北京理工大学工科数学分析3-4函数单调性与极值

Nove.2Wed.Review,1.局部Taylor展开式：,2.带Lagrange余项的Taylor公式：,带Lagrange余项的Maclaurin公式：,4函数单调性与极值,函数单调性判别法函数的极值与求法；,一.函数单调性的判别法,定义,定理1,证明：,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,定理2,证明：,证明：,证明：,解：,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,证明:令,从而,因此,且,证,*证明,令,则,从而,即,二.函数的极值与求法,定义：,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定理1(必要条件),注意:,例如,极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),证明：,求极值的步骤:,(不是极值点情形),解：,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,解：,解：,求可导函数的单调区间与极值，就是求导函数的正负区间与正负区间的分界点。,先求导函数的零点，再画出函数图像，根据图像可直观地看出函数的单调区间与极值。,symsx;f=x3-6*x2+9*x+3;df=diff(f,x);s=solve(df),ezplot(f,0,4),s=13,EZPLOTEasytousefunctionplotter.EZPLOT(f)plotstheexpressionf=f(x)overthedefaultdomain-2*pix2*pi.EZPLOT(f,a,b)plotsf=f(x)overaxb,可建立一个名为dandiao.m文件，用来求函数的单调区间。,disp(输入函数(自变量为x);symsx;f=input(f(x)=);df=diff(f);s=solve(df);a=;fori=1:size(s);a(i)=s(i);endezplot(f,min(a)-1,max(a)+1),Nove.17Wed.Review,函数单调性判别法,函数的极值：极大值与极小值,定理3（第二充分条件）,证明：,极小值,极大值,定理3(第二充分条件),例1.若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；,解：,证明：,证明：,解：,Hwp1731(3,4),2(3,5,7,9),3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10,17.,Nove.4Fri.Review,函数单调性判别法,函数的极值：极大值与极小值,5函数凹凸性和渐近线、函数作图,函数的凹凸性；渐近线；函数作图。,一.函数的凸性及其判别法,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于弦的上方,图形上任意弧段位于弦的下方,定义1,若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。,凹函数,凸函数,定义1,凹函数,凸函数,定义2,定理,证明：,几何意义：若曲线弧各点处的切线斜率是单调增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。,求拐点的步骤：,解：,解：,二阶导数不存在的点也可能是拐点.,解：,导数不存在，二阶导数也不存在。,凸,凹,凹,证明：,证明：,更进一步有不等式：,例.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,证明:,当,时，,有,证明:,x,x,x,F,p,2,-,=,sin,),(,令,则,是凸函数,即,2.,(自证),二.渐近线,定义:,1.垂直渐近线,例如,有垂直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,解：,解：,三.函数作图,1.函数基本性质：,1).定义域，值域，连续范围；,2).函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；,3).周期性。,2.利用导数研究函数性质：,3.渐近线,1).垂直渐近线；,2).水平与斜渐近线。,4.描点作图,解：,Hwp1881(3,5),2(1),3,5,6,7(2,4,6),8,11(2).p2294,6,8,9,10(1,4,6,7,9),12(1,3),13(1,3),15,20,21,26,30.,列表,.,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线x=0,0(拐点),+,+,因,0,0,+,+,3极小值,+,例1.,0,.,间断点,3,.,列表,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线y=0，,因,+,+,+,+,0,因y(x)=y(x)，,图形关于原点对称。,1,