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,全微分方程,机动目录上页下页返回结束,第四节,一、全微分方程,二、积分因子法,第十一章,三、利用积分因子法解一阶线性方程,判别:,P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,一、全微分方程,则称,为全微分方程(又叫做恰当方程).,机动目录上页下页返回结束,全微分方程,方法1凑微分法;,方法2利用积分与路径无关的条件.,1.求原函数u(x,y),2.由du=0知通解为u(x,y)=C.,求解步骤:,(见9.3节),机动目录上页下页返回结束,例1.求解,解:因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,解法2.用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,机动目录上页下页返回结束,例2.求解,解:因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,例3.求解,解:,这是一个全微分方程.,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,机动目录上页下页返回结束,解法2：,这是一个全微分方程.,则有,故原方程的通解为,或,例3.求解,机动目录上页下页返回结束,解法2：,则有,机动目录上页下页返回结束,是全微分方程,例4.,故原方程的通解为,解:,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例4.,机动目录上页下页返回结束,二、积分因子法,使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,若存在连续可微函数,积分因子.,机动目录上页下页返回结束,常用微分倒推公式:,积分因子不一定唯一.,例如,对,可取,机动目录上页下页返回结束,例5.求解,解:分项组合得,即,选择积分因子,同乘方程两边,得,即,因此通解为,即,因x=0也是方程的解,故C为任意常数.,机动目录上页下页返回结束,两边同时乘以积分因子,两端积分，便得通解,三、利用积分因子法解一阶线性方程,即,亦即,机动目录上页下页返回结束,解:方程两边同时乘以积分因子,两端积分，便得通解,例6.求解(习题11.43(2),或,机动目录上页下页返回结束,思考练习解方程,解法1积分因子法.,原方程变形为,取积分因子,故通解为,此外,y=0也是方程的解.,机动目录上页下页返回结束,解法2化为齐次方程.,原方程变形为,积分得,将,代入,得通解,此外,y=0也是方程的解.,机动目录上页下页返回结束,解法3化为线性方程.,原方程变形为,其通解为,即,此外,y=0也是方程的解.,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.掌握全微分方程的概念和解法,2.了解积分因子概念和积分因子法,3.了解利用积分因子法解一阶线
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