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Dec.18Fri.Review,3分部积分法,基本内容小结,一.基本内容,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,具体步骤：,解：,解:令,则,原式=,解:令,则,原式,解:令,则,原式,再令,则,故原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为后者为,解:令,则,原式=,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,解:令,则,原式=,解:令,则,原式,令,解:令,则,原式=,解：,例10.证明递推公式,证:,注:,或,解：,解：,凑微分与分部积分法并用。,解,两边同时对求导,得,可用分部积分法计算的积分类型,小结,hw：p2815(单).,第一换元法,Dec.1Wed.Review,第二换元法,可用分部积分法计算的积分类型,分部积分法,5几种特殊类型函数的积分,有理函数的积分；三角函数有理式的积分；某些根式函数的积分。,能以有限形式实现其积分的函数只有不多的几种类型。,不能表为有限形式的积分例子有：,这些积分事实上都是存在的，但它们只能表现为完全新型的函数，而不能化为初等函数。,一.有理函数的积分,有理函数的定义：,两个多项式的商称为有理函数.,假定分子与分母之间没有公因式,有理函数是真分式；,有理函数是假分式；,假分式=多项式+真分式真分式=最简真分式之和,例,难点：,将有理函数化为部分分式之和.,最简真分式只有4种形式：,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,(1)分母中若有因式，则分解后为,特殊地：,分解后为,有理函数的积分，可以归结为求3类最简分式的积分：,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,解：,只有实零点，且无重零点，所以分解式为：,法1,法2,右端通分得：,解：,法1,法2,等式通分得，消去分母得A，B，C，待定系数法。,解：,有理函数,多项式+,4种最简分式之和,Nove.21Wed.Review,真分式,解：,另法：,解：,二.三角函数有理式的积分,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,（万能置换公式）,解:,解:,解:,解:,解:,注意：万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,三.某些根式函数的积分,令,解:,解:,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积
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