复变函数论-第三章-复积分

第三章复变函数的积分,1复积分的概念及其简单性质2柯西积分定理3柯西积分公式及其推论4解析函数与调和函数的关系,第1节复积分的概念及其简单性质,1.复变函数积分的定义:逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.定义3.1设有向曲线C:以为起点,为终点,沿C有定义.顺着C从a到b的方向在C上取分点:把曲线C分成若干个弧段(图3.1)其中图3.1,当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数的极限存在且等于J,则称沿C(从a到b)可积,而称J为沿C(从a到b)的积分,并以记号:表示:C称为积分路径.表示沿C的正方向的积分,表示沿C的负方向的积分.定理3.1若沿曲线C连续,则沿C可积,且(3.1),证:设上式右端的两个和数是对应的两个曲线积分的积分和数.在定理的条件下,必有沿C连续,于是这两个曲线积分都是存在的,因此,积分存在,且有公式(3.1),例3.1命C表连接点a及b的任一曲线,试证:(1)(2)证:(1)因(2)因取由定理3.1可知积分存在,且应与的极限相等,从而应与的极限相等,今,2.复变函数积分的计算问题设有光滑曲线C:,例3.2这里C表示以a为心,p为半径的圆周(注:积分值与a,p无关)证:C的参数方程为:,3.复变函数积分的基本性质:设f(z),g(z)沿曲线C连续,则有下列与数学分析中的曲线积分相类似的性质:,定理3.2(积分估值)若f(z)沿曲线C连续,且有正数M0使L为C之长,则:证:由不等式:取极限即可.,例3.3计算积分:解:(1)连接o及1+i的直线段的参数方程为:(2)连接o与1的直线段的参数方程为:连接点1与1+i的直线段的参数方程为：,柯西积分定理,柯西积分定理定理3.3设在Z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任意一条围线，则证明：令，由公式(3.1)得由假设在D内连续，从而在D内连续，且C-R满足条件：根据格林（Green）定理有，因此,定理3.4设在单连通区域D内解析，C为D内任意一条闭曲线（C不必为简单闭曲线），则推论3.5设在单连通区域D内解析，则对于D内任意两点与，积分值与连接起点与终点的路径无关证明：设与是D内连接与的两条曲线，则正方向曲线与负方向曲线就连接成D内的一条闭曲线C，从而由柯西积分定理及的性质（）有:因此,不定积分定理3.6设在单连通区域D内解析，则由(3.5)定义的函数在D内解析，且证明：作一个以Z为心，以充分小的为半径的圆，使得在内取动点，则由于积分与路径无关，因而我们可取的积分路径为由沿与相同的路径到Z,再从Z沿直线段到,从而有于是图3.3,但已知在D内连续，所以对，可取上述的充分小，使得在内的一切点均有，从而由定理3.2有即定理3.7设(1)在单连通区域D内连续(2)沿区域D内任一条围线C的积分为零，则函数（为D内一定点）在D内解析，且()定义3.2设在区域D内连续，则称满足条件（）的函数为的一个原函数定理3.8（牛顿莱布尼兹公式）在定理3.6或定理3.7的条件下，(3.7),例3.5解：因为在z平面上解析，为的一个原函数，故由（3.7）式即得例3.6求解：因为在平面上解析，且为它的一个原函数，故,柯西积分定理的推广定理设C是一条围线，D是C的内部，在闭区域上解析，则定理3.9设C是一条围线，D是C的内部，在D内解析，在上连续，则,柯西积分公式及其推论,柯西积分公式定理3.10（柯西积分公式）设围线C是区域D的边界，在D内解析，在上连续，则（）（3.9）证明：对于任意固定一点，则函数作为的函数在D内除点z外解析现以点z为心，充分小的为半径作圆周，使对于复围线及函数，应用定理3.10的（3.8）式有而由例3.2知,因此又根据的连续性知对，只要时，就有()于是由定理3.2知由的任意性即知，有（3.10）故有,例3.7求，其中C为圆周解：因为在闭圆上解析所以满足定理3.11的条件，故由（3.10）式有又知这是因为在z平面上解析定理3.12若函数在圆内解析，在闭圆上连续，则即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均值,2.解析函数的无穷可微性我们将柯西积分公式（3.10）形式地在积分号下求导后得：（3.14）再求导一次得由此我们推得定理3.13在定理3.10的条件下，函数在区域D内有各阶导数，且有（）（3.15）证明：首先，当时，我们证明（3.14）式成立，应用（3.10）我们有()因此,由定理3.11的条件知，使得均有，从而因此由定理3.2知故对，只要，有即有于是（3.14）式成立,例3.8计算其中是绕一周的围线解：因为在z平面上解析，故应用公式（3.15）得定理3.14设在区域D内解析，则在D内具有各阶导数，并且它们也都在D内解析证明：，则我们作一个以为心，以充分小的为半径的圆使得此闭圆全含于D内，则由定理3.13和在此圆内有各阶导数，特别地在有各阶导呼，再由的任意性即推得在D内有各阶导数,柯西不等式与刘维定理定理3.15（柯西不等式）设在区域D内解析，为D内一点，区域包含于D，则有（）其中证明：应用定理3.13于上，则有由柯西不等式，我们又可得到：刘维尔定理：z平面上解析且有界的函数必为常数,代数基本定理在z平面上，n次多项式（）至少有一个零点证明：（反证法）假设在z平面上无零点，由于在平面上解析，从而在z平面上也是解析的其次，由于所以于是，使得，又因为在上连续，故，使得（）从而在z平面上有即在z平面上解析且有界，因此根据刘维尔定理，为常数，故亦为常数，与已知为多项式矛盾，定理得证,摩勒拉定理柯西积分定理说明，只要在单连通区域D内解析，则对D内任一围线均有，我们现在证明其逆也是正确的摩勒拉定理设函数在单连通区域D内连续，且对D内任一围线C，有，则在D内解析证明：在假设条件下，由定理3.7知，函数（）在D内解析，且（）再由定理3.14知在D内还是解析的，此即说明在D内解析的,4解析函数与调和函数的关系,定义3.5如果二元实函数在区域D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程,则称为区域D内的调和函数.定义3.6在区域D内满足C-R条件的两个调和函数中,称为在区域D内的共轭调和函数.,定理3.18若在区域D内解析,则在区域D内必为的共轭调和函数.假设D是一个单连通区域，是区域D内的调和函数，则在D内有二阶连续偏导数，且即:在D内有一阶连续偏导数，且由数学分析的定理，知道是全微分，(3.21)则（3.22）,定理3.19设是在单连通区域D内的调和函数,则存在由（3.22）式所确定的函数,使是D内的解析函数.注(1)如单连通区域D包含原点,则（3.22）式中的显然可取成原点(0,0)；如D非单连通区域，则积分（3.22）可能规定一个多值函数.(2)公式（3.22）不必强记