复变函数论课件1.1

,复变函数论,第一章、复数与复变函数,第一节、复数,一、复数域,1、复数定义：每个复数具有z=x+iy的形状，其中x和y是实数，i是虚数单位(-1的平方根）。x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：,如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数；如果Imz不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。,2、复数运算：(1)复数的相等:它们的实部与虚部分别相等。(2)复数的四则运算定义为：,（3）复数运算满足结合律、交换律、分配律,3、复数域,复数在上述运算的代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为C，即,复数域C=全体复数+复数运算,注：（1）复数域可以看成实数域的扩张。,（2）复数域与实数域的联系与区别:,联系：都是代数学中所研究的“域”的实例,区别：复数域中元素不能比较大小,二、复平面:,复数域C也可以理解成平面RxR，我们称C为复平面:作映射：,则在复数集C与平面RxR之建立了一个1-1对应。,平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。,注：复数集C与平面1-1对应的具体形式（1）复平面上的点与复数间的一一对应（2）复平面上向量与复数间的一一对应,三、复数的模与辐角:,1、复数的模：向量的长度称为复数的模，定义为：,复数的模满足如下不等式：,2、复数的辐角,以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),辐角无穷多：Argz=0+2k，kZ，,z=0时，辐角不确定。,3.复数表示法,(1)代数表示法,(2)三角表示法,(3)指数表示法,定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,证明设z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2则z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)=r1r2ei(1+2),1.乘积与商,因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,四、复数的乘幂与方根:,几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。,定理1可推广到n个复数的乘积。,定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。,证明,Argz=Argz2-Argz1即：,由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z10）,设z=rei，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosn+isinn)=rnein。,2.复数的乘幂,问题给定复数z=rei，求所有的满足n=z的复数。,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,共轭复数的性质,五.共轭复数,定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.,引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。,例1用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线