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第三章行波法与积分变换法,一、一维波动方程的达朗贝尔公式二、三维波动方程的泊松公式三、积分变换法举例,3.1一维波动方程的达朗贝尔公式,初始位移，初始速度的无界弦的自由振动,始值问题(或Cauchy问题),(3.1.2),我们可以求出方程(3.1.1)的通解,考虑自变量代换,利用复合函数求导法则得,(3.1.4),同理可得,将(3.1.4),(3.1.5)代入到(3.1.1),可以得到,连续积分两次得,其中是任意二次连续可微函数，即有,对无限长的自由振动,如果初始状态满足条件(3.1.2),则,两端对x积分，可得,由此即得原定解问题的解:,无限长弦自由振动的达朗贝尔(DAlembert)公式.,泛定方程解的物理意义,首先考虑假定的图形已经给定，那么，随着时间t的推移，的图形以速度a向x轴正方向平行移动,故称齐次波动方程形如的解为右行波。,同理,表示一个以速度a向x轴负方向传播的行波，且传播过程中，波形也不变化。称为左行波。,达朗贝尔公式表明,弦上的任意振动总是以行波形式分别向两个方向传播出去,其传播速度恰好是常数a，因而这个方法称为行波法。,下面进一步分析达朗贝尔公式的物理意义。,（1）依赖区间,由DAlembert公式,仅依赖于上的初值，称区间为点的依赖区间.,（2）影响区域,由左、右行波叠加而得。上的初始振动，在时刻，右行波传到左行波传到,初始振动传播的范围是,为区间的影响区域。,A,x,t,图4,称区域,(3)决定区域,考虑区间,x,t,B,图6,称三角区域B为区间的决定区域。,进一步的分析其物理意义表明,在xot平面上斜率为的两族直线,对一维波动方程研究起重要作用，称这两族直线为一维波动方程的特征曲线。,称为特征变换,行波法也叫特征线法.,自变量变换,注：容易看出,一维波动方程的两族特征线,恰好是常微分方程的解。,这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲线.,一个方程在点称为是双曲型、抛物型或椭圆型的，,如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、抛物型或椭圆型的，那么就称方程在这个区域内是双曲型、抛物型或椭圆型。,注：两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类,例：设满足方程：,可以看出方程在坐标轴,上是抛物型的，在坐标轴外处处是双曲型的。,双曲,抛物,椭圆,注：行波法适应于一些双曲型方程。,例求下面问题的解:,解:先确定所给方程的特征曲线,写出它的特征方程：,或者,它的两族积分曲线为,做特征变换,容易验证，经过变换原方程化成,它的通解为,其中是任意二次连续可微函数，即有,把这个函数代入到条件,代入到,得原问题的解为：,例求下面方程的通解,解：特征方程为,特征曲线为,所以,
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