km/h),方向与x轴夹角为,导弹飞行线速度b(km/h)。设t时刻时导弹位置为(x(t)，y(t),那么,易知t时刻敌舰位置为(d+atcos,atsin)。,为了保持对准目标，导弹轨迹切线方向应为,由上面两个方程得下列微分方程,初始条件为x(0)=0,y(0)=0,对于给定的a,b,d,进行计算。当x(t)满足x(t)+d+atcos则认为已击中目标。这里代表允许的误差，因为敌舰是有一定大小的。如果tT,则敌舰在打击范围内，可以发射。,二、数学理论复习:常微分方程1、常微分方程的概念,常微分方程:f(t,y,y,y,y(n)=0常微分方程组:由若干个常微分方程联立而成的方程组线性常微分方程:y(n)+a1(t)y(n-1)+an-1(t)y+an(t)y=b(t)若ai(t)(i=1,n)与t无关,称为常系数的若b(t)=0,称为齐次的,2、初等积分法3、常系数线性微分方程线性常微分方程的解为一个特解和相应的齐次方程通解的叠加。齐次微分方程的解可用特征根法求得,例1求x+0.2x+3.92x=0的通解解特征方程为2+0.2+3.92=0roots(10.23.92求得共轭复根+i=-0.11.9774i,通解为x(t)=Aetcos(t)+Betsin(t),三、微分方程数值解法：Euler法,数值解法:寻求解y(t)在一系列离散节点t0t1tntf上的近似值yk(k=0,1,n)。hk=tk+1tk为步长，通常取为常量h。Euler法：在节点处用差商近似代替导数,Euler格式,k=0,1,2,M函数euler.m给出Euler法计算程序使用格式为tout,yout=euler(ypfun,tspan,y0,h)ypfun:表示f(t,y)的M文件名tspan=t0,tf:表示自变量初值t0和终值tfy0:表示初值向量y0，h是步长。输出列向量tout:表示节点(t0,t1,tn)输出矩阵yout:表示数值解，每一列对应y的一个分量,例2解方程y=y-2t/y,y(0)=1,0t1解先写M函数eg5_2fun.mt,y=euler(eg5_2fun,0,1,1,0.1),四、使用MATLAB命令1、数值解tout,yout=ode45(yprime,tspan,y0)用法与euler相同。若无输出参数，则作出图形。ode23与ode45类似只是精度低一些。,2、符号微分方程解析解s=dsolve(方程1,方程2,初始条件1,初始条件2,自变量)均用字符串方式表示,自变量缺省值为t,导数用D表示,2阶导数用D2表示,以此类推。s返回解析解,方程组情形,s为符号结构。,例3(1)求y=ay+b的通解；(2)求解例2(3)高阶方程y=cos(2x)-y,y(0)=1,y(0)=0(4)方程组f=f+g,g=-f+g,f(0)=1,g(0)=2,3、刚性方程组解法刚性方程组解法ode15s使用格式同ode45,解先将方程写为M函数eg5_4fun.mt,y=ode15s(eg5_4fun,0,400,2,1);plot(t,y);,五、实验例题例5（引例）在导弹系统中设a=90km/h,b=450km/h,T=0.1h.求d,的有效范围?解有两个极端情形容易算出。若=0,即敌舰正好背向行驶,即x轴正向。那么导弹直线飞行,击中时间t=d/(b-a)T得d=T(b-a)=36km。若=,即迎面驶来,类似有d=T(a+b)=54km一般地,有360,t时，x(t)，这对于销售初期可认为是合适的，长期显然不合适。,设x为全部需要量，那么销售速度与当时的潜在需要量(x-x)成正比，则有方程：,其中为比例常数。可用dsolvedsolve(Dx=a*x*(x1-x),x(t0)=x0)解得,设t0=0(年)，x0=1(万台)，x=100(万台)，=0.01(年-1万台-1)，可用下列命令作出8年内电饭锅销量预测图形：,可见短