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文档简介

Nove.19Mon.6曲率,弧微分曲率曲率半径、曲率园、曲率中心,导数的另一方面的应用研究曲线的弯曲程度。,梁或轴因受外力作用而弯曲变形，火车转弯时，为了安全，需要了解铁轨在弯道处的情况等等。,例如，铁轨的曲率就是个关键问题：,曲率,曲线弯曲的程度,一.弧微分,单调增函数,如图，,弧微分公式,二.曲率及其计算公式,),),弧段弯曲程度越大转角越大,转角相同弧段越短弯曲程度越大,1.曲率的定义,),曲率,曲线弯曲的程度,再看同一条曲线,M1,M2,M3,曲率,曲线弯曲的程度,.,M1,M2,M3,曲率,曲线弯曲的程度,.,M1,M2,M3,1与切线转角成正比,曲率,曲线弯曲的程度,.,A,B,B,1)与切线转角成正比,S,2)与曲线弧长S成反比,S,故定义曲线AB平均曲率,.,.,.,曲线弯曲的程度,曲率,.,=,.,A,),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,),例1.直线上任何一点处的曲率都为0；,证明：,例2.求半径为R的圆上任意点处的曲率.,解:如图所示,可见:,2.曲率的计算公式,注意:,(1)直线的曲率处处为零;,(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,例3.,解:,显然,证明：,解：,解：,例7.求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K最大,最小,求驻点:,设,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,三.曲率半径、曲率园、曲率中心,定义,曲率园与点M有以下关系：,1.有相同的切线；,2.有相同的曲率；,3.在点M处有相同的一阶和二阶导数（切线斜率与凹凸性）。,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,解：,为求曲率半径的最小值，令,Hw：p1971(3,4),2(2,4),3(2,3),4,6,7.,小结,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲线弧的近似代替曲率圆(弧).,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,曲率中心,思考与练习,1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,
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