常微分方程--4.1-线性微分方程的一般理论

1,第四章高阶微分方程,本章讨论二阶及二阶以上的微分方程，即高阶微分方程，对于高阶微分方程的基本理论和求解方法分成两部分来处理：线性微分方程放在第四、五两章讨论，非线性部分放在第六章的稳定性部分来讨论。这其中第四、五两章的线性微分方程理论和求解是非常重要的一部分。一来是研究非线性微分方程的基础，另外在物理、力学及工程技术、自然科学领域有非常广泛的应用。,2,4.1线性微分方程的一般理论,3,理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构,理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构,本节要求,4,n阶线性微分方程一般形式：,其中,是区间,上的连续函数。,称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。,4.1.1引言,n阶微分方程一般形式：,5,方程（4.1）的解的存在唯一性定理:,6,4.1.2齐次线性方程解的性质与结构,定理2（叠加原理）如果,则它们的线性组合,的解，这里,是任意常数。,是方程（4.2）,也是（4.2）,的k个解，,例,有解,7,证明,8,问题：,时，若,能否成为方程（4.2）的通解？,不一定,不包含解,要使,为方程（4.2）的通解,还需满足一定的条件。,当,是齐线性方程的解，,如在上例中,9,函数线性无关和相关,定义在,上的函数,，如果存在,使得恒等式,不全为零的常数,对所有,成立，,称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。,如,上线性无关,上线性相关,上线性无关,要使得,则,10,定义在,区间上的k个可微k-1次的函数,所作成的行列式,称为这些函数的伏朗斯基行列式。,伏朗斯基行列式,11,定理3,在区间,上线性相关，,上它们的伏朗斯基行列式,。,则在,证明由假设，即知存在一组不全为零的常数,（4.6）,（4.7）,使得,依次对t微分此恒等式，得到,若函数,的齐次线性代数方程组，,关于,12,它的系数行列式,方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即,由线性代数理论,证毕,其逆定理是否成立？,例如：,即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。,不一定,13,故,是线性无关的。,14,如果方程(4.2)的解,在区间,上线性无关，则,任何点上都不等于零，即,在这个区间的,定理4,设有某个,，使得,考虑关于,的齐次线性代数方程组,证明反证法,（4.9）,15,其系数行列式,，故（4.9）有非零解,构造函数,根据叠加原理，,是方程（4.2）的解，且满足初始条件,由解的唯一性知,，即,因为,不全为0，与,的假设矛盾。,（4.10）,另也是方程(4.2)的解，,线性无关,证毕,也满足初始条件（4.10）,16,定理5n阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。,线性相关,定理4,定理3,重要结论,方程(4.2)的解,在区间,上线性无关,的充分必要条件是,证明,在上连续，取,则满足初值条件,的解存在。即,17,线性无关。,即齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。,18,定理6（通解结构）,其中,是任意常数，且通解（4.11）,是方程（4.2）的n个线性,无关的解，则方程（4.2）的通解可表为,（4.11）,包括方程（4.2）的所有解。,如果,19,证首先，由叠加原理，(4.11)是齐次线性方程(4.2)的解，它含有n个任意常数，且由定理5因在区间atb上有因此，(4.11)是方程(4.2)的通解。,20,现证明它包括了方程(4.2)的所有解。由定理1知，方程的解唯一地决定于初值条件，只需证明：任给一初值条件(4.12)能确定(4.11)中的常数c1,c2,cn，使(4.11)满足(4.12)。当(4.11)满足(4.12)时，可得到关于c1,c2,cn的线性代数方程组(4.13)其系数行列式为W(t0)，由定理4知W(t0)0。根据线性代数方程组理论，方程组(4.13)存在唯一解c1,c2,cn。因此，只要(4.11)中所常数c1,c2,cn取为c1,c2,cn，则满足初值条件(4.12)。定理证毕。,21,推论方程(4.2)的线性无关解的最大个数为n。n阶线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。,方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。当W(t0)=1时称为标准基本解组。,22,4.1.3非齐线性方程与常数变易法,性质1如果,是方程（4.1）的解，而,（4.2）的解，则,性质2方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。,是方程,也是方程（4.1）的解。,23,是任意常数，且通解（4.14）包括,定理7,为方程（4.2）的基本解组，,是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为,其中,（4.14）,设,方程（4.1）的所有解。,证明,1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立,的任意常数，是通解。,2),是方程（4.1）的任一个解，则,是方程（4.2）的解,证毕,24,设,为方程（4.2）的基本解组，,为（4.2）的通解。,（4.15）,（4.16）,非齐线性方程,齐线性方程,非齐线性方程通解,特解,基解组,表示,关键,常数变易法,为（4.1）的解。,25,令,26,（4.16）,代入方程（4.1）,27,方程组有唯一的解，设为,（4.16）,代入（4.16）,28,特解,通解,非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的,结构:,通解与自身的一个特解之和。,29,例1求方程,基本解组为,，,的通解，已知它对应齐线性方程的,解,解得,原方程的通解为,令,30,例2求方程,于域,解对应的齐线性方程为,上的所有解。,得,易见有基