复变函数论钟玉泉第六章_第1页
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1,第一节留数,第六章留数理论及其应用,1.留数的定以及留数定理,2.留数的求法,3.函数在无穷远点的留数,2,定义6.1设f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域0|z-a|R内解析，则称积分,为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：,1.留数的定义及留数定理,将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有：,即,3,定理6.1(柯西留数定理)f(z)在围线或复围线C所围区域D内,除a1,a2,an外解析,在闭域=D+C上除a1,a2,an外连续,则,证作圆周使其全含于,内且两两不相交，取逆时针方向，则由复合闭路定理有,注留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。,4,2.留数的求法,(1)常规方法:,不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如果知道奇点的类型，对求留数更有指导作用。,(1)常规方法:将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，利用洛朗系数公式和留数定义可得计算留数的公式，即负幂项的系数。,(3)a为本性奇点时，将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数来求,(2)a为有限可去奇点时:,运用留数定理计算复变函数闭合曲线积分，首先必须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。,(4)a为极点时，有如下结论.,5,其中(z)在点a解析,(a)0，则:,定理6.2设a为f(z)的n级极点,即,推论6.3设a为f(z)的一级极点,则,推论6.4设a为f(z)的二级极点,则,定理6.5设a为,的一级极点,6,解,7,分析,由定理6.2得,计算较麻烦.,8,解,9,说明:,如为n级极点，当n较大而导数又难以计算时,2.在应用定理6.2时,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1.在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将n,但有时把n取得比实际的,如上例取,10,解,为一级极点,为二级极点,11,12,设,求留数,计算积分逆时针方向。,计算积分逆时针方向。,练习求在的留数,其中a,b是实常数.,13,3.函数在无穷远点的留数,定义6.2设为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N-：0r|z|+内解析，则称,为f(z)在点的留数,记为,其中-是顺时针方向.,设f(z)在0r|g(z)|,则f(z)与f(z)+g(z)在C内部有同样多的零点,即,54,证,在C内部解析,55,56,证毕,57,例1试证方程,证,58,在圆内的零点数为n,在圆内的零点数也为n,59,推论1:设n次多项式p(z)=a0zn+atzn-t+an(a00）,满足条件：|at|a0|+|at-1|
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