第2(2)章+线性系统的状态空间描述.ppt

线性系统理论,线性系统的状态空间描述,第二章,第一部分:线性系统时间域理论,线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法,第二章线性系统的状态空间描述,系统动态过程的数学描述,2.1状态和状态空间描述,(1).系统的外部描述,外部描述常被称作为输出输入描述,例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:,复频率域描述即传递函数描述,(2)系统的内部描述,状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征状态方程和输出方程,(3)外部描述和内部描述的比较,一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分.内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.,状态空间定义为状态向量的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数,状态和状态空间的定义,状态变量组:,状态:,一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组,所组成的一个列向量,一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组,状态空间,只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量组,和tt0各时刻的任意输入变量组,那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定,几点解释,(1).状态变量组对系统行为的完全表征性,(2).状态变量组最小性的物理特征,(3).状态变量组最小性的数学特征,(5).系统任意两个状态变量组之间的关系,(6).有穷维系统和无穷维系统,(7).状态空间的属性,状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn,(4).状态变量组的不唯一性,系统得任意两个状态之间为线性非奇异变换关系,动力学系统的状态空间描述,图1动力学系统结构示意图状态变量组：x1，x2，xn输入变量组：u1，u2，ur输出变量组：y1，y2，ym状态空间描述：输入引起系统状态的变化,而状态和输入决定了输出的变化.,数学描述数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。（1）系统的外部描述：输入输出描述，不完全描述特点：不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间的因果关系，即输入和输出间的因果关系。例如：线性定常、单输入单输出系统，外部描述为线性常系数微分方程。零初始条件下，传递函数为：,状态方程:一般情况下,为一阶非线性时变微分方程组。向量形式:,输出方程量测方程：代数方程向量形式：,线性系统的状态空间描述其中A(t)nn系统矩阵B(t)nr输入矩阵C(t)mn输出矩阵D(t)mr前馈矩阵,离散时间线性系统的状态空间描述,状态空间描述形式：,离散系统：各变量在离散时刻取值，状态空间反映离散时刻的变量组间的因果关系和变换关系。用k=0,1,2表示离散时刻。,状态空间描述的特点,一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量取值时间的离散属性,例1电路系统状态空间描述的列写示例,以上方程可表为形如,例2人口分布问题状态空间描述的列写示例,假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%,设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数,写成矩阵形式,2.2.系统按其状态空间描述的分类,线性系统和非线性系统时变系统和时不变系统连续系统和离散系统确定性系统和随机系统,线性系统和非线性系统,设系统的状态空间描述为,向量函数,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统,非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统,对于线性系统,时变系统和时不变系统,连续时间系统和离散时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.,确定性系统和不确定性系统,称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.,称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量,2.3由输入输出描述导出状态空间描述,对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述,其传递函数描述,可以导出其状态空间描述为,结论1,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=n,即系统为真情形,(2)mn,即系统为严真情形,例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述,解：,例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述,结论2,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=0情形,此时输入输出描述为:,选取n个状态变量,其对应的状态空间描述为:,(2)m=n情形,此时输入输出描述为:,a:,其对应的状态空间描述为:,其中,b:,改写为,令,例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述,解：,结论3,给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为:,其极点即分母方程的根,为两两互异实数,则其状态空间描述可按如下两类情形导出:,(1)mn，即系统为严真情形,对应的状态空间描述为,(2)m=n，即系统为真情形,令,对应的状态空间描述为：,例：将下列线性系统得的输入输出描述化为状态空间描述,解：,写成矩阵形式,解,可画出系统结构图如下,写出变量之间的关系,写成矩阵形式,2.4状态方程的对角线型和约当规范型,线性定常系统的系统矩阵A的特征值是表征系统的动力学特征的一个重要参量。,对角线规范形,给定系统的状态方程系统的特征值定义为如下特征方程的根。,一个阶数为n的系统，必有且仅有n个特征值,可为实数或共轭复数。,特征向量是不唯一的。,当n个特征值为两两互异时，任取的n个特征向量必是线性无关的。,结论：对角规范形,各个状态变量间实现了完全解耦,可表成为n个独立的状态变量方程。如果系统矩阵A具有形式,且其特征值两两不相等，则变换矩阵为,结论：矩阵A的特征值为各种重数的重值时,不能通过变换而实现完全解耦,约当规范形可能达到最简耦合形式。在这种规范形中，每一个状态变量的方程和下一序号的状态变量构成耦合。,例题：导出如下给定线性时不变系统状态方程的约当标准形。,(1)定出系统的特征向量。由系统特征方程(s-2)(s+1)(s-1)=0得系统特征值为,可知，特征值两两相异，再求解,可定出一组特征向量为,(2)构造变换阵并求逆,(3)计算变换后系数矩阵,(4)定出约当规范形状态方程,例题：求如下线性时不变系统状态方程的约当标准形,解：,求二重特征值对应的特征向量,特征向量的求取,特征值两两互异时,特征值存在重根时，例为n重根，,则，可得变换阵为,2.5由状态空间描述导出传递函数矩阵,传递函数矩阵,定义：单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即,多输入多输出线性时不变系统,在零初始条件下,输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：,称G(s)为系统的传递函数矩阵。,其中,G(s)基于(A,B,C,D)的表达式,考虑连续时间线性时不变系统,则,G(s)的实用计算关系式,令,则,(2)计算系数矩阵,例:给定一个线性时不变系统的状态空间描述为,现来计算系统的传递函数矩阵G(s)。(1)计算特征多项式,(3)计算传递函数矩阵,2.7线性系统在坐标变换下的特性,坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。,坐标变换的几何含义和代数表征,线性时不变系统状态空间描述为,引入坐标变换,则变换后系统的状态空间描述为,结论,结论,线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。,定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。,代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。,结论,线性时